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CAPÍTULO 4: HIDROLOGIA DE PEQUENAS BACIAS HIDROGRÁFICAS |
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"Roll waves are possible in the neighborhood of a uniform flow regime only when the Seddon celerity exceeds the Lagrange celerity."
"Ondas em rolo são possíveis na vizinhança de um regime de fluxo uniforme
somente quando a celeridade de Seddon exceder a celeridade de Lagrange ".
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This chapter deals with the hydrology of small catchments. It is divided into two sections. Section 4.1 describes the rational method and its application to urban storm drainage design. Section 4.2 discusses overland flow theory and applications. The choice of method is one scale, aided by individual preference and experience. Este capítulo trata da hidrologia de pequenas bacias hidrográficas. É dividido em duas seções. A Seção 4.1 descreve o método racional e sua aplicação ao projeto de drenagem de tempestades urbanas. A Seção 4.2 discute a teoria e aplicações do fluxo por terra. A escolha do método é uma escala, auxiliada pela preferência e experiência individuais. |
4.1 MÉTODO RACIONAL
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Small Catchments
Pequenas Captações
A small catchment is described by the following features:
Uma pequena bacia é descrita pelos seguintes recursos:
Storm rainfall can be assumed to be uniformly distributed in time,
Pode-se presumir que as chuvas torrenciais sejam distribuídas uniformemente no tempo,
Storm rainfall can be assumed to be uniformly distributed in space,
Pode-se presumir que as chuvas torrenciais estejam distribuídas uniformemente no espaço,
Storm duration typically exceeds time of concentration,
A duração da tempestade normalmente excede o tempo de concentração,
Runoff is primarily by overland flow, and
O escoamento é principalmente por fluxo terrestre e
Channel slopes are steep enough so that channel storage processes are negligible.
As inclinações dos canais são íngremes o suficiente para que os processos de armazenamento de canais sejam insignificantes.
A catchment possessing some or all of the above properties is small in a hydrologic sense. Its runoff response may be described using relatively simple parametric or empirical methods, which lump all the relevant hydrologic processes into a few key descriptors such as rainfall intensity and catchment area. When increased detail is required, small catchments may be analyzed using the more complex overland flow techniques, which can be either spatially lumped (the conceptual storage model, or storage concept) or distributed (a deterministic model of the kinematic or diffusion wave types). For routine applications, all that is usually required is the simple parametric approach. Exceptions may be warranted in certain specialized applications, e.g., when coupling water quantity and water quality models.
Uma bacia hidrográfica que possui algumas ou todas as propriedades acima é pequena no sentido hidrológico. Sua resposta ao escoamento pode ser descrita usando métodos paramétricos ou empíricos relativamente simples, que agrupam todos os processos hidrológicos relevantes em alguns descritores principais, como intensidade da chuva e área de captação. Quando maiores detalhes são necessários, pequenas bacias hidrográficas podem ser analisadas usando técnicas de fluxo terrestre mais complexas, que podem ser agrupadas espacialmente (o modelo conceitual de armazenamento ou conceito de armazenamento) ou distribuídas (um modelo determinístico dos tipos de ondas cinemáticas ou de difusão). Para aplicações de rotina, tudo o que normalmente é necessário é a abordagem paramétrica simples. Exceções podem ser garantidas em certas aplicações especializadas, por exemplo, ao acoplar modelos de quantidade e qualidade da água.
It is difficult to set the upper limit of a small catchment without being arbitrary to some degree. Given the natural variability in catchment slopes, vegetation cover, and so on, no single value is universally applicable. In practice, both time of concentration and catchment area have been used to define the upper limit of a small catchment. Some authorities regard a catchment with a time of concentration of 1 h or less as a small catchment. For others, a catchment of 2.5 km2 or less is considered small. Any such limit is bound to be arbitrary, reflecting the accumulated body of experience in runoff response.
It is difficult to set the upper limit of a small catchment without being arbitrary to some degree. Given the natural variability in catchment slopes, vegetation cover, and so on, no single value is universally applicable. In practice, both time of concentration and catchment area have been used to define the upper limit of a small catchment. Some authorities regard a catchment with a time of concentration of 1 h or less as a small catchment. For others, a catchment of 2.5 km2 or less is considered small. Any such limit is bound to be arbitrary, reflecting the accumulated body of experience in runoff response.
Rational Method
Método Racional
The rational method is the most widely used method for the analysis of runoff response from small catchments. It has particular application in urban storm drainage, where it is used to calculate peak runoff rates for the design of storm sewers and small drainage facilities. The popularity of the rational method is attributed to its simplicity, although reasonable care is necessary in order to use the method effectively.
O método racional é o método mais utilizado para a análise da resposta do escoamento superficial de pequenas bacias hidrográficas. Tem aplicação particular na drenagem urbana de tempestades, onde é usado para calcular as taxas de pico de escoamento para o projeto de esgotos pluviais e pequenas instalações de drenagem. A popularidade do método racional é atribuída à sua simplicidade, embora sejam necessários cuidados razoáveis para que o método seja utilizado com eficácia.
The rational method takes into account the following hydrologic characteristics or processes:
O método racional leva em consideração as seguintes características ou processos hidrológicos:
- Rainfall intensity,
Intensidade das chuvas,
- Rainfall duration,
Duração das chuvas,
- Rainfall frequency,
Frequência de precipitação
- Catchment area,
Área de captação,
- Hydrologic abstractions,
Abstrações hidrológicas,
- Runoff concentration, and
Concentração do escoamento, e
- Runoff diffusion.
Difusão de escoamento.
In general, the rational method provides only a peak discharge, although in the absence of runoff diffusion it is possible to obtain an isosceles-triangle-shaped runoff hydrograph. The peak discharge is the product of:
Em geral, o método racional fornece apenas um pico de descarga, embora na ausência de difusão do escoamento seja possível obter um hidrograma de escoamento em forma de triângulo isósceles. O pico de descarga é o produto de:
- Runoff coefficient,
Coeficiente de escoamento superficial,
- Rainfall intensity, and
Intensidade das chuvas e
- Catchment area.
Área de captação.
All processes are lumped into these three parameters. Rainfall intensity contains information on rainfall duration and frequency. In turn, rainfall duration is related to time of concentration, i.e., to the runoff concentration properties of the catchment. The runoff coefficient accounts for hydrologic abstractions and runoff diffusion, and may also be used to account for frequency. In this way, all the major hydrologic processes responsible for runoff response are embodied in the rational formula.
Todos os processos são agrupados nesses três parâmetros. A intensidade das chuvas contém informações sobre a duração e a frequência das chuvas. Por sua vez, a duração da chuva está relacionada ao tempo de concentração, ou seja, às propriedades de concentração do escoamento da bacia hidrográfica. O coeficiente de escoamento é responsável por abstrações hidrológicas e difusão de escoamento, e também pode ser usado para explicar a frequência. Dessa maneira, todos os principais processos hidrológicos responsáveis pela resposta do escoamento são incorporados na fórmula racional.
The rational method does not take into account the following characteristics or processes:
O método racional não leva em consideração as seguintes características ou processos:
- Spatial or temporal variations in either total or effective rainfall,
Variações espaciais ou temporais na precipitação total ou efetiva,
- Time of concentration much greater than storm duration, and
Tempo de concentração muito superior à duração da tempestade, e
- A significant portion of runoff occurring in the form of streamflow.
Uma parcela significativa do escoamento superficial ocorre na forma de fluxo.
In addition, the rational method does not explicitly account for the catchment's antecedent moisture condition; however, the latter may be implicitly accounted for by varying the runoff coefficient.
Além disso, o método racional não explica explicitamente a condição de umidade antecedente da bacia; no entanto, este último pode ser implicitamente explicado pela variação do coeficiente de escoamento superficial.
The above conditions dictate that the rational method be restricted to small catchments. To start, the assumption of constant rainfall in space and time can only be justified for small catchments. Furthermore, in a small catchment, storm duration typically exceeds the time of concentration. Finally, in a small catchment, surface runoff processes are usually dominated by overland flow.
As condições acima ditam que o método racional seja restrito a pequenas bacias hidrográficas. Para começar, a suposição de chuvas constantes no espaço e no tempo só pode ser justificada para pequenas bacias hidrográficas. Além disso, em uma pequena bacia hidrográfica, a duração da tempestade normalmente excede o tempo de concentração. Finalmente, em uma pequena bacia hidrográfica, os processos de escoamento superficial são geralmente dominados pelo fluxo terrestre.
There is no consensus regarding the upper limit of a small catchment. Values ranging from 0.625 to 12.5 km2 have been quoted in the literature [2, 26]. The current trend is to use 1.25 to 2.5 km2 as the upper limit for the applicability of the rational method. There is no theoretical lower limit, however, and catchments as small as 1 ha or less may be analyzed by the rational method.
Não há consenso sobre o limite superior de uma pequena bacia hidrográfica. Valores variando de 0,625 a 12,5 km2 foram citados na literatura [2, 26]. A tendência atual é usar 1,25 a 2,5 km2 como limite superior para a aplicabilidade do método racional. Entretanto, não há limite teórico mais baixo, e bacias de até 1 ha ou menos podem ser analisadas pelo método racional.
The rational method is based on the following formula:
O método racional é baseado na seguinte fórmula:
| Qp = C I A | (4-1) |
in which Qp = peak discharge corresponding to a given rainfall intensity, duration, and frequency; C = runoff coefficient, a dimensionless empirical coefficient related to the abstractive and diffusive properties of the catchment; I = rainfall intensity, averaged in time and space; and A = catchment area.
em que Qp = pico de descarga correspondente a uma intensidade, duração e frequência de precipitação; C = coeficiente de escoamento superficial, um coeficiente empírico adimensional relacionado às propriedades abstrativas e difusivas da bacia hidrográfica; I = intensidade de precipitação, com média de tempo e espaço; e A = área de captação.
In SI Units, for rainfall intensity in millimeters per hour, catchment area in square kilometers, and peak discharge in cubic meters per second, the formula for the rational method is the following:
Em unidades SI, para intensidade de precipitação em milímetros por hora, área de captação em quilômetros quadrados e pico de descarga em metros cúbicos por segundo, a fórmula para o método racional é a seguinte:
| Qp = 0.2778 C I A | (4-2) |
For rainfall intensity in millimeters per hour, catchment area in hectares, and peak discharge in liters per second, the formula is:
Para intensidade de precipitação em milímetros por hora, área de captação em hectares e pico de descarga em litros por segundo, a fórmula é:
| Qp = 2.778 C I A | (4-3) |
In U.S. Customary units, for rainfall intensity in inches per hour, catchment area in acres, and peak discharge in cubic feet per second, the formula is:
Nas unidades habituais dos EUA, para intensidade de precipitação em polegadas por hora, área de captação em acres e pico de descarga em pés cúbicos por segundo, a fórmula é:
| Qp = 1.008 C I A | (4-4) |
The unit conversion coefficient 1.008 is usually neglected on practical grounds.
O coeficiente de conversão unitário 1,008 é geralmente negligenciado por motivos práticos.
Methodology
Metodologia
The first requirement of the rational method is that the catchment be small. Once the size requirement has been met, the three components of the formula are evaluated. The catchment area is determined by planimetering or other suitable means. Boundaries may be established from topographic maps or aerial photographs. The drainage area survey should also include:
O primeiro requisito do método racional é que a captação seja pequena. Uma vez que o requisito de tamanho foi atendido, os três componentes da fórmula são avaliados. A área de captação é determinada por planimetria ou por outros meios adequados. Os limites podem ser estabelecidos a partir de mapas topográficos ou fotografias aéreas. O levantamento da área de drenagem também deve incluir:
Land use and land use changes,
Uso da terra e mudanças no uso da terra,
Percentage of imperviousness,
Percentagem de impermeabilidade,
Characteristics of soil and vegetative cover that may affect the runoff coefficient, and
Características do solo e cobertura vegetativa que podem afetar o coeficiente de escoamento, e
General magnitude of ground slopes and catchment gradient necessary to determine time of concentration.
Magnitude geral das encostas do solo e gradiente de captação necessários para determinar o tempo de concentração.
The evaluation of rainfall intensity is a function of several factors. First, it is necessary to determine the time of concentration. Normally, this is accomplished either:
A avaliação da intensidade das chuvas é função de vários fatores. Primeiro, é necessário determinar o tempo de concentração. Normalmente, isso é realizado:
By using an empirical formula,
Usando uma fórmula empírica,
By assuming a flow velocity based on hydraulic properties and calculating the travel time through the catchment's hydraulic length, or
Assumindo uma velocidade de fluxo com base nas propriedades hidráulicas e calculando o tempo de viagem através do comprimento hidráulico da bacia hidrográfica, ou
By calculating the steady equilibrium flow velocity (using the Manning equation) and associated travel time through the hydraulic length.
Calculando a velocidade do fluxo de equilíbrio constante (usando a equação de Manning) e o tempo de viagem associado ao longo do comprimento hidráulico.
Procedures to calculate time of concentration are not very well defined, often involving crucial assumptions such as flow level, channel shape, friction coefficients, and so on. Nevertheless, a value of time of concentration can usually be developed for practical use.
Os procedimentos para calcular o tempo de concentração não são muito bem definidos, geralmente envolvendo suposições cruciais, como nível de fluxo, forma do canal, coeficientes de atrito e assim por diante. No entanto, um valor de tempo de concentração geralmente pode ser desenvolvido para uso prático.
For urban storm-sewer design, time of concentration at a point is the sum of two parts:
Para o projeto de esgoto urbano, o tempo de concentração em um ponto é a soma de duas partes:
- Inlet time, and
Tempo de entrada e
- Time of flow in the storm sewer up to that point.
Tempo de fluxo na tempestade de esgoto até esse ponto.
Inlet time is the longest time required for runoff to flow over the catchment surface to the nearest sewer inlet (Fig. 4-1). Time of flow in the sewer, from inlet to point of interest, is calculated using hydraulic flow formulas.
O tempo de entrada é o tempo mais longo necessário para o escoamento fluir sobre a superfície de captação até a entrada de esgoto mais próxima (Fig. 4-1). O tempo do fluxo no esgoto, da entrada ao ponto de interesse, é calculado usando fórmulas de fluxo hidráulico.
Figure 4-1 Urban drainage inlet (University of South Queensland, Australia). |
Once time of concentration has been determined, the design storm duration is made equal to the time of concentration. This amounts to an assumption of concentrated catchment flow (Section 2.4). Subsequently, a rainfall frequency applicable to the given design condition is chosen. Frequencies (and return periods) vary with the type of project and degree of protection desired. Commonly used return periods are:
Uma vez determinado o tempo de concentração, a duração da tempestade projetada é igual ao tempo de concentração. Isso equivale a uma suposição de fluxo de captação concentrado (Seção 2.4). Posteriormente, é escolhida uma frequência de precipitação aplicável à condição de projeto fornecida. As frequências (e períodos de retorno) variam de acordo com o tipo de projeto e o grau de proteção desejado. Os períodos de retorno mais usados são:
- 5 to 10 y for storm sewers in residential areas,
5 a 10 anos para esgotos pluviais em áreas residenciais,
- 10 to 50 y for storm sewers in commercial areas, and
10 a 50 anos para esgotos pluviais em áreas comerciais, e
- 50 to 100 y for regional flood protection works.
50 a 100 anos para obras regionais de proteção contra inundações.
The size and importance of the project, as well as design criteria established by federal, state and local agencies, have a bearing in the selection of design frequency. The longer the return period (i.e., the smaller the frequency), the greater the peak discharge calculated by the rational formula.
O tamanho e a importância do projeto, bem como os critérios de projeto estabelecidos pelas agências federais, estaduais e locais, influenciam a seleção da frequência do projeto. Quanto maior o período de retorno (ou seja, menor a frequência), maior o pico de descarga calculado pela fórmula racional.
Rainfall frequency versus peak flow frequency. The question of whether rainfall frequency and peak flow frequency are equivalent is an elusive one. The rational method bases the calculation of peak flow on a chosen rainfall frequency. In nature, however, the frequencies of storms and floods are not necessarily the same, largely due to the effect of antecedent moisture condition, variability in channel transmission losses, overbank storage, and the like. In practice, runoff coefficients are usually adjusted upward to reflect postulated decreases in runoff frequency. This procedure, while empirical, has seemed to work well.
Frequência de precipitação versus frequência de pico de fluxo. A questão de saber se a frequência de chuvas e a frequência de pico de fluxo são equivalentes é uma pergunta ilusória. O método racional baseia o cálculo do fluxo de pico na frequência de precipitação escolhida. Na natureza, no entanto, as frequências de tempestades e inundações não são necessariamente as mesmas, em grande parte devido ao efeito das condições antecedentes de umidade, variabilidade nas perdas de transmissão de canal, armazenamento em excesso e similares. Na prática, os coeficientes de escoamento superficial são geralmente ajustados para cima para refletir diminuições postuladas na frequência de escoamento superficial. Este procedimento, embora empírico, pareceu funcionar bem.
Once rainfall duration and frequency have been determined, the corresponding rainfall intensity is obtained from the appropriate intensity-duration-frequency (IDF) curve. An example of IDF curve is shown in Fig. 4-2. The applicable curve can usually be obtained from cognizant government agencies. Where IDF curves are nonexistent, they can be developed from regional isopluvial maps containing depth-duration-frequency data. These maps are published by the National Weather Service [20, 21, 28].
Uma vez determinada a duração e a frequência das chuvas, a intensidade correspondente das chuvas é obtida a partir da curva intensidade-duração-frequência (IDF) apropriada. Um exemplo da curva IDF é mostrado na Fig. 4-2. A curva aplicável geralmente pode ser obtida de órgãos governamentais conhecedores. Onde as curvas de IDF são inexistentes, elas podem ser desenvolvidas a partir de mapas isopluviais regionais contendo dados de profundidade-duração-frequência. Esses mapas são publicados pelo Serviço Nacional de Meteorologia [20, 21, 28].
Figure 4-2 An intensity-duration-frequency curve. |
Due to the hyperbolic nature of the intensity-duration curve, an error in rainfall duration causes an error of opposite sign in rainfall intensity. For instance, if the rainfall duration is too long (i.e., time of concentration too long), the calculated rainfall intensity will be too low, and vice versa.
Devido à natureza hiperbólica da curva intensidade-duração, um erro na duração da chuva causa um erro de sinal oposto na intensidade da chuva. Por exemplo, se a duração da precipitação for muito longa (ou seja, tempo de concentração muito longo), a intensidade calculada da precipitação será muito baixa e vice-versa.
Once rainfall intensity and catchment area have been obtained, a runoff coefficient applicable to the given design condition is selected.
Runoff coefficients are theoretically restricted in the range
Depois que a intensidade da chuva e a área de captação são obtidas, um coeficiente de escoamento aplicável à condição de projeto fornecida é selecionado. Os coeficientes de escoamento superficial são teoricamente restritos na faixa de 0,0 ~ C ~ 1,0. Na prática, geralmente são adotados valores do coeficiente de escoamento na faixa de 0,05 ~ C ~ 0,95. O coeficiente de escoamento é responsável pelos processos de:
- Hydrologic abstractions, and
Abstrações hidrológicas e
- Runoff diffusion.
Difusão de escoamento.
In urban drainage design, hydrologic abstractions include interception, infiltration, and surface storage (Section 2.2). Runoff diffusion is a measure of the catchment's ability to attenuate the flood peaks (Section 2.4).
No projeto de drenagem urbana, as abstrações hidrológicas incluem interceptação, infiltração e armazenamento na superfície (Seção 2.2). A difusão do escoamento superficial é uma medida da capacidade da bacia hidrográfica de atenuar os picos de inundação (Seção 2.4).
In essence, the runoff coefficient is the ratio of the actual
(calculated) peak runoff rate to the maximum possible runoff rate.
For C = 1, the calculated peak discharge is equal to the maximum possible discharge.
Typical values of runoff coefficients for a wide variety of conditions are given in design manuals and other reference books; see for instance Tables 4-1 (a) and (b).
These values reflect the reduction in peak runoff that is likely to be produced by a given combination of rainfall abstraction and runoff diffusion.
For instance, in Table 4-1 (a), a lawn with a steep gradient (greater than 7 percent) in a heavy (clayey) soil might have C = 0.3,
but a lawn with a mild gradient (less than 2 percent) in a sandy soil might have C = 0.1, reflecting the prevailing abstractive and diffusive rates.
Furthermore, an asphaltic street (of negligible abstractive capability) might have
Em essência, o coeficiente de escoamento é a razão entre a taxa de escoamento real (calculada) e a taxa de escoamento máxima possível. Para C = 1, o pico de descarga calculado é igual à máxima descarga possível. Os valores típicos dos coeficientes de escoamento superficial para uma ampla variedade de condições são dados em manuais de projeto e outros livros de referência; veja, por exemplo, as Tabelas 4-1 (a) e (b). Esses valores refletem a redução no pico do escoamento superficial que provavelmente será produzido por uma dada combinação de captação de chuva e difusão do escoamento. Por exemplo, na Tabela 4-1 (a), um gramado com um gradiente acentuado (maior que 7%) em solo pesado (argiloso) pode ter C = 0,3, mas um gramado com gradiente suave (menor que 2%) em um solo arenoso pode ter C = 0,1, refletindo as taxas abstrativas e difusivas prevalecentes. Além disso, uma rua asfáltica (com capacidade abstrativa desprezível) pode ter C = 0,95.
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The runoff coefficients shown in Table 4-1 (a) are applicable to storms of 5- to 10-y return period. Less frequent storms (e.g., 50-y return period) require the use of higher coefficients because infiltration and other abstractions have a reduced role for the larger storms. The coefficients shown in Table 4-1 (a) represent average antecedent moisture conditions and are not designed to account for multiple storms, or storms of very long duration. Special design cases usually warrant the use of higher runoff coefficients to simulate the existence of wet antecedent moisture conditions in the catchment. Experimental evidence has shown that runoff coefficients tend to increase from one storm to another occurring shortly thereafter, with runoff coefficients tending to increase with storm duration.
Os coeficientes de escoamento mostrados na Tabela 4-1 (a) são aplicáveis a tempestades com período de retorno de 5 a 10 anos. Tempestades menos frequentes (por exemplo, período de retorno de 50 anos) requerem o uso de coeficientes mais altos porque a infiltração e outras abstrações têm um papel reduzido nas tempestades maiores. Os coeficientes mostrados na Tabela 4-1 (a) representam condições de umidade antecedentes médias e não foram projetados para explicar várias tempestades, ou tempestades de duração muito longa. Casos especiais de projeto geralmente garantem o uso de coeficientes de escoamento mais altos para simular a existência de condições de umidade antecedente à umidade na bacia hidrográfica. Evidências experimentais mostraram que os coeficientes de escoamento superficial tendem a aumentar de uma tempestade para outra ocorrendo logo em seguida, com os coeficientes de escoamento tendem a aumentar com a duração da tempestade.
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Design values of runoff coefficients are usually a function of rainfall intensity and, therefore, of rainfall frequency. Higher values of runoff coefficient are applicable for higher values of rainfall intensity and return period. A typical C versus I curve is shown in Fig. 4-3 [5]. Alternate ways of expressing the variation of runoff coefficient with rainfall frequency are shown in Figs. 4-4 and 4-5 [6, 25].
Os valores projetados dos coeficientes de escoamento superficial são geralmente uma função da intensidade da chuva e, portanto, da frequência da chuva. Valores mais altos do coeficiente de escoamento são aplicáveis para valores mais altos de intensidade de chuva e período de retorno. Uma curva C versus I típica é mostrada na Figura 4-3 [5]. Formas alternativas de expressar a variação do coeficiente de escoamento com a frequência de precipitação são mostradas nas Figs. 4-4 e 4-5 [6, 25].
Figure 4-3 Variation of runoff coefficient with rainfall intensity [5]. |
Figure 4-4 Variation of runoff coefficient with rainfall frequency [6]. |
Figure 4-5 Variation of runoff coefficient with percent imperviousness and rainfall frequency [25]. |
With runoff coefficient, rainfall intensity, and catchment area determined, the peak discharge is calculated by Eq. 4-1. The apparent simplicity of the procedure, however, is misleading. For one thing, there is a range of possible runoff coefficients for each surface condition. Therefore, the chosen C value is usually based on additional field information or designer's experience.
Com o coeficiente de escoamento, a intensidade da chuva e a área de captação determinados, o pico de descarga é calculado pela Eq. 4-1. A aparente simplicidade do procedimento, no entanto, é enganosa. Por um lado, existe uma variedade de possíveis coeficientes de escoamento superficial para cada condição de superfície. Portanto, o valor C escolhido geralmente é baseado em informações de campo adicionais ou na experiência do designer.
The effect of frequency and/or antecedent moisture condition needs to be evaluated carefully. Furthermore, there is no absolute certainty that the calculated time of concentration (and, therefore, the rainfall duration) is correct, or even that it remains constant throughout the range of possible frequencies. In fact, since larger flows generally travel with greater velocities (perhaps excepting the case of mild overbank flows, see Fig. 9-3), time of concentration tends to decrease with an increase in return period. Notwithstanding these complexities, the rational method remains a practical way to calculate peak discharge for small catchments based on a few relevant parameters.
O efeito da frequência e / ou condição antecedente de umidade precisa ser avaliado cuidadosamente. Além disso, não há certeza absoluta de que o tempo calculado de concentração (e, portanto, a duração da precipitação) esteja correto, ou mesmo que permaneça constante em toda a faixa de frequências possíveis. De fato, como fluxos maiores geralmente viajam com velocidades maiores (talvez, exceto no caso de fluxos moderados de excesso de margens, veja a Fig. 9-3), o tempo de concentração tende a diminuir com um aumento no período de retorno. Não obstante essas complexidades, o método racional continua sendo uma maneira prática de calcular o pico de descarga para pequenas bacias hidrográficas com base em alguns parâmetros relevantes.
Example 4-1.
Calculate the peak flow Qp by the rational method for the following data: C = 0.6, I =
10 mm/h, and A = 15 ha (hectares).
Calcule o pico de fluxo Qp pelo método racional para os seguintes dados: C = 0,6, I = 10 mm / he A = 15 ha (hectares).
The peak flow is:
O pico de fluxo é:
Qp = C I A
Qp = ( 0.6 × 10 mm/h ×
0.001 m/mm × 15 ha × 10000 m2/ha × 1000 L/m3)
/ (3600 s/h) = 250 L/s.
ONLINE CALCULATION. Using the
RATIONAL online calculator,
the peak flow for the given data is: Qp = 250 L/s.
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Theory of the Rational Method
Teoria do Método Racional
The rational method is based on the principles of runoff concentration and diffusion. For simplicity, the process can be explained in two parts:
O método racional é baseado nos princípios da concentração e difusão do escoamento superficial. Para simplificar, o processo pode ser explicado em duas partes:
- Concentration without diffusion, and
Concentração sem difusão e
- Concentration with diffusion.
Concentração com difusão.
Runoff Concentration Without Diffusion. In the absence of diffusion, a catchment concentrates the flow at the outlet, attaining the maximum possible flow (i.e., the equilibrium flow rate) at the time of concentration. By setting the design rainfall duration equal to the time of concentration, concentrated catchment flow is obtained at the outlet. Since there is no diffusion, the method gives not only a peak flow but also a hydrograph corresponding to that of concentrated catchment flow (Fig. 4-6), with recession time equal to rising time. The runoff coefficient is then simply the ratio of effective rainfall to total rainfall. A mass balance of effective rainfall and runoff leads to:
Concentração de escoamento superficial sem difusão. Na ausência de difusão, uma captação concentra o fluxo na saída, atingindo o fluxo máximo possível (isto é, a taxa de fluxo de equilíbrio) no momento da concentração. Ao definir a duração da precipitação projetada igual ao tempo de concentração, o fluxo de captação concentrado é obtido na saída. Como não há difusão, o método fornece não apenas um fluxo de pico, mas também um hidrograma correspondente ao fluxo de captação concentrado (Fig. 4-6), com tempo de recessão igual ao tempo de subida. O coeficiente de escoamento superficial é então simplesmente a razão entre a precipitação efetiva e a precipitação total. Um balanço de massa de chuvas e escoamentos efetivos leva a:
| Vr = Ie tr A = C I A tr | (4-5) |
in which Vr = runoff volume; Ie = effective rainfall; and tr = rainfall duration (either effective or total). Equation 4-5 leads to:
em que Vr = volume de escoamento; Ie = precipitação efetiva; e tr = duração da chuva (efetiva ou total). A equação 4-5 leva a:
Ie
|
C = Ca = ___ I | (4-6) |
in which Ca = runoff coefficient due only to abstraction (Ca ≤ 1).
em que Ca = coeficiente de escoamento devido apenas à abstração (Ca ~ 1).
Figure 4-6 Rational method: Flow concentration without diffusion. |
Runoff concentration without diffusion is typical of steep catchments, with slopes greater than 0.01, where the momentum balance is dominated by the gravitational and frictional forces. For catchments of milder slope (say, less than 0.001), the role of the flow depth gradient increases, and runoff diffusion becomes increasingly important. In the extreme case, for a hypothetical catchment of zero ground slope, the diffusion effect is theoretically the only one present.
A concentração do escoamento superficial sem difusão é típica de captações íngremes, com declives superiores a 0,01, onde o equilíbrio do momento é dominado pelas forças gravitacionais e de atrito. Para captações de declive mais suave (digamos, inferiores a 0,001), o papel do gradiente de profundidade do fluxo aumenta e a difusão do escoamento se torna cada vez mais importante. No caso extremo, para uma captação hipotética de declive zero no solo, o efeito de difusão é teoricamente o único presente.
Runoff Concentration With Diffusion.
When diffusion is present, the rational method accounts for it in the runoff coefficient.
Thus, the runoff coefficient is used to model not only abstraction but also diffusion.
Diffusion modifies the catchment response in such a way as to increase the recession time and decrease the peak flow.
Therefore, a hydrograph shape can no longer be obtained directly from a mass balance as in the
case of runoff concentration without diffusion.
The lack of a hydrograph shape does not impede the use of the rational method,
because the diffusion can be represented directly in the peak flow formula, by lowering the runoff
coefficient below that due only to abstraction
Concentração de escoamento superficial com difusão. Quando a difusão está presente, o método racional é responsável pelo coeficiente de escoamento. Assim, o coeficiente de escoamento superficial é usado para modelar não apenas a abstração, mas também a difusão. A difusão modifica a resposta da bacia de maneira a aumentar o tempo de recessão e diminuir o pico de vazão. Portanto, uma forma de hidrograma não pode mais ser obtida diretamente de um balanço de massa, como no caso de concentração de escoamento superficial sem difusão. A falta de um formato hidrográfico não impede o uso do método racional, porque a difusão pode ser representada diretamente na fórmula de pico de fluxo, diminuindo o coeficiente de escoamento abaixo daquele devido apenas à abstração (Fig. 4-7).
The reduction in the runoff coefficient amounts to:
A redução no coeficiente de escoamento é de:
| C = Cd Ca | (4-7) |
in which C = runoff coefficient and Cd = component of runoff coefficient accounting only for diffusion (Cd ≤ 1).
in which C = runoff coefficient and Cd = component of runoff coefficient accounting only for diffusion (Cd ~ 1).
Figure 4-7 Rational method: Flow concentration with diffusion. |
The question of whether the peak is reached before, at, or after the time of concentration, as
A questão de saber se o pico é atingido antes, no ou após o tempo de concentração, como mostra a Fig. 4-7 (b), é irrelevante, pois o método não fornece a forma do hidrograma, limitando-se a fornecer uma pico de descarga.
In the absence of diffusion, Cd = 1 and C = Ca.
Likewise, in the absence of abstraction, Ca = 1 and
Na ausência de difusão, Cd = 1 e C = Ca. Da mesma forma, na ausência de abstração, Ca = 1 e C = Cd. Na ausência de abstração e difusão (por exemplo, uma captação íngreme com uma superfície impermeável): Ca = 1, Cd = 1 e, portanto, C = 1.
In practice, no quantitative distinction is made between the abstractive and diffusive components of the runoff coefficient. Usage, however, reflects the fact that runoff diffusion is implicitly being considered; see, for instance, the marked change in runoff coefficient with surface slope shown in Table 4-1.
Na prática, nenhuma distinção quantitativa é feita entre os componentes abstrativos e difusivos do coeficiente de escoamento superficial. O uso, no entanto, reflete o fato de que a difusão do escoamento superficial está sendo implicitamente considerada; veja, por exemplo, a mudança acentuada no coeficiente de escoamento superficial com a inclinação da superfície mostrada na Tabela 4-1.
Further Developments
Outros desenvolvimentos
Attempts to analyze the behavior of the rational method have led to the concept of peak flow per unit area [27]:
Tentativas de analisar o comportamento do método racional levaram ao conceito de pico de fluxo por unidade de área [27]:
Qp
|
qp = ____ = C I A | (4-8) |
in which qp = peak flow per unit area. Rainfall intensity varies with rainfall duration and frequency. Likewise, runoff coefficient also varies with rainfall duration and frequency. Therefore, a relation linking peak flow per unit area to rainfall duration and frequency can be obtained:
em que qp = pico de fluxo por unidade de área. A intensidade das chuvas varia com a duração e a frequência das chuvas. Da mesma forma, o coeficiente de escoamento também varia com a duração e a frequência das chuvas. Portanto, uma relação entre o pico de fluxo por unidade de área e a duração e frequência das chuvas pode ser obtida:
| qp = f ( tr, T ) | (4-9) |
in which T = return period.
em que T = período de retorno.
Another approach is based on expressing the rational formula in the following form:
Outra abordagem é baseada na expressão da fórmula racional da seguinte forma:
Qp
|
C = _____ I A | (4-10) |
where now the runoff coefficient may be interpreted as dimensionless peak flow, or peak flow per unit area per unit rainfall intensity. It follows that dimensionless peak flow is related to the abstractive and diffusive properties of the catchment.
onde agora o coeficiente de escoamento superficial pode ser interpretado como vazão de pico sem dimensão ou vazão de pico por unidade de área por unidade de intensidade de precipitação. Segue-se que o pico do fluxo adimensional está relacionado às propriedades abstrativas e difusivas da bacia hidrográfica.
A similar concept is used in the Natural Resources Conservation Service TR-55 method (Section 5.3). In this method, a unit peak flow is defined as the peak flow per unit area per unit rainfall depth. In the TR-55 graphical method included, the unit peak flow is a function of time of concentration, abstraction parameter, and temporal storm pattern. The fact that unit peak flow is a function of temporal storm pattern qualifies the TR-55 graphical method as an extension of the rational method to midsize catchments. While no upper limit to catchment size is indicated, the method is restricted to a time of concentration less than or equal to 10 h.
Um conceito semelhante é usado no método TR-55 do Serviço de Conservação de Recursos Naturais (Seção 5.3). Neste método, um fluxo de pico unitário é definido como o fluxo de pico por unidade de área e profundidade de precipitação unitária. No método gráfico TR-55 incluído, o fluxo de pico unitário é uma função do tempo de concentração, parâmetro de abstração e padrão de tempestade temporal. O fato de o pico de fluxo unitário ser uma função do padrão de tempestade temporal qualifica o método gráfico TR-55 como uma extensão do método racional para as bacias hidrográficas de médio porte. Embora nenhum limite superior para o tamanho da bacia seja indicado, o método é restrito a um tempo de concentração menor ou igual a 10 h.
Applications of the Rational Method
Aplicações do Método Rational
Relation Between Runoff Coefficient and φ-index. The runoff coefficient can be related to total rainfall intensity and φ-index, provided the following assumptions are satisfied:
Relação entre coeficiente de escoamento superficial e índice ~. O coeficiente de escoamento superficial pode estar relacionado à intensidade total da precipitação e ao índice ~, desde que as seguintes premissas sejam atendidas:
- Catchment response occurs under negligible diffusion, and
A resposta à captação ocorre sob difusão desprezível e
- Total and effective rainfall intensities are constant in time.
As intensidades totais e efetivas de precipitação são constantes no tempo.
The first assumption is valid for steep catchments, whereas the second assumption is implicit in the application of the rational method. For catchment response without diffusion:
A primeira suposição é válida para captações íngremes, enquanto a segunda suposição está implícita na aplicação do método racional. Para resposta à captação sem difusão:
Ie
|
C = Ca = ___ I | (4-11) |
For constant rainfall intensities:
Para intensidades constantes de precipitação:
| Ie = I - φ | (4-12) |
Combining Eqs. 4-11 and 4-12:
Combinando Eqs. 4-11 e 4-12:
I - φ
|
C = _________ I | (4-13) |
Areal Weighing of Runoff Coefficients. Values of runoff coefficients may vary within a given catchment. When a clear pattern of variation is apparent, a weighted value of runoff coefficient should be used. For this purpose, the individual subareas are delineated and their respective runoff coefficients are identified. The weighted value is obtained by weighing the runoff coefficients in proportion to their respective subareas. This leads to:
Pesagem regional dos coeficientes de escoamento superficial. Os valores dos coeficientes de escoamento superficial podem variar dentro de uma dada bacia hidrográfica. Quando um padrão claro de variação é aparente, um valor ponderado do coeficiente de escoamento deve ser usado. Para esse fim, as subáreas individuais são delineadas e seus respectivos coeficientes de escoamento são identificados. O valor ponderado é obtido pela pesagem dos coeficientes de escoamento proporcional às respectivas subáreas. Isto leva a:
|
Qp = 0.2778 I Σ ( Ci Ai ) i | (4-14) |
in which Ci = runoff coefficient of i th subarea and Ai = drainage area of i th subarea. Applicable units are those of Eq. 4-2.
em que Ci = coeficiente de escoamento da i-subárea e Ai = área de drenagem da i-subárea. As unidades aplicáveis são as da Eq. 4-2.
Composite Catchments. A composite catchment is one that drains two or more adjacent subareas of widely differing characteristics. For instance, assume that a catchment has two subareas A and B with times of concentration tA and tB, respectively, with tA being much less than tB (Fig. 4-8).
Captações Compostas. Uma captação composta é aquela que drena duas ou mais subáreas adjacentes de características amplamente diferentes. Por exemplo, suponha que uma bacia tenha duas subáreas A e B com tempos de concentração tA e tB, respectivamente, com tA sendo muito menor que tB (Fig. 4-8).
Figure 4-8 Rational method: A composite catchment. |
To apply the rational method to this composite catchment, several rainfall durations are chosen, ranging from tA to tB. in suitable increments. The calculation proceeds by trial and error, with each trial associated with each rainfall duration. To calculate the partial contribution from subarea B, an assumption must be made regarding the rate at which the flow is concentrated at the catchment outlet. The rainfall duration that gives the highest combined peak flow (A plus B ) is taken as the design rainfall duration. The procedure is illustrated by the following example.
Para aplicar o método racional a essa bacia hidrográfica composta, várias durações de chuva são escolhidas, variando de tA a tB. em incrementos adequados. O cálculo prossegue por tentativa e erro, com cada tentativa associada a cada duração da chuva. Para calcular a contribuição parcial da subárea B, deve-se fazer uma suposição sobre a taxa na qual o fluxo está concentrado na saída da bacia hidrográfica. A duração da precipitação que fornece o pico de fluxo combinado mais alto (A mais B) é considerada como a duração da chuva projetada. O procedimento é ilustrado pelo exemplo a seguir.
Example 4-2.
Calculate the peak discharge by the rational method for a 1-km2 composite catchment with the following characteristics:
Calcule o pico de descarga pelo método racional para uma bacia composta de 1 km2 com as seguintes características:
Assume a return period T = 10 y and the following IDF function:
Suponha um período de retorno T = 10 y e a seguinte função IDF:
1000T 0.2
in which I = rainfall intensity, in millimeters per hour; T = return period, in years; and tr = rainfall duration, in minutes.
To compute the contribution of subarea B, assume that the flow concentrates linearly at the outlet, i.e., each equal increment of time causes an equal increment of area contributing to the flow at the outlet.
em que I = intensidade da chuva, em milímetros por hora; T = período de retorno, em anos; e tr = duração da chuva, em minutos. Para calcular a contribuição da subárea B, suponha que o fluxo se concentre linearmente na saída, ou seja, cada incremento de tempo igual causa um incremento igual de área que contribui para o fluxo na saída.
First, choose rainfall durations between 20 min and 60 min at 10-min intervals.
For each rainfall duration, rainfall intensity is calculated by Eq. 4-15.
The assumption of linear concentration for subarea B leads to the following:
Primeiro, escolha durações de chuva entre 20 e 60 minutos em intervalos de 10 minutos. Para cada duração de chuva, a intensidade da chuva é calculada pela Eq. 4-15. A suposição de concentração linear para a subárea B leva ao seguinte:
For tr = 20 min, the peak flow is (Eq. 4-14):
Successive trials for rainfall durations of 30, 40, 50, and 60 min result in lower peak flows.
Therefore, the peak flow is 9.986 m3/s and the design rainfall duration is 20 min.
Testes sucessivos para durações de chuva de 30, 40, 50 e 60 min resultam em vazões de pico mais baixas. Portanto, o pico de vazão é de 9.986 m3 / s e a duração da precipitação projetada é de 20 min.
ONLINE CALCULATION. Using the
ONLINE
RATIONAL COMPOSITE calculator,
the peak flow for the given data is: Qp = 9.9856 m3/s.
|
Effect of Catchment Shape. The rational method is suited to catchments where drainage area increases more or less linearly with catchment length. If this is not the case, the peak flow may not increase with an increase in catchment area. To illustrate, take the catchment shown in Fig. 4-9. The time of concentration to point A is tA; the time of concentration to point B is tB; and tB is greater than tA. Therefore, IA is greater than IB.
Efeito da forma de captação. O método racional é adequado para bacias hidrográficas onde a área de drenagem aumenta mais ou menos linearmente com o comprimento da bacia hidrográfica. Se não for esse o caso, o fluxo de pico pode não aumentar com o aumento da área de captação. Para ilustrar, pegue a bacia mostrada na Fig. 4-9. O tempo de concentração até o ponto A é tA; o tempo de concentração até o ponto B é tB; e tB é maior que tA. Portanto, IA é maior que IB.
Figure 4-9 Rational method: Effect of catchment shape |
The drainage area to point A is AA, and the drainage area to point B is AB, and AB is greater than AA. Assuming the same runoff coefficient for the partial area (to point A) and the total area (to point B), the peak flow at A is: QpA = CIAAA. Likewise, the peak flow at B is: QpB = CIBAB. For QpB to be greater than QpA, it is necessary that (AB / AA) be greater than (IA / IB). In other words, the drainage area must grow in the downstream direction at least as fast as the decrease in corresponding rainfall intensity. Otherwise, the peak discharge at A would be greater than that at B. The situation is illustrated by the following example.
A área de drenagem no ponto A é AA, e a área de drenagem no ponto B é AB, e AB é maior que AA. Assumindo o mesmo coeficiente de escoamento superficial para a área parcial (ponto A) e a área total (ponto B), o pico de fluxo em A é: QpA = CIAAA. Da mesma forma, o pico de fluxo em B é: QpB = CIBAB. Para QpB ser maior que QpA, é necessário que (AB / AA) seja maior que (IA / IB). Em outras palavras, a área de drenagem deve crescer na direção a jusante pelo menos tão rápido quanto a diminuição na intensidade de precipitação correspondente. Caso contrário, o pico de descarga em A seria maior que o de B. A situação é ilustrada pelo exemplo a seguir.
Example 4-3.
Assume that the drainage area at A (Fig. 4-9) has a time of concentration such that the applicable rainfall intensity is 50 mm/h, and that from point A to point B the time of concentration increases, thereby decreasing the
applicable rainfall intensity for the drainage area at B to 40 mm/h.
Assume that the drainage area at A = 0.8 km2 and at B = 0.9 km2.
Compute the peak flow at points A and B. Assume C = 0.5.
Suponha que a área de drenagem em A (Fig. 4-9) tenha um tempo de concentração tal que a intensidade de precipitação aplicável seja de 50 mm / h, e que do ponto A ao ponto B o tempo de concentração aumente, diminuindo assim a precipitação aplicável. intensidade para a área de drenagem de B a 40 mm / h. Suponha que a área de drenagem em A = 0,8 km2 e em B = 0,9 km2. Calcule o pico de fluxo nos pontos A e B. Suponha C = 0,5.
The peak flow at A is (Eq. 4-2): QpA = 0.278 × 0.5 × 50 × 0.8 = 5.56 m3/s.
The peak flow at B is: QpB =
O pico de fluxo em A é (Eq. 4-2): QpA = 0,278 × 0,5 × 50 × 0,8 = 5,56 m3 / s. O pico de fluxo em B é: QpB = 0,278 × 0,5 × 40 × 0,9 = 5,00 m3 / s. Observa-se que, nesse caso, o pico de vazão diminui de A para B. Isso ocorre porque a razão das áreas de drenagem 0,9 / 0,8 = 1,125 é menor que a razão inversa das intensidades de precipitação 50/40 = 1,25.
|
Modified Rational Method. The application of the rational method to large urban catchments, i.e., those featuring well-defined conveyance channels and drainage areas greater than 1.3 km2 but less than 2.5 km2, requires special techniques. For one thing, the flow is likely to vary widely along the main channel, ranging from small at the upstream reaches to larger at the downstream reaches. In this case, it may be difficult to determine an average value of time of concentration.
Método Rational Modificado. A aplicação do método racional a grandes bacias hidrográficas urbanas, ou seja, aquelas que apresentam canais de transporte bem definidos e áreas de drenagem maiores que 1,3 km2, mas menores que 2,5 km2, requer técnicas especiais. Por um lado, é provável que o fluxo varie amplamente ao longo do canal principal, variando de pequeno no alcance a montante e maior no alcance a jusante. Nesse caso, pode ser difícil determinar um valor médio do tempo de concentração.
An alternative is to apply the rational method incrementally, using a technique known as the modified rational method. The method requires the subdivision of the catchment into several subcatchments, as shown in Fig. 4-10. First, the time of concentration tA is estimated and used to calculate the peak flow QpA at A, using Eq. 4-2. With the aid of open channel flow formulas, QpA is conveyed through the main channel from A to B, and the travel time tAB calculated. The time of concentration, tB = tA + tAB, is used to calculate the peak flow QpB at B, again using Eq. 4-2. The procedure continues in the downstream direction until the peak flow QpE is calculated. If the runoff coefficients are different for each subcatchment, Eq. 4-14 can be used in lieu of Eq. 4-2. While the procedure is relatively straightforward, it may result in peak flows decreasing in the downstream direction (due to the effect of catchment shape).
Uma alternativa é aplicar o método racional de forma incremental, usando uma técnica conhecida como método racional modificado. O método requer a subdivisão da bacia hidrográfica em várias sub-bacias, como mostra a Figura 4-10. Primeiro, o tempo de concentração tA é estimado e usado para calcular o pico de fluxo QpA em A, usando a Eq. 4-2. Com o auxílio de fórmulas de fluxo de canal aberto, QpA é transportado através do canal principal de A para B, e o tempo de viagem tAB é calculado. O tempo de concentração, tB = tA + tAB, é usado para calcular o pico de fluxo QpB em B, novamente usando a Eq. 4-2. O procedimento continua na direção a jusante até o pico do fluxo QpE ser calculado. Se os coeficientes de escoamento superficial forem diferentes para cada sub-bacia, Eq. 4-14 pode ser usado no lugar da Eq. 4-2. Embora o procedimento seja relativamente simples, pode resultar em fluxos de pico decrescentes na direção a jusante (devido ao efeito da forma da bacia hidrográfica).
Figure 4-10 Catchment subdivision in the modified rational method. |
Application to Storm-sewer Design. A typical plan for design of a small storm-sewer project is shown in Fig. 4-11. Table 4-2 shows a summary of the computations illustrating the application of the rational method to determine design flows. The example is based on the following conditions:
Aplicação ao projeto de esgoto pluvial. Um plano típico para o projeto de um pequeno projeto de esgoto é mostrado na Figura 4-11. A Tabela 4-2 mostra um resumo dos cálculos que ilustram a aplicação do método racional para determinar os fluxos de projeto. O exemplo é baseado nas seguintes condições:
- Runoff Coefficients
Coeficientes de escoamento superficial
- Resident area: C = 0.3
Área residente: C = 0,3
- Business area: C = 0.6
Área de negócio: C = 0,6
- Areal weighing of runoff coefficients where required.
Pesagem local dos coeficientes de escoamento, quando necessário.
- Resident area: C = 0.3
- Intensity-Duration-Frequency curve shown in Fig. 2-12 (a). Selected design frequency: 5 y.
Curva Intensidade-Duração-Frequência mostrada na Fig. 2-12 (a). Frequência de projeto selecionada: 5 anos.
-
Inlet time: 20 min.
Tempo de entrada: 20 min.
-
Manning n in sewer: 0.013.
Manejo n no esgoto: 0,013.
-
Free outfall to river at elevation 80.
Outfall livre ao rio na elevação 80.
-
A drop of 0.1 ft across each manhole where no change in pipe size occurs (to account for head losses).
When a change in pipe size occurs, set the elevation of 0.8 of pipe depths equal, and provide corresponding fall in manhole invert.
(Note: In larger systems, a more rigorous analysis of hydraulic losses through manholes, transitions, and changes in direction is required for adequate hydraulic design).
Uma queda de 0,1 pés em cada bueiro, onde não ocorre alteração no tamanho do tubo (para compensar as perdas de carga). Quando ocorrer uma alteração no tamanho do tubo, defina a elevação de 0,8 da profundidade do tubo igual e forneça a queda correspondente no inverter de bueiro. (Nota: em sistemas maiores, é necessária uma análise mais rigorosa das perdas hidráulicas através de bueiros, transições e mudanças de direção para um projeto hidráulico adequado).
Figure 4-11 Typical storm-sewer design plan [2]. |
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This example is extracted from Design and Construction of Sanitary and Storm Sewers, ASCE Manual of Engineering Practice No. 37, 1960 [2].
Este exemplo é extraído do Projeto e Construção de Esgotos Sanitários e Tempestuosos, Manual de Prática de Engenharia ASCE nº 37, 1960 [2].
4.2 ESCOAMENTO SUPERFICIAL
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Overland flow is surface runoff that occurs in the form of sheet flow on the land surface without concentrating in clearly defined channels. This type of flow is the first manifestation of surface runoff, since the latter occurs first as overland flow before it has a chance to flow into channels and become streamflow.
O fluxo terrestre é o escoamento superficial que ocorre na forma de fluxo da folha na superfície terrestre sem se concentrar em canais claramente definidos. Esse tipo de fluxo é a primeira manifestação do escoamento superficial, uma vez que o último ocorre primeiro como fluxo por terra antes que ele possa fluir para os canais e se tornar fluxo.
Overland flow theory uses deterministic methods to describe surface runoff in overland flow planes. The theory is based on established principles of fluid mechanics such as laminar and turbulent flow, mass and momentum conservation, and unsteady free surface flow. The spatial and temporal description leads to differential equations and to their solution by either analytical or numerical means. For certain applications, simplified conceptual models can be developed for practical use.
A teoria do fluxo terrestre usa métodos determinísticos para descrever o escoamento superficial em planos de fluxo terrestre. A teoria é baseada em princípios estabelecidos da mecânica dos fluidos, como fluxo laminar e turbulento, conservação de massa e momento e fluxo de superfície livre instável. A descrição espacial e temporal leva a equações diferenciais e à sua solução por meios analíticos ou numéricos. Para certas aplicações, modelos conceituais simplificados podem ser desenvolvidos para uso prático.
Overland flow theory seeks to find an answer to the problem of catchment response: What is the hydrograph that will be produced at a catchment's outlet, subject to a given effective rainfall? In overland flow applications, effective rainfall is also referred to as rainfall excess. Unlike the rational method, which generally does not produce a hydrograph, overland flow models have the capability to account not only for runoff concentration but also for runoff diffusion. Another advantage of overland flow models is their distributed nature, i.e., the fact that rainfall excess can be allowed to vary in space and time if necessary. Overland flow models, then, are a more powerful tool than parametric models such as the rational method. However, the complexity increases in direct relation to their greater level of detail.
A teoria do fluxo terrestre procura encontrar uma resposta para o problema da resposta da bacia hidrográfica: Qual é o hidrograma que será produzido na saída de uma bacia hidrográfica, sujeito a uma chuva efetiva? Em aplicações de fluxo terrestre, a precipitação efetiva também é referida como excesso de chuva. Diferentemente do método racional, que geralmente não produz um hidrograma, os modelos de fluxo terrestre têm a capacidade de explicar não apenas a concentração do escoamento, mas também a difusão do escoamento. Outra vantagem dos modelos de fluxo terrestre é sua natureza distribuída, ou seja, o fato de que o excesso de chuva pode variar no espaço e no tempo, se necessário. Os modelos de fluxo terrestre, portanto, são uma ferramenta mais poderosa que os modelos paramétricos, como o método racional. No entanto, a complexidade aumenta em relação direta ao seu maior nível de detalhe.
As with the rational method, a question that must be addressed at the outset is the following: What size catchment can be analyzed with overland flow techniques? Here again, the answer is not very well defined. Intuitively, overland flow computations should be applicable to small catchments, primarily because overland flow is the main surface-flow feature of small catchments. The method, however, is not necessarily restricted to small catchments. Midsize catchments may also benefit from the increased detail of overland flow models. The actual limit is a practical one. Computations need to be performed in modules of relatively small size; otherwise, it is likely that the terrain's topographic, frictional, and vegetative features will not be properly represented in the overland flow model. In practice, overland flow techniques are restricted to catchments for which the surface features can be adequately represented within the model's topological structure. Otherwise, the amount of lumping introduced (i.e., temporal and spatial averaging) would interfere with the method's ability to predict the occurrence of flows in a distributed context.
Assim como no método racional, uma questão que deve ser abordada desde o início é a seguinte: Qual a dimensão da captação que pode ser analisada com técnicas de fluxo por terra? Aqui, novamente, a resposta não está muito bem definida. Intuitivamente, os cálculos de fluxo terrestre devem ser aplicáveis %G​​%@a pequenas bacias hidrográficas, principalmente porque o fluxo terrestre é a principal característica do fluxo superficial de pequenas bacias hidrográficas. O método, no entanto, não é necessariamente restrito a pequenas bacias hidrográficas. As bacias hidrográficas de médio porte também podem se beneficiar do aumento dos detalhes dos modelos de fluxo terrestre. O limite real é prático. Os cálculos precisam ser realizados em módulos de tamanho relativamente pequeno; caso contrário, é provável que as características topográficas, friccionais e vegetativas do terreno não sejam adequadamente representadas no modelo de fluxo terrestre. Na prática, as técnicas de fluxo por terra são restritas às bacias hidrográficas para as quais as características da superfície podem ser adequadamente representadas na estrutura topológica do modelo. Caso contrário, a quantidade de massa introduzida (isto é, média temporal e espacial) interferiria na capacidade do método de prever a ocorrência de fluxos em um contexto distribuído.
Overland flow techniques often form part of computer models that simulate all relevant phases of the hydrologic cycle. These models use overland flow techniques in their catchment routing component. The fundamentals of overland flow theory are presented here. Catchment routing methods are described in Chapter 10.
As técnicas de fluxo terrestre geralmente fazem parte de modelos de computador que simulam todas as fases relevantes do ciclo hidrológico. Esses modelos usam técnicas de fluxo por terra em seu componente de roteamento de captação. Os fundamentos da teoria do fluxo terrestre são apresentados aqui. Os métodos de roteamento de captação são descritos no Capítulo 10.
Overland Flow Theory
Teoria do Fluxo Terrestre
The mathematical description of overland flow begins with the equation of mass conservation of fluid mechanics, also referred to as the continuity equation.
In one-dimensional flow, this equation states that the change in flow per unit length
in a control volume is balanced by the change in fiow area per unit time:
A descrição matemática do fluxo terrestre começa com a equação de conservação de massa da mecânica dos fluidos, também chamada de equação de continuidade. No fluxo unidimensional, esta equação afirma que a mudança no fluxo por unidade de comprimento em um volume de controle é equilibrada pela mudança na área de fluxo por unidade de tempo:
∂Q ∂A
| ____ + ____ = 0 ∂x ∂t | (4-16) |
This equation does not include sources or sinks. Inclusion of the latter leads to:
Esta equação não inclui fontes ou sumidouros. A inclusão deste último leva a:
∂Q ∂A
| ____ + ____ =
qL ∂x ∂t | (4-17) |
in which qL = lateral inflow or outflow (inflow positive, outflow negative), or net lateral flow per unit length, in L2 T -1 units.
em que qL = entrada ou saída lateral (entrada positiva, saída negativa) ou fluxo lateral líquido por unidade de comprimento, em unidades L2T -1.
In small catchment hydrology, overland flow is assumed to take place on the overland flow plane. This is a plane of length L (in the flow direction), slope So, and of sufficiently large width W (Fig. 4-12). Therefore, a unit-width analysis is appropriate. For a unit width, Eq. 4-17 is converted to:
Em hidrologia de captação pequena, presume-se que o fluxo terrestre ocorra no plano de fluxo terrestre. Este é um plano de comprimento L (na direção do fluxo), inclinação So e largura suficientemente grande W (Fig. 4-12). Portanto, uma análise de largura da unidade é apropriada. Para uma largura de unidade, Eq. 4-17 é convertido em:
∂q ∂h
| ____ + ____ =
i ∂x ∂t | (4-18) |
in which q = flow rate per unit width; h = flow depth; and i = lateral inflow (rainfall excess), or inflow per unit area, in L T -1 units. While lateral inflow can vary in time and space, a first approximation is to consider it constant.
em que q = vazão por unidade de largura; h = profundidade do fluxo; e i = entrada lateral (excesso de chuva), ou entrada por unidade de área, em unidades L T -1. Embora o fluxo lateral possa variar no tempo e no espaço, uma primeira aproximação é considerá-lo constante.
Figure 4-12 Overland flow plane. |
Flow over the plane. Flow over the plane can be described as follows: As excess rainfall begins, water accumulates on the plane surface and begins to flow out of the plane at its lower end. Flow at the outlet (i.e., the outflow) increases gradually from zero, while the total volume of water stored over the plane also increases gradually. Eventually, if rainfall excess continues, both outflow and total volume of water stored over the plane reach a constant value. These constants are referred to as equilibrium outflow and equilibrium storage volume. For continuing rainfall excess, outflow and storage volume remain constant and equal to the equilibrium value. Immediately after excess rainfall ceases, outflow begins to draw water from storage, gradually decreasing while depleting the storage volume. Eventually, outflow returns to zero as the storage volume is completely drained.
Fluir sobre o avião. O fluxo sobre o plano pode ser descrito da seguinte maneira: À medida que o excesso de chuva começa, a água se acumula na superfície do plano e começa a fluir para fora do plano na extremidade inferior. O fluxo na saída (isto é, a vazão) aumenta gradualmente de zero, enquanto o volume total de água armazenada no avião também aumenta gradualmente. Eventualmente, se o excesso de chuva continuar, a vazão e o volume total de água armazenada no avião atingem um valor constante. Essas constantes são chamadas de vazão de equilíbrio e volume de armazenamento de equilíbrio. Para o excesso contínuo de chuvas, a vazão e o volume de armazenamento permanecem constantes e iguais ao valor de equilíbrio. Imediatamente após o excesso de chuva cessar, a vazão começa a extrair água do armazenamento, diminuindo gradualmente enquanto diminui o volume de armazenamento. Eventualmente, a saída retorna a zero quando o volume de armazenamento é completamente drenado.
The process is depicted in Fig. 4-13. The flow from start to equilibrium is called the rising limb of the overland flow hydrograph. The flow from equilibrium back to zero is called the receding limb of the hydrograph. The equilibrium outflow can be calculated by recognizing that at equilibrium state, the outflow must equal the inflow (i.e., rainfall excess). Therefore,
O processo está representado na Figura 4-13. O fluxo do início ao equilíbrio é chamado de membro ascendente do hidrograma de fluxo terrestre. O fluxo do equilíbrio de volta ao zero é chamado de membro recuado do hidrógrafo. A vazão de equilíbrio pode ser calculada reconhecendo que, no estado de equilíbrio, a vazão deve ser igual à entrada (isto é, excesso de chuva). Portanto,
|
i qe = ( _______ ) L 3600 | (4-19) |
in which qe = equilibrium outflow, in liters per second per meter; i = rainfall excess, in millimeters per hour; and L = plane length, in meters.
em que qe = vazão de equilíbrio, em litros por segundo por metro; i = excesso de chuva, em milímetros por hora; e L = comprimento do plano, em metros.
Figure 4-13 Sketch of overland flow hydrograph. |
Equation 4-19 is essentially a statement of runoff concentration, similar to Eq. 2-58 or to Eq. 4-1 with C = 1. Whether the flow actually does concentrate and reach its equilibrium value will depend upon the duration of the rainfall excess tr relative to the time te required to reach equilibrium. If tr > te, equilibrium is reached.
A equação 4-19 é essencialmente uma declaração da concentração do escoamento, semelhante à Eq. 2-58 ou para a Eq. 4-1 com C = 1. Se o fluxo realmente se concentra e atinge seu valor de equilíbrio dependerá da duração do excesso de chuva tr em relação ao tempo necessário para atingir o equilíbrio. Se tr> te, o equilíbrio é alcançado.
The volume of storage is the area below the line q = qe, and above the rising limb of the overland flow hydrograph, as shown in Fig. 4-13. As a first approximation, the shaded area above the rising limb may be assumed to be equal to the area below the rising limb. In this case, the equilibrium storage volume is:
O volume de armazenamento é a área abaixo da linha q = qe e acima do ramo ascendente do hidrograma de fluxo terrestre, como mostra a Figura 4-13. Como uma primeira aproximação, a área sombreada acima do membro ascendente pode ser considerada igual à área abaixo do membro ascendente. Nesse caso, o volume de armazenamento de equilíbrio é:
|
qe te Se = ________ 2 | (4-20) |
in which Se = equilibrium storage volume, in liters per meter; qe = equilibrium outflow, in liters per second per meter; and te = time to equilibrium, in seconds.
em que Se = volume de armazenamento de equilíbrio, em litros por metro; qe = vazão de equilíbrio, em litros por segundo por metro; e te = tempo de equilíbrio, em segundos.
In practice, surface and other irregularities cause the equilibrium state to be approached asymptotically and, therefore, the actual time to equilibrium is not clearly defined. A value of time t corresponding to q = 0.98qe may be taken as a practical measure of te. Then, Eq. 4-20 is only an approximation of the actual storage volume.
Na prática, irregularidades de superfície e outras fazem com que o estado de equilíbrio seja abordado assintoticamente e, portanto, o tempo real de equilíbrio não está claramente definido. Um valor de tempo t correspondente a q = 0,98qe pode ser tomado como uma medida prática de te. Então, Eq. 4-20 é apenas uma aproximação do volume de armazenamento real.
The equation of continuity, Eq. 4-18, can also be expressed in the following form:
A equação de continuidade, Eq. 4-18, também pode ser expresso da seguinte forma:
|
1 ∂h u ∂h h ∂u ( ___ ) _____ + ( ____ ) _____ + ( ___ ) _____ = 1 i ∂t i ∂x i ∂x | (4-21) |
in which u = q/h = mean velocity.
em que u = q / h = velocidade média.
The value of equilibrium outflow was obtained from Eq. 4-19 based on continuity considerations. However, the shape of the rising and receding limbs and the time to equilibrium remain to be elucidated. This can be obtained through the equation of momentum conservation (or equation of motion), following established principles of unsteady open channel flow [3, 9, 18]. The equation of motion, however, is a nonlinear partial differential equation. A form of this equation with u and h as dependent variables is [18]:
O valor da vazão de equilíbrio foi obtido da Eq. 4-19 com base em considerações de continuidade. No entanto, a forma dos membros em ascensão e recuo e o tempo para o equilíbrio ainda precisam ser elucidados. Isso pode ser obtido através da equação de conservação do momento (ou equação do movimento), seguindo princípios estabelecidos de fluxo instável de canal aberto [3, 9, 18]. A equação do movimento, no entanto, é uma equação diferencial parcial não linear. Uma forma desta equação com u e h como variáveis %G​​%@dependentes é [18]:
|
1 ∂u u ∂h h ∂u iu ( __ ) ____ + ( __ ) ____ + ( ___ ) ____ + Sf - So + ____ = 0 i ∂ t i ∂x i ∂x gh | (4-22) |
in which Sf = friction slope, So = plane slope, g = gravitational acceleration, and all other terms have been previously defined. All terms in Eqs. 4-21 and 4-22 are dimensionless.
em que Sf = inclinação de atrito, So = inclinação plana, g = aceleração gravitacional e todos os outros termos foram definidos anteriormente. Todos os termos nas Eqs. 4-21 e 4-22 não têm dimensão.
The solution of Eqs. 4-21 and 4-22 can be attempted in a variety of ways. Analytical solutions are usually based on an assumption of linearity [1, 22]. Numerical solutions have been extensively applied to stream and river flow problems [16, 18]. To date, overland flow problems have been solved with one of the following approaches:
A solução das Eqs. 4-21 e 4-22 podem ser tentados de várias maneiras. As soluções analíticas são geralmente baseadas em uma suposição de linearidade [1, 22]. Soluções numéricas têm sido extensivamente aplicadas a problemas de fluxo de rios e rios [16, 18]. Até o momento, os problemas de fluxo terrestre foram resolvidos com uma das seguintes abordagens:
- Storage concept,
Conceito de armazenamento,
- Kinematic wave technique,
Técnica de ondas cinemáticas,
- Diffusion wave technique, and
Técnica de ondas de difusão e
- Dynamic wave technique.
Técnica de ondas dinâmicas.
The storage concept is similar to that used in reservoir routing (Chapter 8). The kinematic wave technique simulates runoff concentration in the absence of diffusion. The diffusion wave technique simulates runoff concentration in the presence of small amounts of diffusion. The dynamic wave technique solves the complete set of governing equations, Eqs. 4-21 and 4-22, including runoff concentration, diffusion, and dispersion (third order) processes [23]. For practical applications, the storage concept and kinematic and diffusion wave techniques can be shown to be useful approximations to the complete equations.
O conceito de armazenamento é semelhante ao usado no roteamento de reservatório (capítulo 8). A técnica de ondas cinemáticas simula a concentração de escoamento na ausência de difusão. A técnica de onda de difusão simula a concentração do escoamento na presença de pequenas quantidades de difusão. A técnica de onda dinâmica resolve o conjunto completo de equações de governo, Eqs. 4-21 e 4-22, incluindo os processos de concentração, difusão e dispersão (terceira ordem) do escoamento [23]. Para aplicações práticas, o conceito de armazenamento e as técnicas de ondas cinemáticas e de difusão podem ser mostradas como aproximações úteis das equações completas.
In principle, the kinematic wave is an improvement over the storage concept; in turn, the diffusion wave is an improvement over the kinematic wave, whereas the dynamic wave is an improvement over the diffusion wave. Invariably, the effort involved in obtaining a solution increases in direct relation to the complexity of the equations being solved, including initial and boundary conditions. The storage and kinematic wave techniques are described in the following sections. A brief introduction to the diffusion wave technique is also given. The dynamic wave solution for overland flow is outside the scope of this ebook [4].
Em princípio, a onda cinemática é uma melhoria em relação ao conceito de armazenamento; por sua vez, a onda de difusão é uma melhoria sobre a onda cinemática, enquanto a onda dinâmica é uma melhoria sobre a onda de difusão. Invariavelmente, o esforço envolvido na obtenção de uma solução aumenta em relação direta à complexidade das equações que estão sendo resolvidas, incluindo as condições iniciais e de contorno. As técnicas de armazenamento e ondas cinemáticas são descritas nas seções a seguir. Também é dada uma breve introdução à técnica de ondas de difusão. A solução de ondas dinâmicas para fluxo terrestre está fora do escopo deste e-book [4].
Overland Flow Solution Based on Storage Concept
Solução de fluxo por terra com base no conceito de armazenamento
Early approaches to solve the overland flow problem are attributed to Horton [10] and Izzard [13, 14]. In particular, Horton noticed that experimental data justified a relationship between equilibrium outflow and equilibrium storage volume of the following form:
Abordagens iniciais para resolver o problema do fluxo terrestre são atribuídas a Horton [10] e Izzard [13, 14]. Em particular, Horton observou que os dados experimentais justificaram uma relação entre a saída de equilíbrio e o volume de armazenamento de equilíbrio da seguinte forma:
| qe = a Sem | (4-23) |
in which a and m are empirical constants. A mean flow depth he is defined in the following way:
em que a e m são constantes empíricas. A profundidade média do fluxo é definida da seguinte maneira:
Se
|
he = _____ L | (4-24) |
Combining Eqs. 4-23 and 4-24:
Combinando Eqs. 4-23 e 4-24:
| qe = b hem | (4-25) |
in which b = aLm, another constant. The value of the exponent m is a function of flow regime, depending on whether the latter is laminar, turbulent (either Manning or Chezy), or mixed laminar-turbulent. Typical values of m are shown in Table 4-3.
em que b = aLm, outra constante. O valor do expoente m é uma função do regime de fluxo, dependendo se este é laminar, turbulento (Manning ou Chezy) ou laminar-turbulento misto. Os valores típicos de m são mostrados na Tabela 4-3.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A conceptual estimate of time to equilibrium can be obtained by combining Eqs. 4-20 and 4-23 and solving for te:
Uma estimativa conceitual do tempo até o equilíbrio pode ser obtida combinando as Eqs. 4-20 e 4-23 e resolvendo para te:
|
2 te = ________________ qe (m -1)/m a 1/m | (4-26) |
For laminar flow conditions, b = aLm = CL, where CL is defined as follows [3]:
Para condições de fluxo laminar, b = aLm = CL, em que CL é definido da seguinte forma [3]:
|
gSo CL = _________ 3 ν | (4-27) |
and ν = kinematic viscosity, a function of water temperature (see Tables A-1 and A-2, Appendix A).
The units of CL are L-1T -1.
Furthermore, with qe = iL, Eq. 4-26 reduces to the following for the case of
e ~ = viscosidade cinemática, em função da temperatura da água (consulte as tabelas A-1 e A-2, apêndice A). As unidades de CL são L-1T -1. Além disso, com qe = iL, Eq. 4-26 reduz ao seguinte para o caso de m = 3 (fluxo laminar):
|
2 L 1/3 te = _____________ i 2/3 CL1/3 | (4-28) |
in which te = time to equilibrium, in seconds; L = length of overland flow plane, in meters; and
em que te = tempo de equilíbrio, em segundos; L = comprimento do plano de fluxo terrestre, em metros; e i = intensidade efetiva da precipitação, em metros por segundo.
For turbulent Manning flow conditions, b = aLm = (1/n) So1/2, in which n is the Manning friction coefficient. With qe = iL, Eq. 4-26 reduces to the following for the case of mixed laminar-turbulent flow (5/3 < m < 3):
Para condições de fluxo de Manning turbulentas, b = aLm = (1 / n) So1 / 2, em que n é o coeficiente de atrito de Manning. Com qe = iL, Eq. 4-26 reduz para o seguinte no caso de fluxo laminar-turbulento misto (5/3
with the same units as Eq. 4-28 (te in seconds, L in meters, i in meters per second).
As expected, time to equilibrium increases with bottom friction and plane length, and
decreases with effective rainfall intensity and plane slope.
com as mesmas unidades que a Eq. 4-28 (te em segundos, L em metros, i em metros por segundo). Como esperado, o tempo de equilíbrio aumenta com o atrito do fundo e o comprimento do plano e diminui com a intensidade efetiva da precipitação e a inclinação do plano.
Equation 4-29 was developed by assuming the Manning formula in the rating.
Therefore, it is strictly applicable only to m = 5/3.
In practice, however, this equation is also used for mixed laminar-turbulent flow
(5/3 < m < 3).
In addition, the very shallow depths that usually prevail in overland flow calculations result in a substantial increase in friction.
These differences are accounted for by using an effective roughness parameter N in lieu of the Manning friction coefficient [11].
Typical values of N are given in Table 4-4.
A Equação 4-29 foi desenvolvida assumindo a fórmula de Manning na classificação. Portanto, é estritamente aplicável apenas a m = 5/3. Na prática, no entanto, essa equação também é usada para fluxo laminar-turbulento misto (5/3
Rising limb of the overland flow hydrograph.
The Horton-Izzard solution to the overland flow problem is based on the assumption that Eq. 4-23 is valid not only at equilibrium but also at any other time:
Membro crescente do hidrograma de fluxo terrestre. A solução de Horton-Izzard para o problema do fluxo por terra é baseada na suposição de que a Eq. 4-23 é válido não apenas no equilíbrio, mas também em qualquer outro momento:
in which q = outflow at time t, and S = storage volume at time t.
This assumption is convenient because it allows an analytical solution for the shape of the overland flow hydrograph.
Equation 4-30 is the formula for a nonlinear reservoir, i.e., a function relating outflow and storage volume in a nonlinear way (m ≠ 1).
Therefore, a nonlinear reservoir is being used to model the equation of motion, Eq. 4-22.
In essence, a deterministic model (Eq. 4-22) has been replaced by a conceptual model (Eq. 4-30).
em que q = vazão no tempo t e S = volume de armazenamento no tempo t. Essa suposição é conveniente porque permite uma solução analítica para a forma do hidrograma de fluxo terrestre. A Equação 4-30 é a fórmula para um reservatório não linear, isto é, uma função que relaciona o fluxo de saída e o volume de armazenamento de maneira não linear (m ~ 1). Portanto, um reservatório não linear está sendo usado para modelar a equação de movimento, Eq. 4-22. Em essência, um modelo determinístico (Eq. 4-22) foi substituído por um modelo conceitual (Eq. 4-30).
Equation 4-16 can be expressed in one space increment Δx to yield:
A equação 4-16 pode ser expressa em um incremento de espaço ~x para produzir:
in which I = inflow to the control volume, O = outflow from the control volume, and dS/dt = rate of change of storage in control volume (Fig. 4-14).
For the overland flow case, I = iL and
em que I = entrada no volume de controle, O = saída do volume de controle e dS / dt = taxa de alteração de armazenamento no volume de controle (Fig. 4-14). Para o caso de fluxo por terra, I = iL e O = q. Portanto:
which through Eqs. 4-19, 4-23, and 4-30 leads to:
que através das Eqs. 4-19, 4-23 e 4-30 levam a:
Figure 4-14 Inflow, outflow, and rate of change of storage in a control volume.
Integrating Eq. 4-33:
Integrando a Eq. 4-33:
and, through additional algebraic manipulation [1]:
e, através de manipulação algébrica adicional [1]:
Using Eq. 4-26, Eq. 4-35 reduces to:
Usando a Eq. 4-26, Eq. 4-35 reduz para:
For m = 2, which describes a flow regime that is 75% turbulent (between laminar, for which m = 3, and 100% turbulent Manning, for which m = 5/3), the solution of Eq. 4-36 is:
Para m = 2, que descreve um regime de fluxo que é 75% turbulento (entre laminar, para o qual m = 3, e 100% turbulento de Manning, para o qual m = 5/3), a solução da Eq. 4-36 é:
which was expressed by Horton with time as independent variable as follows [1]:
que foi expresso por Horton com o tempo como variável independente da seguinte forma [1]:
For m = 3 (laminar flow), the solution of Eq. 4-36 is [24]:
Para m = 3 (fluxo laminar), a solução da Eq. 4-36 é [24]:
With the aid of Eq. 4-38, and Eq. 4-19 for qe and Eq. 4-29 for te,
the rising limb of the overland flow hydrograph for m = 2 can be calculated.
Likewise, with the aid of
Com a ajuda da Eq. 4-38 e Eq. 4-19 para qe e Eq. 4-29 para te, o membro ascendente do hidrograma de fluxo terrestre para m = 2 pode ser calculado. Da mesma forma, com a ajuda da Eq. 4-39, e com a Eq. 4-19 para qe e Eq. 4-28 para te, o membro ascendente do hidrograma de fluxo por terra para m = 3 pode ser calculado.
Receding limb. For m > 1,
the receding limb of the overland flow hydrograph can be calculated by the following formula [24]:
Membro recuando. Para m> 1, o membro recuado do hidrograma de fluxo terrestre pode ser calculado pela seguinte fórmula [24]:
where q /qe = 1 for t /te = 0, i.e., the outflow is at equilibrium at the start of the recession.
onde q / qe = 1 para t / te = 0, isto é, a vazão está em equilíbrio no início da recessão.
Likewise, for m = 1, the hydrograph recession is as follows [24]:
Da mesma forma, para m = 1, a recessão do hidrograma é a seguinte [24]:
where q /qe = 1 for t /te = 0.
Limitations.
Several assumptions limit the applicability of the Horton-Izzard solution.
The most important one is the nonlinear form of the storage equation, Eqs. 4-23 and 4-30.
Izzard has suggested that the method should be restricted to cases where the product of rainfall intensity (in millimeters per hour) and plane length (in meters) (iL) does not exceed 3000.
Notwithstanding the apparent limitations, the Horton-Izzard solution of overland flow has
been extensively used in the past, particularly in the design of airport drainage [3, 7].
Limitações Várias suposições limitam a aplicabilidade da solução Horton-Izzard. A mais importante é a forma não linear da equação de armazenamento, Eqs. 4-23 e 4-30. Izzard sugeriu que o método deveria ser restrito aos casos em que o produto da intensidade da chuva (em milímetros por hora) e comprimento do avião (em metros) (iL) não exceda 3000. Não obstante as limitações aparentes, a solução Horton-Izzard de terra o fluxo foi amplamente utilizado no passado, particularmente no projeto de drenagem de aeroportos [3, 7].
Overland Flow Solution Based on Kinematic Wave Theory
Solução de Fluxo Terrestre Baseada na Teoria de Ondas Cinemáticas
According to this theory, Eq. 4-22 can be approximated by a single-valued flow-depth rating at any point, leading to:
De acordo com essa teoria, a Eq. 4-22 pode ser aproximado por uma classificação de profundidade de fluxo de valor único em qualquer ponto, levando a:
in which b and m are constants analogous to those of Eq. 4-25.
Unlike Horton's approach, which bases the rating on the storage volume on the entire plane (Eqs. 4-23 and 4-30), the kinematic wave approach bases the rating on flow depths at individual cross sections.
This difference has substantial implications for computer modeling because whereas the Horton approach is lumped in space, the kinematic approach is not, and therefore it is better suited to distributed computation.
em que b e m são constantes análogas às da Eq. 4-25. Diferentemente da abordagem de Horton, que baseia a classificação no volume de armazenamento em todo o plano (Eqs. 4-23 e 4-30), a abordagem cinemática baseia a classificação nas profundidades de fluxo em seções transversais individuais. Essa diferença tem implicações substanciais para a modelagem computacional, porque, enquanto a abordagem de Horton é agrupada no espaço, a abordagem cinemática não é e, portanto, é mais adequada para computação distribuída.
Reservoirs and channels.
The difference between a rating based on storage volume and one based on flow depth
merits further discussion.
There are two distinct features in free surface flow in natural catchments:
Reservatórios e canais. A diferença entre uma classificação baseada no volume de armazenamento e outra baseada na profundidade do fluxo merece uma discussão mais aprofundada. Existem duas características distintas no fluxo superficial livre em bacias hidrográficas naturais:
Reservatórios e
Canais.
In an ideal reservoir, the water surface slope is zero [Fig. 4-15 (a)], and, therefore, outflow and storage volume are uniquely related.
If an outflow rating is desired, storage volume can be uniquely related to stage; consequently, outflow can be uniquely related to stage and flow depth.
On the other hand, in an ideal channel, the water surface slope is nonzero [Fig. 4-15 (b)], and, in general, storage is a nonunique function of inflow and outflow.
If a flow rating is desired, the only practical way of obtaining it is to relate flow to its depth.
Em um reservatório ideal, a inclinação da superfície da água é zero [Fig. 4-15 (a)] e, portanto, o volume de saída e armazenamento estão relacionados exclusivamente. Se uma classificação de saída for desejada, o volume de armazenamento poderá estar relacionado exclusivamente ao estágio; consequentemente, a vazão pode estar relacionada exclusivamente à profundidade do estágio e do fluxo. Por outro lado, em um canal ideal, a inclinação da superfície da água é diferente de zero [Fig. 4-15 (b)] e, em geral, o armazenamento é uma função não-única de entrada e saída. Se uma taxa de fluxo é desejada, a única maneira prática de obtê-la é relacionar o fluxo à sua profundidade.
Figure 4-15 (a) Ideal reservoir; (b) ideal channel.
In the Horton approach, outflow is related to storage volume and, by extension, to the mean flow depth on the overland plane. In contrast,
in the kinematic wave approach, outflow is related to the outflow depth.
Since the typical overland flow problem has a nonzero water surface slope, it is more likely to behave as a channel rather than a reservoir.
Therefore, it would appear that the kinematic wave approach is a better model of the physical process than the storage concept.
Further analysis has shown, however, that while the kinematic wave lacks diffusion, the storage concept does not.
In this sense, the storage concept may well be a better model than the kinematic wave approach for cases featuring significant amounts of runoff diffusion.
Na abordagem de Horton, a vazão está relacionada ao volume de armazenamento e, por extensão, à profundidade média do fluxo no plano terrestre. Por outro lado, na abordagem de ondas cinemáticas, a vazão está relacionada à profundidade da vazão. Como o problema típico do fluxo terrestre tem uma inclinação da superfície da água diferente de zero, é mais provável que ele se comporte como um canal do que como um reservatório. Portanto, parece que a abordagem das ondas cinemáticas é um modelo melhor do processo físico do que o conceito de armazenamento. Análises posteriores mostraram, no entanto, que, embora a onda cinemática não tenha difusão, o conceito de armazenamento não. Nesse sentido, o conceito de armazenamento pode muito bem ser um modelo melhor do que a abordagem de ondas cinemáticas para casos que apresentam quantidades significativas de difusão de escoamento.
The kinematic wave assumption, Eq. 4-42, amounts to substituting a uniform flow formula (such as Manning's) for the equation of motion, Eq. 4-22.
In essence, it says that as far as momentum is concerned, the flow is steady.
The unsteadiness of the phenomena, however, is preserved through the continuity equation, Eq. 4-18,
or Eq. 4-21.
The implication of the kinematic wave assumption is that unsteady flow may be visualized as a succession of steady uniform flows, with the water surface slope remaining constant at all times.
This, of course, can be reconciled with reality only if the flow
unsteadiness is very mild; that is, if the changes in stage occur very gradually.
A suposição de ondas cinemáticas, Eq. 4-42, equivale a substituir uma equação de fluxo uniforme (como a de Manning) pela equação de movimento, Eq. 4-22. Em essência, diz que, no que diz respeito ao momento, o fluxo é constante. A instabilidade dos fenômenos, no entanto, é preservada pela equação de continuidade, Eq. 4-18, ou Eq. 4-21. A implicação da suposição de ondas cinemáticas é que o fluxo instável pode ser visualizado como uma sucessão de fluxos uniformes e constantes, com a inclinação da superfície da água permanecendo constante o tempo todo. Obviamente, isso só pode ser reconciliado com a realidade se a instabilidade do fluxo for muito leve; isto é, se as mudanças no estágio ocorrerem muito gradualmente.
In practice, a necessary condition for the applicability of Eq. 4-42 to unsteady flows is that the changes in momentum be
negligible compared to the force driving the steady flow, i.e., gravity (the plane or channel slope). The kinematic flow
number used in overland flow applications (Eq. 4-56) serves as a quantitative measure of how
kinematic a given unsteady
flow condition is; that is, of the extent to which Eq. 4-42 a good surrogate of Eq. 4-22 and, therefore, a valid description of the unsteady flow phenomena.
Na prática, uma condição necessária para a aplicabilidade da Eq. 4-42 a fluxos instáveis %G​​%@é que as mudanças no momento sejam insignificantes em comparação com a força que impulsiona o fluxo constante, isto é, a gravidade (a inclinação do plano ou canal). O número do fluxo cinemático usado em aplicações de fluxo terrestre (Eq. 4-56) serve como uma medida quantitativa de quão cinemática é uma determinada condição de fluxo instável; isto é, na medida em que a Eq. 4-42 um bom substituto da Eq. 4-22 e, portanto, uma descrição válida dos fenômenos de fluxo instáveis.
Kinematic wave solution.
The application of kinematic wave theory to the overland flow problem begins with Eq. 4-18,
repeated here for convenience:
Solução de ondas cinemáticas. A aplicação da teoria das ondas cinemáticas ao problema do fluxo terrestre começa com a Eq. 4-18, repetido aqui por conveniência:
∂q ∂h
Differentiating Eq. 4-42 with respect to flow depth, assuming that b and m are constants (a wide channel of constant friction) gives:
Diferenciando a Eq. 4-42 em relação à profundidade do fluxo, assumindo que bec são constantes (um amplo canal de atrito constante) fornece:
in which c = celerity of a kinematic wave.
Since in overland flow m > 1 (Table 4-3),
the celerity of a kinematic wave is greater than the mean flow velocity.
em que c = celeridade de uma onda cinemática. Como no fluxo terrestre m> 1 (Tabela 4-3), a celeridade de uma onda cinemática é maior que a velocidade média do fluxo.
Multiplying Eqs. 4-18 and 4-43 and using the chain rule,
Multiplicando Eqs. 4-18 e 4-43 e usando a regra da cadeia,
which is a form of the kinematic wave equation with q as the dependent variable.
que é uma forma da equação da onda cinemática com q como variável dependente.
Using the same approach, an expression for kinematic flow in terms of flow depth can be derived:
Usando a mesma abordagem, uma expressão para fluxo cinemático em termos de profundidade do fluxo pode ser derivada:
With c = dx/dt, i.e., the slope of the characteristic lines on an x-t plane (Fig. 4-16), the left side of
Com c = dx / dt, isto é, a inclinação das linhas características em um plano x-t (Fig. 4-16), o lado esquerdo das Eqs. 4-44 e 4-45 denota o total de diferenciais. Portanto:
Figure 4-16 Characteristic lines on the x-t plane.
In particular, Eq. 4-48 can be integrated to yield:
em particular, a Eq. 4-48 podem ser integrados para produzir:
which implies that the flow depth at any point along the plane increases linearly with time, provided that rainfall excess i remains constant.
o que implica que a profundidade do fluxo em qualquer ponto do plano aumenta linearmente com o tempo, desde que o excesso de chuva i permaneça constante.
The overland flow solution under the kinematic wave assumption resembles that of the storage concept, with a rising limb, an equilibrium state, and a receding limb.
Although the equilibrium flow is the same (qe = i L),
the time to equilibrium is notably different, as is the shape of rising and receding limbs.
A solução de fluxo terrestre sob a suposição de ondas cinemáticas se assemelha à do conceito de armazenamento, com um membro crescente, um estado de equilíbrio e um membro recuado. Embora o fluxo de equilíbrio seja o mesmo (qe = 1 L), o tempo para o equilíbrio é notavelmente diferente, assim como a forma dos membros em ascensão e recuo.
To derive the kinematic wave solution, Eq. 4-42 is expressed in terms of equilibrium outflow:
Para derivar a solução de ondas cinemáticas, Eq. 4-42 é expresso em termos de fluxo de equilíbrio:
in which, unlike in Eqs. 4-24 and 4-25, he is now interpreted as the equilibrium flow depth at the catchment outlet.
Dividing Eq. 4-42 by Eq. 4-50 leads to:
em que, ao contrário das Eqs. 4-24 e 4-25, ele agora é interpretado como a profundidade do fluxo de equilíbrio na saída da bacia hidrográfica. Dividindo a Eq. 4-42 pela Eq. 4-50 leva a:
Since h = it (Eq. 4-50), this leads to:
Como h = it (Eq. 4-50), isso leva a:
in which tk = kinematic time parameter, defined as:
em que tk = parâmetro de tempo cinemático, definido como:
Equation 4-53 is applicable for t ≤ tk. Otherwise, the flow would exceed the equilibrium value, which is clearly a physical impossibility.
Thus, the kinematic time parameter may be interpreted as a kinematic time-to-equilibrium.
A equação 4-53 é aplicável a t ~ tk. Caso contrário, o fluxo excederia o valor de equilíbrio, o que é claramente uma impossibilidade física. Assim, o parâmetro de tempo cinemático pode ser interpretado como um tempo de equilíbrio cinemático.
With Eq. 4-51,
and since qe = iL and b = (1/n) So1/2 (for turbulent Manning friction in wide channels), the kinematic time parameter may be expressed as follows:
Com Eq. 4-51, e como qe = iL eb = (1 / n) So1 / 2 (para atrito turbulento de tripulação em canais largos), o parâmetro de tempo cinemático pode ser expresso da seguinte forma:
which is the same as Eq. 4-29, albeit without the factor 2.
In other words, the analytical solution to the kinematic wave equation is a parabola (Eq. 4-53), whereas the analytical
solution of the storage concept is a hyperbolic trigonometric function (see,
for instance, Eq. 4-38, applicable for m = 2).
que é igual à Eq. 4-29, embora sem o fator 2. Em outras palavras, a solução analítica para a equação da onda cinemática é uma parábola (Eq. 4-53), enquanto a solução analítica do conceito de armazenamento é uma função trigonométrica hiperbólica (veja, para exemplo, Eq. 4-38, aplicável para m = 2).
Wooding's open book.
The kinematic approach to the solution of the overland flow problem was studied in detail by Iwagaki [12], Henderson and Wooding [8], Wooding [29, 30, 31], and Woolhiser and Liggett [32], among others.
Wooding developed the concept of the open book shown in Fig. 4-17, which has been extensively used in catchment modeling (Chapter 10).
The open book is formed by two overland flow planes;
the outflow from the planes is lateral inflow to the channel, which conveys the flow to the catchment outlet.
Livro aberto de Wooding. A abordagem cinemática da solução do problema do fluxo terrestre foi estudada em detalhes por Iwagaki [12], Henderson e Wooding [8], Wooding [29, 30, 31] e Woolhiser e Liggett [32], entre outros. Wooding desenvolveu o conceito do livro aberto mostrado na Fig. 4-17, que tem sido amplamente utilizado na modelagem de captação (Capítulo 10). O livro aberto é formado por dois planos de fluxo terrestre; o fluxo de saída dos planos é influxo lateral para o canal, que transporta o fluxo para a saída da bacia hidrográfica.
Figure 4-17 Wooding's open-book catchment schematization [27].
Applicability of kinematic waves.
Woolhiser and Liggett calculated the shape of the rising hydrograph under kinematic flow.
Furthermore, they established the limit for the applicability of the kinematic wave in terms of the kinematic flow number, defined as follows:
Aplicabilidade de ondas cinemáticas. Woolhiser e Liggett calcularam a forma do hidrograma crescente sob fluxo cinemático. Além disso, eles estabeleceram o limite para a aplicabilidade da onda cinemática em termos do número do fluxo cinemático, definido da seguinte forma:
in which K = kinematic flow number, a dimensionless number; F = Froude number corresponding to the equilibrium flow at the outlet;
and ho = equilibrium flow depth at the outlet (i.e., he).
Values of K greater than 20 describe kinematic flow, while lower values do not [18].
In other words, for low K values, Eq. 4-41 is no longer a good approximation of Eq. 4-22.
em que K = número de fluxo cinemático, um número sem dimensão; F = número de Froude correspondente ao fluxo de equilíbrio na saída; e ho = profundidade do fluxo de equilíbrio na saída (isto é, ele). Valores de K maiores que 20 descrevem o fluxo cinemático, enquanto valores mais baixos não [18]. Em outras palavras, para valores baixos de K, Eq. 4-41 não é mais uma boa aproximação da Eq. 4-22.
In particular, since So is likely to vary within a wider range than either L, F, or ho,
Eq. 4-56 could
be interpreted to mean that the property of a wave being kinematic is directly related to plane slope:
the steeper the slope, the greater the K value and the more kinematic the resulting flow should be.
Conversely, the milder the slope, the lower the K value and the less
kinematic the flow.
The reason for this inability of the kinematic wave to account for a wide range of slopes is apparent from the nature of Eq. 4-22. The kinematic wave accounts only for friction and plane slopes.
All other terms are excluded from the formulation and are, therefore, absent from the solution.
For very mild plane slopes, the importance of these terms may be promoted to the point where neglecting them is no longer justified.
Em particular, como é provável que So varie dentro de uma faixa mais ampla do que L, F ou ho, Eq. 4-56 pode ser interpretado como significando que a propriedade de uma onda que é cinemática está diretamente relacionada à inclinação plana: quanto mais íngreme, maior o valor de K e mais cinemático o fluxo resultante deve ser. Por outro lado, quanto mais suave a inclinação, menor o valor de K e menos cinemático o fluxo. A razão para esta incapacidade da onda cinemática em explicar uma ampla gama de inclinações é aparente da natureza da Eq. 4-22. A onda cinemática é responsável apenas por atritos e declives planos. Todos os outros termos são excluídos da formulação e, portanto, ausentes da solução. Para inclinações planas muito brandas, a importância desses termos pode ser promovida a ponto de negligenciá-los.
While this appears to impose stringent limitations, the situation in practice is quite different.
Most overland flow problems have steep slopes, on the order of So = 0.01 or more, resulting in the flow being essentially kinematic, as confirmed by their kinematic flow number (Eq. 4-56).
However, much milder slopes, less than So = 0.001, result in very low kinematic flow numbers; for these cases, the kinematic wave solution may not be justified.
Embora isso pareça impor limitações rigorosas, a situação na prática é bem diferente. A maioria dos problemas de fluxo terrestre possui declives acentuados, da ordem de So = 0,01 ou mais, resultando no fluxo sendo essencialmente cinemático, conforme confirmado pelo seu número de fluxo cinemático (Eq. 4-56). No entanto, declives muito mais amenos, inferiores a So = 0,001, resultam em números de fluxo cinemático muito baixos; nesses casos, a solução de ondas cinemáticas pode não ser justificada.
Kinematic shock.
A source of complexity in kinematic wave solutions arises from the fact that the wave celerity in
Choque cinemático. Uma fonte de complexidade nas soluções de ondas cinemáticas decorre do fato de que a celeridade das ondas na Eq. 4-43 varia com o fluxo, tornando-se uma equação não-linear (isto é, quase-linear). A princípio, isso parece ser uma vantagem. Um exame mais aprofundado, no entanto, revela que essa propriedade pode levar a uma tendência cada vez maior da onda. As soluções analíticas, se transportadas por tempo suficiente (isto é, em canais muito longos), invariavelmente levam ao fenômeno chamado choque cinemático, o aumento da onda cinemática até o ponto em que atinge uma face quase vertical. Kibler e Woolhiser colocaram no contexto certo quando declararam [15]:
"...While the shock wave phenomenon may arise under highly selective physical circumstances, it is looked
upon in this study as a property of the mathematical equations used to explore the overland flow problem
rather than an observable feature of this hydrodynamic process."
"... Embora o fenômeno das ondas de choque possa surgir sob circunstâncias físicas altamente seletivas, este estudo é considerado uma propriedade das equações matemáticas usadas para explorar o problema do fluxo terrestre, em vez de uma característica observável desse processo hidrodinâmico".
In nature, small amounts of diffusion and other irregularities usually act in such a way as to control and arrest shock development.
An analytical solution, however, has no such imperfections.
In essence, the total absence of diffusion in the analytical solution permits the uncontrolled development of the kinematic shock.
Numerical solutions, however, usually have small amounts of diffusion and are, therefore, not perfect, with the shock being a rare occurrence in this case.
This fact gives rise to practical implications for stream channel and catchment routing (Chapters 9 and 10).
Na natureza, pequenas quantidades de difusão e outras irregularidades geralmente agem de maneira a controlar e impedir o desenvolvimento de choques. Uma solução analítica, no entanto, não tem essas imperfeições. Em essência, a total ausência de difusão na solução analítica permite o desenvolvimento descontrolado do choque cinemático. As soluções numéricas, no entanto, geralmente têm pequenas quantidades de difusão e, portanto, não são perfeitas, sendo o choque uma ocorrência rara nesse caso. Esse fato gera implicações práticas para o canal de fluxo e o roteamento de captação (capítulos 9 e 10).
Comparison of storage and kinematic wave solutions. Figure 4-18 shows dimensionless rising hydrographs of storage-concept overland flow solutions for values of 1 ≤ m ≤ 3.
Note that dimensionless discharge is defined as:
q* = q /qe, and
dimensionless time as:
t* = t /te.
For comparison, the rising hydrograph of the kinematic wave (KW) is also shown in Fig. 4-18.
This figure clearly shows that the response of the kinematic wave solution
is about twice as fast as that of the storage concept (compare Eq. 4-29 for the
storage concept with Eq. 4-54 for the kinematic wave).
Comparação de soluções de armazenamento e ondas cinemáticas. A Figura 4-18 mostra hidrogramas crescentes sem dimensão de soluções de fluxo terrestre do conceito de armazenamento para valores de 1 ~ m ~ 3. Observe que a descarga sem dimensão é definida como: q * = q / qe e o tempo sem dimensão como: t * = t / te . Para comparação, o hidrograma crescente da onda cinemática (KW) também é mostrado na Fig. 4-18. Esta figura mostra claramente que a resposta da solução de ondas cinemáticas é duas vezes mais rápida que a do conceito de armazenamento (compare a Eq. 4-29 para o conceito de armazenamento com a Eq. 4-54 para a onda cinemática).
Figure 4-18 Dimensionless rising hydrographs of overland flow using the storage concept [24].
Figure 4-19 shows dimensionless receding hydrographs of storage-concept overland flow solutions for
values of 1 ≤ m ≤ 3.
A Figura 4-19 mostra hidrogramas recuados sem dimensão de soluções de fluxo terrestre com conceito de armazenamento para valores de 1 ~ m ~ 3.
Figure 4-19 Dimensionless receding hydrographs of overland flow [24].
Overland Flow Solution Based on Diffusion Wave Theory
Solução de Fluxo Terrestre Baseada na Teoria das Ondas de Difusão
According to diffusion wave theory, the flow depth gradient ∂h/∂x in Eq. 4-22 is largely responsible for the diffusion mechanism, which is naturally present in unsteady free surface flows. Therefore, its inclusion in the analysis should provide runoff concentration with diffusion.
De acordo com a teoria das ondas de difusão, o gradiente de profundidade do fluxo ~h / ~x na Eq. 4-22 é amplamente responsável pelo mecanismo de difusão, que está naturalmente presente em fluxos instáveis %G​​%@de superfície livre. Portanto, sua inclusão na análise deve propiciar a concentração do escoamento com difusão.
The inclusion of the depth gradient term substantially increases the difficulty of obtaining a solution.
An established procedure is to linearize the governing equations, Eqs. 4-21 and 4-22, around reference flow values.
This entails using small-perturbation theory to develop linear analogs of these equations.
This procedure, while heuristic, has worked well in a number of applications.
A inclusão do termo gradiente de profundidade aumenta substancialmente a dificuldade de obter uma solução. Um procedimento estabelecido é linearizar as equações que governam, Eqs. 4-21 e 4-22, em torno dos valores de fluxo de referência. Isso implica o uso da teoria das pequenas perturbações para desenvolver análogos lineares dessas equações. Este procedimento, embora heurístico, funcionou bem em várias aplicações.
Following Lighthill and Whitham [17], the linear analogs of Eqs. 4-21 and 4-22, neglecting the inertia terms (the first two terms of Eq. 4-22) and the momentum source term for simplicity, are, respectively,
Seguindo Lighthill e Whitham [17], os análogos lineares das Eqs. 4-21 e 4-22, negligenciando os termos de inércia (os dois primeiros termos da Eq. 4-22) e o termo de fonte de momento por simplicidade, são, respectivamente,
The coefficients of Eq 4-57 are constant, being the reference flow velocity uo and depth ho, respectively.
The second term of Eq. 4-58 represents a combined linear version of the friction slope Sf and channel slope So.
Furthermore, in Eq. 4-58 friction is described by the Manning formula.
If the Chezy formula is used, the factor 4/3 is replaced by 1.
Os coeficientes da Eq 4-57 são constantes, sendo a velocidade de referência de fluxo uo e profundidade ho, respectivamente. O segundo termo da Eq. 4-58 representa uma versão linear combinada da inclinação de atrito Sf e da inclinação do canal So. Além disso, na Eq. A fricção 4-58 é descrita pela fórmula de Manning. Se a fórmula Chezy for usada, o fator 4/3 será substituído por 1.
Differentiating Eq. 4-58 with respect to space and eliminating the term ∂u/∂x from the resulting equation (with the aid of Eq. 4-57), the following is obtained:
Diferenciando a Eq. 4-58 em relação ao espaço e eliminando o termo ~u / ~x da equação resultante (com o auxílio da Eq. 4-57), obtém-se o seguinte:
A similar expression with discharge as dependent variable may also be derived,
albeit at the cost of increased algebraic manipulation (Chapter 9).
Uma expressão semelhante com descarga como variável dependente também pode ser derivada, embora ao custo de maior manipulação algébrica (Capítulo 9).
Unlike the kinematic wave equation (Eq. 4-44), which has no second-order term, the diffusion wave equation (Eq. 4-59) has a second-order term.
Therefore, the latter can describe not only runoff concentration but also diffusion.
Equation 4-59 can be expressed in the following form:
Diferentemente da equação da onda cinemática (Eq. 4-44), que não tem termo de segunda ordem, a equação da onda de difusão (Eq. 4-59) tem um termo de segunda ordem. Portanto, este último pode descrever não apenas a concentração do escoamento, mas também a difusão. A equação 4-59 pode ser expressa da seguinte forma:
in which
is the celerity of a diffusion wave, for turbulent Manning friction in hydraulically
wide channels (overland flow), and
é a celeridade de uma onda de difusão, para atrito turbulento de tripulação em canais hidraulicamente amplos (fluxo por terra), e
is the hydraulic diffusivity, or channel diffusivity.
é a difusividade hidráulica ou difusividade do canal.
Equation 4-59 implies that the diffusion component (second-order term) is small compared with the concentration component (first-order terms) and that the channel diffusivity controls the diffusion contribution to the flow.
In effect, for very low values of So, channel diffusivity is very large.
In the limit, as channel slope approaches zero, channel diffusivity grows unbounded and Eq. 4-59 is no longer applicable.
However, for realistic mild slopes (approximately in the range 0.001-0.0001), the contribution of the diffusion term can be quite significant.
Diffusion wave theory, then, applies for the milder slopes for which kinematic wave theory is not sufficient.
Its application to catchment routing and hydrologic models of overland flow is discussed in Chapter 10.
A equação 4-59 implica que o componente de difusão (termo de segunda ordem) é pequeno comparado com o componente de concentração (termos de primeira ordem) e que a difusividade do canal controla a contribuição da difusão para o fluxo. Com efeito, para valores muito baixos de So, a difusividade do canal é muito grande. No limite, quando a inclinação do canal se aproxima de zero, a difusividade do canal cresce sem limites e a Eq. 4-59 não é mais aplicável. No entanto, para declives suaves realistas (aproximadamente na faixa de 0,001-0.0001), a contribuição do termo de difusão pode ser bastante significativa. A teoria das ondas de difusão, portanto, aplica-se às inclinações mais brandas para as quais a teoria das ondas cinemáticas não é suficiente. Sua aplicação ao roteamento de captação e modelos hidrológicos de fluxo terrestre é discutida no Capítulo 10.
In summary, overland flow techniques can provide more detail than the rational method in describing the peak and timing of outflow hydrographs from small catchments.
The increase in detail, however, is invariably associated with greater complexity.
In practice, it is reckoned that rainfall and abstraction modules must be coupled with
the overland flow module in order to arrive at a meaningful model.
Ideally, these modules should be as detailed as the overland flow module.
However, due to the complex spatial and temporal variability of rainfall and hydrologic
abstractions,
this consistency between model components is not always possible (Fig. 4-20).
Em resumo, as técnicas de fluxo terrestre podem fornecer mais detalhes do que o método racional na descrição do pico e do momento dos hidrogramas de vazão de pequenas bacias hidrográficas. O aumento nos detalhes, no entanto, está invariavelmente associado a uma maior complexidade. Na prática, considera-se que os módulos de chuva e captação devem ser acoplados ao módulo de fluxo por terra, a fim de chegar a um modelo significativo. Idealmente, esses módulos devem ser tão detalhados quanto o módulo de fluxo terrestre. No entanto, devido à variabilidade espacial e temporal complexa das chuvas e às abstrações hidrológicas, essa consistência entre os componentes do modelo nem sempre é possível (Fig. 4-20).
Figure 4-20 Rural watershed showing the spatial variability of infiltration. QUESTÕES
Name three properties that characterize a small catchment. Explain each one of them.
Cite três propriedades que caracterizam uma pequena bacia hidrográfica. Explique cada um deles.
What hydrologic processes does the rational method account for? Explain how they affect runoff.
Para quais processos hidrológicos o método racional é responsável? Explique como eles afetam o escoamento.
What processes are not considered in the rational method? Explain.
Quais processos não são considerados no método racional? Explicar.
How are the frequencies of storms and floods related? How does the rational method account for this difference?
Como estão relacionadas as frequências de tempestades e inundações? Como o método racional explica essa diferença?
What processes are included in the runoff coefficient?
Quais processos estão incluídos no coeficiente de escoamento superficial?
Under what assumption does the rational method provide the shape of the outflow hydrograph?
Sob que suposição o método racional fornece a forma do hidrograma de vazão?
Describe the phenomenon of overland flow. Contrast overland flow analysis with the rational method approach.
Descreva o fenômeno do fluxo terrestre. Análise de fluxo por contraste com a abordagem do método racional.
What crucial assumption makes the storage solution of overland flow different from the kinematic wave solution?
Que suposição crucial torna a solução de armazenamento do fluxo terrestre diferente da solução de ondas cinemáticas?
Why is overland flow likely to be of mixed laminar-turbulent nature? How is this modeled in practice?
Por que o fluxo terrestre provavelmente tem natureza laminar-turbulenta mista? Como isso é modelado na prática?
What is the difference between the time of concentation (or time to equilibrium) in
storage-concept and kinematic-wave overland flow models?
Qual é a diferença entre o tempo de concentração (ou tempo de equilíbrio) nos modelos de fluxo terrestre de conceito de armazenamento e de ondas cinemáticas?
What is an ideal reservoir? An ideal channel? Contrast these two concepts.
O que é um reservatório ideal? Um canal ideal? Compare esses dois conceitos.
What is the kinematic wave celerity? Why is it generally greater than the flow velocity?
Qual é a celeridade das ondas cinemáticas? Por que geralmente é maior que a velocidade do fluxo?
What is the kinematic flow number? What does it describe? For what kind of channel slope is it likely that the kinematic wave solution would not be applicable?
Qual é o número do fluxo cinemático? O que descreve? Para que tipo de inclinação do canal é provável que a solução de ondas cinemáticas não seja aplicável?
What is kinematic shock? Why does it often occur in analytic kinematic wave solutions while it is seldom present in numerical solutions?
O que é choque cinemático? Por que ocorre frequentemente em soluções de ondas cinemáticas analíticas enquanto raramente está presente em soluções numéricas?
Contrast kinematic and diffusion wave approaches to overland flow.
Abordagens cinemáticas e de difusão de contraste para o fluxo terrestre.
Why does Eq. 4-59 describe runoff diffusion, while Eq. 4-43 does not?
Por que a Eq. 4-59 descrevem a difusão do escoamento, enquanto a Eq. 4-43 não?
What is hydraulic diffusivity?
O que é difusividade hidráulica?
PROBLEMAS
Rain falls on a 150-ha catchment with intensity 2 cm/h and duration 2 h. Use the rational method to calculate the peak runoff, assuming runoff coefficient C = 0.6 and time of concentration A chuva cai em uma bacia hidrográfica de 150 ha com intensidade 2 cm / he duração 2 h. Use o método racional para calcular o pico do escoamento superficial, assumindo o coeficiente de escoamento C = 0,6 e o %G​​%@tempo de concentração tc = 1,5 h.
Rain falls on a 300-ac watershed with intensity 0.5 in./h and duration 2 h. Use the rational method to calculate the peak runoff, assuming runoff coefficient C = 0.4 and time of concentration tc = 2 h.
A chuva cai em uma bacia hidrográfica de 300 aC com intensidade de 0,5 pol./ he duração de 2 h. Use o método racional para calcular o pico do escoamento superficial, assumindo o coeficiente de escoamento C = 0,4 e o tempo de concentração tc = 2 h.
Rain falls on a 545-ha catchment with intensity 45 mm/h and duration 1 h. Use the rational method to calculate the peak runoff for the following conditions:
A chuva cai em uma bacia hidrográfica de 545 ha, com intensidade de 45 mm / he duração de 1 h. Use o método racional para calcular o escoamento de pico para as seguintes condições:
Natural, com tempo de concentração 2 he C = 0,4
Área parcialmente pavimentada melhorada, com tempo de concentração tc = 1 he C = 0,7.
State any assumptions used.
Declare quaisquer suposições usadas.
Rain falls on a 1.5-km2 watershed with intensity 20 mm/h and duration 2 h. Use the rational method to calculate the peak runoff for the following two conditions:
A chuva cai em uma bacia hidrográfica de 1,5 km2 com intensidade de 20 mm / he duração de 2 h. Use o método racional para calcular o escoamento de pico para as duas condições a seguir:
Bacia hidrográfica (natural) com tempo de concentração tc = 3 he C = 0,3; e
Área parcialmente pavimentada melhorada com tempo de concentração tc = 2 he C = 0,6.
State any assumptions used.
Declare quaisquer suposições usadas.
Rain falls on a catchment with intensity 35 mm/h and duration 2 h. The catchment area is 250 ha, with time of concentration tc = 2 hand φ = 15 mm/h. Calculate the peak runoff. State any assumptions used.
A chuva cai em uma bacia hidrográfica com intensidade de 35 mm / he duração de 2 h. A bacia hidrográfica é de 250 ha, com tempo de concentração tc = 2 ponteiros ~ = 15 mm / h. Calcule o pico do escoamento superficial. Declare quaisquer suposições usadas.
Rain falls on a watershed with intensity 1 in./h and duration 3 h. The watershed area is 500 ac, with time of concentration tc = 2 h and φ = 0.3 in./h. Calculate the peak runoff. State any assumptions used.
A chuva cai em uma bacia hidrográfica com intensidade 1 pol./h duração 3 h. A área da bacia hidrográfica é de 500 aC, com tempo de concentração tc = 2 he ~ = 0,3 pol./h. Calcule o pico do escoamento superficial. Declare quaisquer suposições usadas.
Rain falls on a watershed with intensity 30 mm/h and duration 1 h. The watershed area is 0.8 km2 with time of concentration tc = 2 h and φ = 15 mm/h. Use the rational method to calculate the peak runoff. State any assumptions used.
A chuva cai em uma bacia hidrográfica com intensidade de 30 mm / he duração de 1 h. A área da bacia é de 0,8 km2 com tempo de concentração tc = 2 he ~ = 15 mm / h. Use o método racional para calcular o pico do escoamento superficial. Declare quaisquer suposições usadas.
Rain falls on a 125-ha catchment with the following characteristics:
A chuva cai em uma bacia de 125 ha com as seguintes características:
Calculate the peak runoff due to a storm of 45 mm/h intensity lasting 1 h. Assume time of concentration tc = 30 min.
Calcule o pico do escoamento superficial devido a uma tempestade de 45 mm / h de intensidade com duração de 1 h. Assuma o tempo de concentração tc = 30 min.
Rain falls on a 90-ha catchment with the following characteristics:
A chuva cai em uma bacia de 90 ha com as seguintes características:
Calculate the peak runoff from a 50 mm/h storm lasting 2 h. Assume time of concentration tc = 2 h.
Calcule o pico do escoamento superficial de uma tempestade de 50 mm / h com duração de 2 h. Assuma o tempo de concentração tc = 2 h.
Rain falls on a 300-ha composite catchment which drains two subareas, as follows:
A chuva cai em uma bacia composta de 300 ha que drena duas subáreas, como segue:
Subárea A, íngreme, drenando 20%, com tempo de concentração 10 min e C = 0,8; e
Subárea B, íngreme mais suave, drenando 80%, com tempo de concentração 60 min e C = 0,4.
Calculate the peak runoff corresponding to the 25-y-frequency. Use the following IDF function:
Calcule o pico do escoamento correspondente à frequência de 25 anos. Use a seguinte função IDF:
in which I = rainfall intensity in millimeters per hour, T = return period in years, and tr = rainfall duration in minutes. Assume linear flow concentration at the catchment outlet.
em que I = intensidade da chuva em milímetros por hora, T = período de retorno em anos e tr = duração da chuva em minutos. Assuma a concentração de fluxo linear na saída da captação.
A chuva cai em uma bacia composta de 150 ha, que drena duas subáreas, da seguinte forma:
Subárea A, íngreme, drenando 30%, com tempo de concentração 20 min; e
Subárea B, íngreme mais suave, drenagem de 70%, com tempo de concentração 60 min.
The hydrologic abstraction is given in terms of φ = 25 mm/h. Calculate the 100-y-frequency peak flow. Use the following IDF function:
A abstração hidrológica é dada em termos de ~ = 25 mm / h. Calcule o fluxo de pico da frequência de 100 y. Use a seguinte função IDF:
in which I = rainfall intensity in millimeters per hour, T = return period in years, and tr = rainfall duration in minutes. Assume linear flow concentration at the catchment outlet. State any other assumptions used.
em que I = intensidade da chuva em milímetros por hora, T = período de retorno em anos e tr = duração da chuva em minutos. Assuma a concentração de fluxo linear na saída da captação. Declare quaisquer outras premissas usadas.
Rain falls on a composite catchment, which drains two subareas, as follows:
A chuva cai sobre uma bacia hidrográfica composta, que drena duas subáreas, como segue:
Subárea A, drenagem de 84 ha, C = 0,4, tempo de concentração 30 min;
Subárea B, drenando 180 ha, C = 0,6, tempo de concentração 60 min.
The runoff concentration for subarea B is a nonlinear function expressed as follows:
A concentração de escoamento superficial na subárea B é uma função não linear, expressa da seguinte maneira:
Calculate the 50-yr-frequency peak flow. Use the following IDF function:
Calcule o fluxo de pico de 50 anos de frequência. Use a seguinte função IDF:
in which I = rainfall intensity in millimeters per hour, T = return period in years, and tr = rainfall duration in minutes.
em que I = intensidade da chuva em milímetros por hora, T = período de retorno em anos e tr = duração da chuva em minutos.
A developed catchment is divided into five subareas, as sketched in Fig. 4-10, with the following data:
Uma bacia hidrográfica desenvolvida é dividida em cinco subáreas, conforme esboçado na Figura 4-10, com os seguintes dados:
Calculate the 10-y-frequency peak flow. Use the following IDF function:
Calcule o pico de fluxo com frequência de 10 anos. Use a seguinte função IDF:
in which I = rainfall intensity in millimeters per hour, T = return period in years, and tr = rainfall duration in minutes.
em que I = intensidade da chuva em milímetros por hora, T = período de retorno em anos e tr = duração da chuva em minutos.
A developed catchment is divided into five subareas, as sketched in Fig. 4-10, with the following data:
Uma bacia hidrográfica desenvolvida é dividida em cinco subáreas, conforme esboçado na Figura 4-10, com os seguintes dados:
Calculate the 10-y-frequency peak flow. Use the following IDF function:
Calcule o pico de fluxo com frequência de 10 anos. Use a seguinte função IDF:
in which I = rainfall intensity in millimeters per hour, T = return period in years, and tr = rainfall duration in minutes.
em que I = intensidade da chuva em milímetros por hora, T = período de retorno em anos e tr = duração da chuva em minutos.
The length of an overland flow plane is L = 90 m. Determine the equilibrium outflow
corresponding to a rainfall excess i = 35 mm/h.
O comprimento de um plano de fluxo terrestre é L = 90 m. Determine a vazão de equilíbrio correspondente a um excesso de chuva i = 35 mm / h.
An overland flow plane is 100 m long and 200 m wide, with time to equilibrium equal to 1 h.
Estimate the equilibrium storage volume (in cubic meters) for a rainfall excess i = 54 mm/h.
Um plano de fluxo terrestre tem 100 m de comprimento e 200 m de largura, com tempo de equilíbrio igual a 1 h. Estime o volume de armazenamento de equilíbrio (em metros cúbicos) para um excesso de chuva i = 54 mm / h.
Use the storage concept to calculate the time to equilibrium for an overland flow plane with the following characteristics:
100% laminar flow, plane length L = 75 m, plane slope So = 0.01, rainfall excess i = 72 mm/h, water temperature 20°C.
Use o conceito de armazenamento para calcular o tempo de equilíbrio para um plano de fluxo terrestre com as seguintes características: fluxo laminar 100%, comprimento do plano L = 75 m, inclinação do plano So = 0,01, excesso de chuva i = 72 mm / h, temperatura da água 20 ° C.
Calculate the mean overland flow depth (at equilibrium) under a laminar flow regime for a plane length L = 80 m,
rainfall excess i = 30 mm/h, and plane slope So = 0.012. Use water temperature T = 15°C. What would be the mean overland flow depth if the water temperature increased to 25°C?
Calcule a profundidade média do fluxo terrestre (em equilíbrio) sob um regime de fluxo laminar para um comprimento plano L = 80 m, excesso de precipitação i = 30 mm / h e inclinação do plano So = 0,012. Use a temperatura da água T = 15 ° C. Qual seria a profundidade média do fluxo terrestre se a temperatura da água aumentasse para 25 ° C?
Use the storage concept to calculate the time to equilibrium for an overland flow plane with the following characteristics:
turbulent Manning friction with n = 0.06, plane length L = 50 m, plane slope So = 0.02, rainfall excess i = 72 mm/h.
Use o conceito de armazenamento para calcular o tempo de equilíbrio para um plano de fluxo terrestre com as seguintes características: fricção de tripulação turbulenta com n = 0,06, comprimento do plano L = 50 m, inclinação do plano So = 0,02, excesso de precipitação i = 72 mm / h.
Calculate the rising limb of an overland flow hydrograph using Horton's equation (Eq. 4-37) assuming 75% turbulent flow.
Use: Manning n = 0.06, plane length L = 60 m, plane slope So = 0.015, rainfall excess i = 30 mm/h.
Calcule o membro ascendente de um hidrógrafo de fluxo terrestre usando a equação de Horton (Eq. 4-37) assumindo 75% de fluxo turbulento. Uso: Manejo n = 0,06, comprimento plano L = 60 m, inclinação do plano So = 0,015, excesso de precipitação i = 30 mm / h.
Calculate the rising limb of an overland flow hydrograph using Izzard's equation
(Eq. 4-39). Use: L = 60 m, So = 0.015, i = 30 mm/h, and ν = 1 cs (water temperature T = 20°C).
Calcule o membro ascendente de um hidrograma de fluxo terrestre usando a equação de Izzard (Eq. 4-39). Use: L = 60 m, So = 0,015, i = 30 mm / he ev = 1 cs (temperatura da água T = 20 ° C).
Prove that Eqs. 4-37 and 4-38 are equivalent.
Prove que as Eqs. 4-37 e 4-38 são equivalentes.
Calculate the receding limb of an overland flow hydrograph, using m = 3, L = 50 m,
So = 0.02, i = 33 mm/h, and ν = 1 cs.
Calcule o membro recuado de um hidrograma de fluxo terrestre, usando m = 3, L = 50 m, So = 0,02, i = 33 mm / h e ~ = 1 cs.
Derive the formula for the kinematic time parameter for 100% laminar flow (m = 3).
Derive a fórmula para o parâmetro de tempo cinemático para 100% de fluxo laminar (m = 3).
Using the formula derived in Problem 4-24, calculate the rising limb of an overland flow hydrograph using the kinematic wave
approach, assuming plane length L = 100 m, plane slope So = 0.01 , rainfall excess i = 25 mm/ h, and water temperature T = 20°C.
Usando a fórmula derivada no Problema 4-24, calcule o membro ascendente de um hidrógrafo de fluxo terrestre usando a abordagem de ondas cinemáticas, assumindo o comprimento do plano L = 100 m, a inclinação do plano So = 0,01, excesso de precipitação i = 25 mm / h e água temperatura T = 20 ° C.
An overland flow plane has the following characteristics: plane length L = 35 m, plane slope So = 0.008,
Manning n = 0.08, rainfall excess i = 55 mm/ h. Determine if the kinematic wave approximation is applicable to this set of overland flow conditions.
Um plano de fluxo por terra tem as seguintes características: comprimento do plano L = 35 m, inclinação do plano So = 0,008, Manning n = 0,08, excesso de precipitação i = 55 mm / h. Determine se a aproximação da onda cinemática é aplicável a este conjunto de condições de fluxo terrestre.
Calculate the hydraulic (channel) diffusivity for each of the following two flow conditions:
Calcule a difusividade hidráulica (canal) para cada uma das duas condições de fluxo a seguir:
Bed slope So = 0.005, mean flow depth ho = 0.01 m. and mean velocity uo = 0.05 m/ s; and
Inclinação do leito So = 0,005, profundidade média do fluxo ho = 0,01 m. e velocidade média uo = 0,05 m / s; e
Bed slope So = 0.00005, mean flow depth ho = 0.02 m, and mean velocity uo = 0.1 m/ s.
Inclinação do leito So = 0,00005, profundidade média do fluxo ho = 0,02 me velocidade média uo = 0,1 m / s.
REFERÊNCIAS
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2 (nL) 1/m
te = ___________________
i (m - 1)/m So 1/(2m)
(4-29)
Type of surface
N
Smooth surfaces (concrete, asphalt, gravel, or bare soil)
0.011
Fallow (no residue)
0.05
Cultivated soils
Residue cover ≤ 20%
0.06
Residue cover > 20%
0.17
Grass
Short grass prairie
0.15
Dense grasses
0.24
Bermuda grass
0.41
Range
0.13
Woods
Light underbush
0.40
Dense underbrush
0.80
Source: Hydrologic Engineering Center, U.S. Army Corps of Engineers (1998).
HEC-1 Flood Hydrograph Package, Users Manual.
q = a S m
(4-30)
dS
I - O = _____
dt
(4-31)
dS
iL - q = _____
dt
(4-32)
dS
a Sem - a S m = ______
dt
(4-33)
1 1
t = ____ ∫ ____________ dS
a Se m -
S m
(4-34)
1 1
t = _________________ ∫ ________________ d ( q /qe ) 1/m
a 1/m qe
(m - 1)/m 1 - ( q /qe )
(4-35)
t 1 1
____ = ___ ∫ ______________ d ( q /qe ) 1/m
te 2 1 - ( q /qe )
(4-36)
t 1 1 + ( q /qe )1/2
____ = ___ ln [ ___________________ ]
te 4 1 - ( q /qe )1/2
(4-37)
q t
____ = tanh 2 [ 2 ( ____ ) ]
qe te
(4-38)
t 1 1 + (q/qe)1/3 + (q/qe)2/3
___ = ____ ln { __________________________ }
te 12 [ (q/qe)1/3 -1 ] 2
1 π 1
- ______ { ____ + arctan { - _____ [ 1 + 2 (q / qe)1/3 ] } }
2√3 6 √3
(4-39)
t 1
_____ = ____________ [ (q /qe ) (1 - m )/m - 1 ]
te 2 (m - 1)
(4-40)
t 1
_____ = _____ ln (q /qe )
te 2
(4-41)
q = b h m
(4-42)
____ + ____ =
i
∂x ∂t
(4-18)
∂q q
____ = mbh m - 1 = m ( ____ ) = mu = c
∂h h
(4-43)
∂q ∂q
____ + c ____ = ci
∂t ∂x
(4-44)
∂h ∂h
____ + c ____ = i
∂t ∂x
(4-45)
dq
____ = ci
dt
(4-46)
dq
____ = i
dx
(4-47)
dh
____ = i
dt
(4-48)
dh i
____ = ____
dx c
(4-49)
h = i t
(4-50)
qe = b hem
(4-51)
q h m
___ = ( ___ )
qe he
(4-52)
q t m
___ = ( ___ )
qe tk
(4-53)
he
tk = _____
i
(4-54)
(nL) 1/m
tk = ___________________
i (m - 1)/m So 1/(2m)
(4-55)
So L
K = __________
F 2 ho
(4-56)
∂h ∂h ∂u
___ + uo ___ + ho ___ = i
∂t ∂x ∂x
(4-57)
∂h u 4 h
___ + So [ 2 (___) - (__)(___) ] = 0
∂x uo 3 ho
(4-58)
∂h 5 ∂h uo ho ∂ 2h
___ + (___) uo ____ = i + (________) ______
∂t 3 ∂x 2So ∂x 2
(4-59)
∂h ∂h ∂ 2h
___ + c ___ = i + νh ______
∂t ∂x ∂x 2
(4-60)
c = (5/3) uo
(4-61)
uo ho
νh = ________
2So
(4-62)
800T 0.2
I = ______________
(tr + 15) 0.7
650T 0.22
I = _______________
(tr + 18) 0.75
% of time
of concentration0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
% of maximum
discharge0
5
10
20
30
50
70
80
90
95
100
52T 0.24
I = ______________
(tr + 22) 0.8
Collection Point
Subarea Increment
(ha) Travel Time
(min) C
A
25
10
0.6
B
40
15
0.6
C
60
20
0.5
D
50
25
0.5
E
25
20
0.4
500T 0.18
I = _______________
(tr + 20) 0.78
Collection Point
Subarea Increment
(ha) Travel Time
(min) C
A
15
5
0.7
B
30
10
0.6
C
20
15
0.4
D
10
15
0.7
E
15
15
0.9
750T 0.2
I = ______________
( tr + 25) 0.7
http://ponce.sdsu.edu/hidrologia_engenharia/index.html
200720