|
|
|
CAPÍTULO 6: ANÁLISE DE FREQUÊNCIA |
|
"If the sediment load in a stream is reduced, equilibrium can be restored if the water discharge
or the bottom slope are reduced, or if the sediment diameter increases the proper amount." "Se a carga de sedimentos em um riacho for reduzida, o equilíbrio poderá ser restaurado se a descarga da água ou a inclinação do fundo
são reduzidos ou se o diâmetro do sedimento aumentar a quantidade adequada ".
|
|
This chapter is divided into three sections. Section 6.1 contains a review of statistics and probability concepts useful in engineering hydrology. Section 6.2 describes techniques of flood frequency analysis. Section 6.3 discusses low-flow frequency and droughts. Este capítulo está dividido em três seções. A Seção 6.1 contém uma revisão dos conceitos de estatística e probabilidade úteis em hidrologia de engenharia. A Seção 6.2 descreve técnicas de análise de frequência de inundação. A seção 6.3 discute a frequência de baixa vazão e as secas. |
6.1 CONCEITOS DE ESTATÍSTICA
|
|
Introduction
Introdução
The term frequency analysis refers to the techniques whose objective is to analyze the occurrence of hydrologic variables within a statistical framework, i.e., by using measured data and basing predictions on statistical laws. These techniques are applicable to the study of statistical properties of either rainfall or runoff (flow) series. In engineering hydrology, however, frequency analysis is commonly used to calculate flood discharges.
O termo análise de frequência refere-se às técnicas cujo objetivo é analisar a ocorrência de variáveis %G​​%@hidrológicas dentro de uma estrutura estatística, isto é, usando dados medidos e baseando previsões em leis estatísticas. Essas técnicas são aplicáveis %G​​%@ao estudo das propriedades estatísticas das séries de chuvas ou de escoamento (vazão). Na hidrologia de engenharia, no entanto, a análise de frequência é comumente usada para calcular as descargas de enchentes.
In principle, techniques of frequency analysis are applicable to gaged catchments with long periods of streamflow record. In practice, these techniques are primarily used for large catchments, because these are more likely to be gaged and have longer record periods. Frequency analysis is also applicable to midsize catchments, provided the record length is adequate. For ungaged catchments (either midsize or large), frequency analysis can be used in a regional context to develop flow characteristics applicable to hydrologically homogeneous regions. These techniques comprise what is referred to as regional analysis (Chapter 7).
Em princípio, as técnicas de análise de frequência são aplicáveis %G​​%@a captações calibradas com longos períodos de registro de fluxo. Na prática, essas técnicas são usadas principalmente para grandes bacias hidrográficas, porque são mais propensas a serem medidas e com períodos de registro mais longos. A análise de frequência também é aplicável às bacias de médio porte, desde que o comprimento do registro seja adequado. Para as bacias hidrográficas não médias (grandes ou médias), a análise de frequência pode ser usada em um contexto regional para desenvolver características de fluxo aplicáveis %G​​%@a regiões hidrologicamente homogêneas. Essas técnicas compreendem o que é chamado de análise regional (capítulo 7).
The question to be answered by flow frequency analysis can be stated as follows: Given n years of daily streamflow records for stream S, what is the maximum (or minimum) flow Q that is likely to recur with a frequency of once in T years on the average? Or, what is the maximum flow Q associated with a T-year return period? Alternatively, frequency analysis seeks to answer the inverse question: What is the return period T associated with a maximum (or minimum) flow Q?
A questão a ser respondida pela análise de frequência de fluxo pode ser declarada da seguinte forma: Dados n anos de registros diários de fluxo para o fluxo S, qual é o fluxo Q máximo (ou mínimo) que provavelmente ocorrerá com uma frequência de uma vez em T anos em a média? Ou qual é o fluxo máximo Q associado a um período de retorno do ano T? Alternativamente, a análise de frequência procura responder à pergunta inversa: qual é o período de retorno T associado a um fluxo Q máximo (ou mínimo)?
In more general terms, the preceding questions can be stated as follows: Given n years of streamflow data for stream S and L years of design life of a certain structure, what is the probability P of a discharge Q being exceeded at least once during the design life L? Alternatively, what is the discharge Q which has the probability P of being exceeded during the design life L?
Em termos mais gerais, as perguntas anteriores podem ser definidas da seguinte maneira: Dados n anos de dados de fluxo para os fluxos S e L anos de vida útil do projeto de uma determinada estrutura, qual é a probabilidade P de uma descarga Q ser excedida pelo menos uma vez durante o vida de design L? Alternativamente, qual é a descarga Q que tem a probabilidade P de ser excedida durante a vida útil L?
Random Variables
Variáveis %G​​%@aleatórias
Frequency analysis uses random variables and probability distributions. A random variable follows a certain probability distribution. A probability distribution is a function that expresses in mathematical terms the relative chance of occurrence of each of all possible outcomes of the random variable. In statistical notation, P (X = x1) is the probability P that the random variable X takes on the outcome x1. A shorter notation is P (x1).
A análise de frequência usa variáveis %G​​%@aleatórias e distribuições de probabilidade. Uma variável aleatória segue uma certa distribuição de probabilidade. Uma distribuição de probabilidade é uma função que expressa em termos matemáticos a chance relativa de ocorrência de cada um dos resultados possíveis da variável aleatória. Na notação estatística, P (X = x1) é a probabilidade P que a variável aleatória X assume no resultado x1. Uma notação mais curta é P (x1).
An example of random variable and probability distribution is shown in Fig. 6-1. This is a discrete probability distribution because the possible outcomes have been arranged into groups (or classes). The random variable is discharge Q; the possible outcomes are seven discharge classes, from 0-100 m3/s to 600-700 m3/s. In Fig. 6-1, the probability that Q is in the class 100-200 m3/s is 0.25. The sum of probabilities of all possible outcomes is equal to 1.
Um exemplo de variável aleatória e distribuição de probabilidade é mostrado na Fig. 6-1. Essa é uma distribuição de probabilidade discreta porque os possíveis resultados foram organizados em grupos (ou classes). A variável aleatória é a descarga Q; os resultados possíveis são sete classes de descarga, de 0-100 m3 / s a %G​​%@600-700 m3 / s. Na Fig. 6-1, a probabilidade de Q estar na classe 100-200 m3 / s é de 0,25. A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é igual a 1.
Figure 6-1 Discrete Probability Distribution. |
A cumulative discrete distribution, corresponding to the discrete probability distribution of Fig. 6-1, is shown in Fig. 6-2. In this figure, the probability that Q is in a class less than or equal to the 100-200 m3/s class is 0.40. The maximum value of probability of the cumulative distribution is 1.
Uma distribuição discreta cumulativa, correspondente à distribuição de probabilidade discreta da Figura 6-1, é mostrada na Figura 6-2. Nesta figura, a probabilidade de Q estar em uma classe menor ou igual à classe 100-200 m3 / s é 0,40. O valor máximo de probabilidade da distribuição cumulativa é 1.
Figure 6-2 Cumulative Discrete Probability Distribution. |
Properties of Statistical Distributions
Propriedades das distribuições estatísticas
The properties of statistical distributions are described by the following measures:
As propriedades das distribuições estatísticas são descritas pelas seguintes medidas:
- Central tendency,
Tendencia central,
- Variability, and
Variabilidade e
- Skewness.
Assimetria.
Statistical distributions are described in terms of moments. The first moment describes central tendency, the second moment describes variability, and the third moment describes skewness. Higher order moments are possible but are seldom used in practical applications.
As distribuições estatísticas são descritas em termos de momentos. O primeiro momento descreve a tendência central, o segundo momento descreve a variabilidade e o terceiro momento descreve a assimetria. Momentos de ordem superior são possíveis, mas raramente são usados %G​​%@em aplicações práticas.
The first moment about the origin is the arithmetic mean, or mean. It expresses the distance from the origin to the centroid of the distribution, as shown in Fig. 6-3 (a):
O primeiro momento sobre a origem é a média aritmética, ou média. Expressa a distância da origem ao centróide da distribuição, como mostrado na Fig. 6-3 (a):
|
1 n x̄ = ____ Σ xi n i =1 | (6-1) |
in which x̄ is the mean, xi is the random variable, and n is the number of values.
em que x%GÌ„%@ é a média, xi é a variável aleatória en é o número de valores.
The geometric mean is the nth root of the product of n terms:
A média geométrica é a enésima raiz do produto de n termos:
| x̄ = (x1 x2 x3 . . . xn)1/n | (6-2) |
The logarithm of the geometric mean is the mean of the logarithms of the individual values. The geometric mean is to the lognormal probability distribution what the arithmetic mean is to the normal probability distribution.
O logaritmo da média geométrica é a média dos logaritmos dos valores individuais. A média geométrica é, para a distribuição de probabilidade lognormal, a média aritmética, para a distribuição de probabilidade normal.
The median is the value of the variable that divides the probability distribution into two equal portions (or areas); see Fig. 6-3 (b). For certain skewed distributions (i.e., one with third moment other than zero), the median is a better indication of central tendency than the mean. Another measure of central tendency is the mode, defined as the value of the variable that occurs most frequently; see Fig. 6-3 (c).
A mediana é o valor da variável que divide a distribuição de probabilidade em duas partes iguais (ou áreas); veja a Fig. 6-3 (b). Para certas distribuições distorcidas (ou seja, uma com terceiro momento diferente de zero), a mediana é uma melhor indicação de tendência central do que a média. Outra medida de tendência central é o modo, definido como o valor da variável que ocorre com mais frequência; veja a Fig. 6-3 (c).
Fig. 6-3 Properties of statistical distributions. |
Statistical moments can be defined about axes other than the origin. The second moment about the mean is the variance, defined as
Momentos estatísticos podem ser definidos sobre eixos diferentes da origem. O segundo momento sobre a média é a variância, definida como
|
1 n s 2 = ________ Σ ( xi - x̄ ) 2 n - 1 i =1 | (6-3) |
in which s 2 is the variance. The square root of the variance, s, is the standard deviation. The variance coefficient (or coefficient of variation) is defined as
em que s 2 é a variação. A raiz quadrada da variação, s, é o desvio padrão. O coeficiente de variação (ou coeficiente de variação) é definido como
|
s Cv = ____ x̄ | (6-4) |
The standard deviation and variance coefficient are useful in comparing relative variability among distributions. The larger the standard deviation and variance coefficient, the larger the spread of the distribution; see Fig. 6-3 (d).
O desvio padrão e o coeficiente de variância são úteis na comparação da variabilidade relativa entre as distribuições. Quanto maior o desvio padrão e o coeficiente de variância, maior o spread da distribuição; veja a Fig. 6-3 (d).
The third moment about the mean is the skewness, defined as follows:
O terceiro momento sobre a média é a assimetria, definida da seguinte forma:
|
n n a = _______________ Σ ( xi - x̄ )3 (n - 1)(n - 2) i =1 | (6-5) |
in which a is the skewness. The skew coefficient is defined as
em que a é a assimetria. O coeficiente de inclinação é definido como
|
a Cs = ____ s3 | (6-6) |
For symmetrical distributions, the skewness is 0 and Cs = 0. For right skewness (distributions with the long tail to the right), Cs > 0; for left skewness (long tail to the left), Cs < 0; see Fig. 6-3 (e). Para distribuições simétricas, a assimetria é 0 e Cs = 0. Para a assimetria direita (distribuições com a cauda longa para a direita), Cs> 0; para assimetria esquerda (cauda longa para a esquerda), Cs <0; veja a Fig. 6-3 (e).
Another measure of skewness is Pearson's skewness, defined as the ratio of the difference between mean and mode to the standard deviation.
Outra medida de assimetria é a assimetria de Pearson, definida como a razão entre a diferença entre média e moda e o desvio padrão.
Example 6-1.
Calculate the mean, standard deviation, and skew coefficient for the following flood series:
4580, 3490, 7260, 9350, 2510, 3720, 4070, 5400, 6220, 4350, and 5930 m3/ s.
Calcule a média, o desvio padrão e o coeficiente de inclinação para as seguintes séries de inundação: 4580, 3490, 7260, 9350, 2510, 3720, 4070, 5400, 6220, 4350 e 5930 m3 / s.
The calculations are shown in Table 6-1.
Column 1 shows the year and Col. 2 shows the annual maximum flows.
The mean (Eq. 6-1) is calculated by summing up Col. 2 and dividing the sum by n = 11.
This results in x̄ = 5171 m3/s.
Column 3 shows the flow deviations from the mean, xi - x̄.
Column 4 shows the square of the flow deviations, ( xi - x̄ )2.
The variance (Eq. 6-3) is calculated by summing up Col. 4 and dividing the sum by (n - 1) = 10.
This results in: s 2 = 3,780,449 m6/ s2.
The square root of the variance is the standard deviation: s = 1944 m3/s.
The variance coefficient (Eq. 6-4) is Cv = 0.376.
Column 5 shows the cube of the flow deviations, ( xi - x̄ )3.
The skewness (Eq. 6-5) is calculated by summing up Col. 5 and multiplying
the sum by n / [(n - 1)(n - 2)] = 11/90.
This results in a = 6,717,359,675 m9/s3.
The skew coefficient (Eq. 6-6) is equal to the skewness divided by the cube of the standard deviation.
This results in Cs = 0.914.
Os cálculos são mostrados na Tabela 6-1. A coluna 1 mostra o ano e a coluna 2 mostra os fluxos máximos anuais. A média (Eq. 6-1) é calculada somando a Col. 2 e dividindo a soma por n = 11. Isso resulta em x%GÌ„%@ = 5171 m3 / s. A coluna 3 mostra os desvios do fluxo em relação à média, xi - x%GÌ„%@. A coluna 4 mostra o quadrado dos desvios do fluxo, (xi - x%GÌ„%@) 2. A variação (Eq. 6-3) é calculada somando a Col. 4 e dividindo a soma por (n - 1) = 10. Isso resulta em: s 2 = 3.780.449 m6 / s2. A raiz quadrada da variância é o desvio padrão: s = 1944 m3 / s. O coeficiente de variância (Eq. 6-4) é Cv = 0,376. A coluna 5 mostra o cubo dos desvios do fluxo, (xi - x%GÌ„%@) 3. A assimetria (Eq. 6-5) é calculada somando a Col. 5 e multiplicando a soma por n / [(n - 1) (n - 2)] = 11/90. Isso resulta em a = 6.717.359.675 m9 / s3. O coeficiente de inclinação (Eq. 6-6) é igual à inclinação dividida pelo cubo do desvio padrão. Isso resulta em Cs = 0,914.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Continuous Probability Distributions
Distribuições de Probabilidade Contínuas
A continuous probability distribution is referred to as a probability density function (PDF). A PDF is an equation relating probability, random variable, and parameters of the distribution. Selected PDFs useful in engineering hydrology are described in this section.
Uma distribuição de probabilidade contínua é referida como uma função de densidade de probabilidade (PDF). Um PDF é uma equação que relaciona probabilidade, variável aleatória e parâmetros da distribuição. PDFs selecionados úteis em hidrologia de engenharia são descritos nesta seção.
Normal Distribution. The normal distribution is a symmetrical, bell-shaped PDF also known as the Gaussian distribution, or the natural law of errors. It has two parameters: the mean μ, and the standard deviation σ, of the population. In practical applications, the mean x̄ and the standard deviation s derived from sample data are substituted for μ and σ, respectively. The PDF of the normal distribution is:
Distribuição normal. A distribuição normal é um PDF simétrico em forma de sino, também conhecido como distribuição gaussiana ou lei natural dos erros. Possui dois parâmetros: a média ~ e o desvio padrão ~ da população. Em aplicações práticas, a média x%GÌ„%@ e o desvio padrão s derivados dos dados da amostra são substituídos por ~ e ~, respectivamente. O PDF da distribuição normal é:
|
1 f (x) = __________ e - (x - μ)2 / (2σ2) σ (2π)1/2 | (6-7) |
in which x is the random variable and f (x) is the continuous probability.
em que x é a variável aleatória ef (x) é a probabilidade contínua.
By means of the transformation
Por meio da transformação
|
x - μ z = ________ σ | (6-8) |
the normal distribution can be converted into a one-parameter distribution, as follows:
a distribuição normal pode ser convertida em uma distribuição de um parâmetro, da seguinte maneira:
|
1 f (z) = ________ e-z 2/2 (2π)1/2 | (6-9) |
in which z is the standard unit, which is normally distributed with zero mean and unit standard deviation.
em que z é a unidade padrão, que normalmente é distribuída com média zero e desvio padrão da unidade.
From Eq. 6-8:
| x = μ + z σ | (6-10) |
in which z, the standard unit, is the frequency factor of the normal distribution. In general, the frequency factor of a statistical distribution is referred to as K.
em que z, a unidade padrão, é o fator de frequência da distribuição normal. Em geral, o fator de frequência de uma distribuição estatística é referido como K.
A cumulative density function (CDF) can be derived by integrating the probability density function. From Eq. 6-9, integration leads to
Uma função de densidade cumulativa (CDF) pode ser derivada integrando a função de densidade de probabilidade. Da Eq. 6-9, a integração leva a
|
1 z F (z) = ________ ∫ e-u 2/2 du (2π)1/2 -∞ | (6-11) |
in which F(z) denotes cumulative probability and u is a dummy variable of integration. The distribution is symmetrical with respect to the origin; therefore, only half of the distribution needs to be evaluated. Table A-5 (Appendix A) shows values of F(z) versus z, in which F(z) is integrated from the origin to z.
em que F (z) denota probabilidade cumulativa e u é uma variável dummy de integração. A distribuição é simétrica em relação à origem; portanto, apenas metade da distribuição precisa ser avaliada. A Tabela A-5 (Apêndice A) mostra os valores de F (z) versus z, nos quais F (z) é integrado desde a origem até z.
Example 6-2.
The annual maximum flows of a certain stream have been found to be normally distributed, with mean 90 m3/s and standard deviation 30 m3/s.
Calcuiate the probability that a flow larger that 150 m3/s will occur.
Verificou-se que os fluxos máximos anuais de um determinado fluxo são normalmente distribuídos, com média de 90 m3 / se desvio padrão de 30 m3 / s. Calcular a probabilidade de ocorrer um fluxo maior que 150 m3 / s.
To enter Table A-5, it is necessary to calculate the standard unit.
For a flow of 150 m3/s, the standard unit (Eq. 6-8) is: z = (150 - 90)/ 30 = 2.
This means that the flow of 150 m3/s is located two standard deviations to the right of the mean (had z been negative, the flow would have been located to the left of the mean).
In Table A-5, for z = 2, F(z) = 0.4772.
This value is the cumulative probability measured from z = 0 to z = 2, i.e., from the mean (90 m3/s) to the value being considered (150 m3/s).
Because the normal distribution is symmetrical with respect to the origin, the cumulative probability measured from z = - ∞ to z = 0, is 0.5.
Therefore, the cumulative probability measured from z = -∞ to z = 2, is F(z) = 0.5 + 0.4772 = 0.9772.
This is the probability that the flow is less than 150 m3/s.
To find the probability that the flow is larger than 150 m3/s,
the complementary cumulative probability is calculated: G(z)= 1 - F(z) = 0.0228.
Therefore, there is a (0.0228 × 100) = 2.28% chance that the annual maximum flow for the given stream will be larger than 150 m3/s.
Para entrar na Tabela A-5, é necessário calcular a unidade padrão. Para um fluxo de 150 m3 / s, a unidade padrão (Eq. 6-8) é: z = (150 - 90) / 30 = 2. Isso significa que o fluxo de 150 m3 / s está localizado a dois desvios padrão da à direita da média (se z fosse negativo, o fluxo teria sido localizado à esquerda da média). Na Tabela A-5, para z = 2, F (z) = 0,4772. Este valor é a probabilidade cumulativa medida de z = 0 a z = 2, isto é, da média (90 m3 / s) até o valor considerado (150 m3 / s). Como a distribuição normal é simétrica em relação à origem, a probabilidade cumulativa medida de z = - ~ a z = 0 é 0,5. Portanto, a probabilidade cumulativa medida de z = -~ a z = 2 é F (z) = 0,5 + 0,4772 = 0,9772. Essa é a probabilidade de que o fluxo seja menor que 150 m3 / s. Para encontrar a probabilidade de que o fluxo seja maior que 150 m3 / s, é calculada a probabilidade cumulativa complementar: G (z) = 1 - F (z) = 0,0228. Portanto, existe uma chance (0,0228 × 100) = 2,28% de que o fluxo máximo anual para o fluxo especificado seja maior que 150 m3 / s.
|
Lognormal Distribution. For certain natural phenomena, values of random variables do not follow a normal distribution, but their logarithms do. In this case, a suitable PDF can be obtained by substituting y for x in the equation for the normal distribution, Eq. 6-7, in which y = ln (x). The parameters of the lognormal distribution are the mean and standard deviation of y : μy and σy.
Distribuição Lognormal. Para certos fenômenos naturais, os valores de variáveis %G​​%@aleatórias não seguem uma distribuição normal, mas seus logaritmos. Nesse caso, um PDF adequado pode ser obtido substituindo y por x na equação da distribuição normal, Eq. 6-7, em que y = ln (x). Os parâmetros da distribuição lognormal são a média e o desvio padrão de y: ~y e ~y.
Gamma Distribution. The gamma distribution is used in many applications of engineering hydrology. The PDF of the gamma distribution is the following:
Distribuição gama. A distribuição gama é usada em muitas aplicações de hidrologia de engenharia. O PDF da distribuição gama é o seguinte:
|
x γ - 1 e-x/β f (x) = _____________ β γ Γ(γ) | (6-12) |
for 0 < x < ∞, β > 0, and γ > 0. The parameter γ is known as the shape parameter, since it most influences the peakedness of the distribution, while the parameter β is called the scale parameter, since most of its influence is on the spread of the distribution [4].
para 0
The mean of the gamma distribution is βγ, the variance is β2γ, and the skewness is 2/γ1/2.
The term Γ(γ) = (γ - 1)! , in which γ is a positive integer, is an important definite integral referred to as the gamma function,
defined as follows:
A média da distribuição gama é ~~, a variação é ~2~ e a assimetria é 2 / ~1 / 2. O termo ~ (~) = (~ - 1)! , em que ~ é um número inteiro positivo, é uma integral definida importante referida como a função gama, definida da seguinte forma:
Pearson Distributions.
Pearson [24] has derived a series of probability functions to fit virtually any distribution.
These functions have been widely used in practical statistics to define the shape of many distribution curves.
The general PDF of the Pearson distributions is the following [6]:
Distribuições Pearson. Pearson [24] derivou uma série de funções de probabilidade para caber virtualmente em qualquer distribuição. Essas funções têm sido amplamente usadas em estatísticas práticas para definir o formato de muitas curvas de distribuição. O PDF geral das distribuições da Pearson é o seguinte [6]:
in which a, b0 , b1, b2 are constants.
The criterion for determining the type of distribution is κ, defined as follows:
em que a, b0, b1, b2 são constantes. O critério para determinar o tipo de distribuição é ~, definido da seguinte forma:
in which β1 = μ32/μ23 and β2 = μ4/μ22, with μ2, μ3, and μ4 being the second, third, and fourth moments about the mean.
With μ3 = 0 (i.e., zero skewness), β1 = 0, κ = 0, and the Pearson distribution reduces to the normal distribution.
The Pearson Type III distribution has been widely used in flood frequency analysis.
In the Pearson Type III distribution, κ = ∞, which implies that 2β2 = (3β1 + 6).
This is a three-parameter skewed distribution with the following PDF:
A distribuição Pearson Tipo III tem sido amplamente utilizada na análise de frequência de inundação. Na distribuição do tipo III de Pearson, ~ = ~, o que implica que 2~2 = (3~1 + 6). Esta é uma distribuição distorcida de três parâmetros com o seguinte PDF:
and parameters β, γ, and xo.
For xo = 0, the Pearson Type III distribution reduces to the gamma distribution (Eq. 6-12).
For γ = 1, the Pearson Type III distribution reduces to the exponential distribution, with the following PDF:
e parâmetros ~, ~ e xo. Para xo = 0, a distribuição do tipo III de Pearson reduz-se à distribuição gama (Eq. 6-12). Para ~ = 1, a distribuição do tipo III de Pearson se reduz à distribuição exponencial, com o seguinte PDF:
The mean of the Pearson Type III distribution is: xo + βγ;
the variance is: β2γ; and
the skewness is: A média da distribuição do tipo III de Pearson é: xo + ~~; a variância é: ~2~; e a assimetria é: 2 / ~1 / 2.
Extreme Value Distributions.
The extreme value distributions Types I, II, and III are based on the theory of extreme values.
Frechet (on Type II) in 1927 [8] and Fisher and Tippett (on Types I and III) in 1928 [8] independently studied the statistical distribution of extreme values.
Extreme value theory implies that if a random variable Q is the maximum in a sample of size n from some population of x values, then, provided n is sufficiently large, the distribution of Q is one of three asymptotic types (I, II, or III), depending on the distribution of x.
Distribuições de valor extremo. As distribuições de valores extremos Tipos I, II e III são baseadas na teoria de valores extremos. Frechet (no tipo II) em 1927 [8] e Fisher e Tippett (nos tipos I e III) em 1928 [8] estudaram independentemente a distribuição estatística de valores extremos. A teoria dos valores extremos implica que, se uma variável aleatória Q é o máximo em uma amostra de tamanho n de alguma população de valores x, então, desde que n seja suficientemente grande, a distribuição de Q será um dos três tipos assintóticos (I, II ou III), dependendo da distribuição de x.
The extreme value distributions can be combined into one and expressed as a general extreme value (GEV) distribution [23]. The cumulative density function of the GEV distribution is:
As distribuições de valores extremos podem ser combinadas em uma e expressas como uma distribuição geral de valores extremos (GEV) [23]. A função de densidade cumulativa da distribuição GEV é:
in which k, u and α are parameters.
The parameter k defines the type of distribution, u is a location parameter, and α is a scale parameter.
For k = 0, the GEV distribution reduces to the extreme value Type I (EV1), or Gumbel distribution.
For k < 0, the GEV distribution is the extreme value Type II (EV2), or Frechet distribution.
For k > 0, the GEV distribution is the extreme value Type III (EV3), or Weibull distribution.
The GEV distribution is useful in applications where an extreme value distribution is being considered but its type is not known a priori.
em que k, u e ~ são parâmetros. O parâmetro k define o tipo de distribuição, u é um parâmetro de localização e ~ é um parâmetro de escala. Para k = 0, a distribuição GEV reduz ao valor extremo Tipo I (EV1), ou distribuição Gumbel. Para k <0, a distribuição GEV é o valor extremo Tipo II (EV2), ou distribuição Frechet. Para k> 0, a distribuição GEV é o valor extremo Tipo III (EV3), ou distribuição Weibull. A distribuição GEV é útil em aplicações em que uma distribuição de valor extremo está sendo considerada, mas seu tipo não é conhecido a priori.
Gumbel [13, 14, 15, 16] has fitted the extreme value Type I distribution to long records of river flows from many countries.
The cumulative density function (CDF) of the Gumbel distribution is the following double exponential function:
Gumbel [13, 14, 15, 16] ajustou o valor extremo da distribuição Tipo I a longos registros de vazões de rios de muitos países. A função de densidade cumulativa (CDF) da distribuição de Gumbel é a seguinte função exponencial dupla:
in which y = (x - u)/α is the Gumbel (reduced) variate.
em que y = (x - u) / ~ é a variável de Gumbel (reduzida).
The mean ȳn and standard deviation σn of the Gumbel variate are functions of record length n.
Values of ȳn and σn as a function of n are given in Table A-8 (Appendix A).
When the record length approaches ∞, the mean ȳn approaches the value of the Euler constant (0.5772) [29],
and the standard deviation σn approaches the value π /61/2.
The skew coefficient of the Gumbel distribution is 1.14.
A média %Gȳ%@n e o desvio padrão ~n da variável Gumbel são funções do comprimento do registro n. Os valores de %Gȳ%@n e ~n em função de n são dados na Tabela A-8 (Apêndice A). Quando o comprimento do registro se aproxima de ~, a média %Gȳ%@n se aproxima do valor da constante de Euler (0,5772) [29] e o desvio padrão ~n se aproxima do valor ~ / 61/2. O coeficiente de inclinação da distribuição de Gumbel é 1,14.
The extreme value Type II distribution is also known as the log Gumbel.
Its cumulative density function is:
O valor extremo da distribuição Tipo II também é conhecido como log Gumbel. Sua função de densidade cumulativa é:
for k < 0.
The extreme value Type III distribution has the same CDF as the Type II, but in this case k > 0.
As k approaches 0, the EV2 and EV3 distributions converge to the EV1 distribution.
O valor extremo da distribuição Tipo III tem o mesmo CDF que o Tipo II, mas neste caso k> 0. À medida que k se aproxima de 0, as distribuições EV2 e EV3 convergem para a distribuição EV1.
6.2 ANÁLISE DE FREQUÊNCIA
Flood frequency analysis refers to the application of frequency analysis to study the occurrence of floods.
Historically, many probability distributions have been used for this purpose.
The normal distribution was first used by Horton [19] in 1913, and shortly thereafter by Fuller [11].
Hazen [17] used the lognormal distribution to reduce skewness, whereas Foster [9] preferred to use the skewed Pearson distributions.
A análise de frequência de inundação refere-se à aplicação da análise de frequência para estudar a ocorrência de inundações. Historicamente, muitas distribuições de probabilidade foram usadas para esse fim. A distribuição normal foi usada pela primeira vez por Horton [19] em 1913, e logo depois por Fuller [11]. Hazen [17] usou a distribuição lognormal para reduzir a assimetria, enquanto Foster [9] preferiu usar as distribuições distorcidas de Pearson.
The logarithmic version of the Pearson Type III distribution, i.e., the log Pearson III, has been endorsed by the U.S. Interagency Advisory Committee on Water Data for general use in the United States [31].
The Gumbel distribution (extreme value Type I, or EVl) is also widely used in the United States and throughout the world.
The log Pearson III and Gumbel methods are described in this section.
A versão logarítmica da distribuição Pearson Tipo III, ou seja, o log Pearson III, foi endossada pelo Comitê Consultivo Interagencial dos EUA sobre Dados da Água para uso geral nos Estados Unidos [31]. A distribuição Gumbel (valor extremo Tipo I, ou EVl) também é amplamente utilizada nos Estados Unidos e em todo o mundo. Os métodos log Pearson III e Gumbel são descritos nesta seção.
Selection of Data Series
Seleção de séries de dados
The complete record of streamflows at a given gaging station is called the complete duration series.
To perform a flood frequency analysis, it is necessary to select a flood series, i.e., a sample of flood events extracted from the complete duration series.
O registro completo dos fluxos em uma determinada estação de medição é chamado de série de duração completa. Para realizar uma análise de frequência de inundação, é necessário selecionar uma série de inundações, isto é, uma amostra de eventos de inundação extraídos da série de duração completa.
There are two types of flood series: (1) the partial duration series and (2) the extreme value series.
The partial duration (or peaks-over-a-threshold (POT) [23] series consists of floods whose magnitude is greater than a certain base value.
When the base value is such that the number of events in the series is equal to the number of years of record, the series is called an annual exceedance series.
Existem dois tipos de séries de inundação: (1) a série de duração parcial e (2) a série de valores extremos. A série de duração parcial (ou picos acima do limite (POT) [23] consiste em inundações cuja magnitude é maior que um determinado valor base. Quando o valor base for tal que o número de eventos na série seja igual ao número de anos de registro, a série é chamada de série de excedência anual.
In the extreme value series, every year of record contributes one value to the extreme value series, either the maximum value (as in the case of flood frequency analysis) or the minimum value (as in the case of low-flow frequency analysis).
The former is the annual maxima series; the latter is the annual minima series.
Na série de valores extremos, todos os anos do registro contribuem com um valor para a série de valores extremos, seja o valor máximo (como no caso da análise de frequência de inundação) ou o valor mínimo (como no caso da análise de frequência de baixo fluxo). O primeiro é a série anual máxima; o último é a série anual mínima.
The annual exceedance series takes into account all extreme events above a certain base value, regardless of when they occurred.
However, the annual maxima series considers only one extreme event per yearly period.
The difference between the two series is likely to be more marked for short records in which the second largest annual events may strongly influence the character of the annual exceedance series.
In practice, the annual exceedance series is used for frequency analyses involving short return periods, ranging from 2 to 10 y.
For longer return periods the difference between annual exceedance and annual maxima series is small.
The annual maxima series is used for return periods ranging from 10 to 100 y and more.
A série anual de excedentes leva em consideração todos os eventos extremos acima de um determinado valor base, independentemente de quando eles ocorreram. No entanto, a série máxima anual considera apenas um evento extremo por período anual. É provável que a diferença entre as duas séries seja mais acentuada para registros curtos nos quais os segundos maiores eventos anuais podem influenciar fortemente o caráter das séries anuais de excedência. Na prática, a série anual de excedência é usada para análises de frequência envolvendo curtos períodos de retorno, variando de 2 a 10 anos. Para períodos de retorno mais longos, a diferença entre as excedências anuais e as séries máximas anuais é pequena. A série máxima anual é usada para períodos de retorno que variam de 10 a 100 anos e mais.
Return Period, Frequency, and Risk
Período de retorno, frequência e risco
The time elapsed between successive peak flows exceeding a certain flow Q is a random variable whose mean value is called the return period T (or recurrence interval) of the flow Q.
The relationship between probability and return period is the following:
O tempo decorrido entre fluxos de pico sucessivos que excedem um certo fluxo Q é uma variável aleatória cujo valor médio é chamado período de retorno T (ou intervalo de recorrência) do fluxo Q. A relação entre probabilidade e período de retorno é a seguinte:
in which P(Q) is the probability of exceedance of Q, or frequency.
The terms frequency and return period are often used interchangeably, although strictly speaking, frequency is the reciprocal of return period.
A frequency of 1/T, or one in T years, corresponds to a return period of T years.
em que P (Q) é a probabilidade de exceder Q, ou frequência. Os termos frequência e período de retorno são frequentemente usados %G​​%@de forma intercambiável, embora estritamente falando, frequência é o recíproco do período de retorno. Uma frequência de 1 / T, ou uma em T anos, corresponde a um período de retorno de T anos.
The probability of nonexceedance P(Q̄) is the complementary probability of the probability of exceedance P(Q), defined as
A probabilidade de não-excedência P (Q%GÌ„%@) é a probabilidade complementar da probabilidade de excedência P (Q), definida como
The probability of nonexceedance in n successive years is
A probabilidade de não-excedência em n anos sucessivos é
Therefore, the probability, or risk, that Q will occur at least once in n successive years is
Portanto, a probabilidade, ou risco, de que Q ocorra pelo menos uma vez em n anos sucessivos é
Plotting Positions
Posições de plotagem
Frequency distributions are plotted using probability papers.
One of the scales on a probability paper is a probability scale; the other is either an arithmetic or logarithmic scale.
Normal and extreme value probability distributions are most often used in probability papers.
As distribuições de frequência são plotadas usando documentos de probabilidade. Uma das escalas em um documento de probabilidade é uma escala de probabilidade; o outro é uma escala aritmética ou logarítmica. Distribuições de probabilidade de valor normal e extremo são mais frequentemente usadas em documentos de probabilidade.
An arithmetic probability paper has a normal probability scale and an arithmetic scale.
This type of paper is used for plotting normal and Pearson distributions.
A log probability paper has a normal probability scale and a logarithmic scale and is used for plotting lognormal and log Pearson distributions.
An extreme value probability paper has an extreme value scale and an arithmetic scale and is used for plotting extreme value distributions.
Um artigo de probabilidade aritmética possui uma escala de probabilidade normal e uma escala aritmética. Esse tipo de papel é usado para traçar distribuições normais e Pearson. Um papel de probabilidade de log possui uma escala de probabilidade normal e uma escala logarítmica e é usado para traçar distribuições lognormal e log de Pearson. Um documento de probabilidade de valor extremo possui uma escala de valores extremos e uma escala aritmética e é usado para traçar distribuições de valores extremos.
Data fitting a normal distribution plot as a straight line on arithmetic probability paper.
Likewise, data fitting a lognormal distribution plot as a straight line on log probability paper, and data fitting the Gumbel distribution plot as a straight line on extreme value probability paper.
Dados que ajustam um gráfico de distribuição normal como uma linha reta no papel de probabilidade aritmética. Da mesma forma, os dados que ajustam um gráfico de distribuição lognormal como uma linha reta no papel de probabilidade do log e os dados que ajustam o gráfico de distribuição Gumbel como uma linha reta no papel de probabilidade do valor extremo
For plotting purposes, the probability of an individual event can be obtained directly from the flood series. For a series of n annual maxima, the following ratio holds:
Para fins de plotagem, a probabilidade de um evento individual pode ser obtida diretamente da série de inundações. Para uma série de n máximos anuais, a seguinte proporção é válida:
in which x̄ = mean number of exceedances; N = number of trials; n = number of values in the series; and m = the rank of descending values, with largest equal to 1.
em que x%GÌ„%@ = número médio de excedências; N = número de tentativas; n = número de valores na série; e m = a classificação dos valores decrescentes, com o maior igual a 1.
For example, if n = 79, the second largest value in the series (m = 2) will be exceeded twice on the average (x̄ = 2) in 80 trials (N = 80).
Likewise, the largest value in the series (m = 1) will be exceeded once on the average (x̄ = 1) after 80 trials (N = 80).
Since return period T is associated with x̄ = 1, Eq. 6-25 can be expressed as follows:
Por exemplo, se n = 79, o segundo maior valor da série (m = 2) será excedido duas vezes na média (x%GÌ„%@ = 2) em 80 tentativas (N = 80). Da mesma forma, o maior valor da série (m = 1) será excedido uma vez na média (x%GÌ„%@ = 1) após 80 tentativas (N = 80). Como o período de retorno T está associado a x%GÌ„%@ = 1, a Eq. 6-25 pode ser expresso da seguinte forma:
in which P = exceedance probability.
Equation 6-26 is known as the Weibull plotting position formula.
This equation is commonly used in hydrologic applications, particularly for computing plotting positions for unspecified distributions [1].
A general plotting position formula is of the following form [12]:
A equação 6-26 é conhecida como a fórmula da posição de plotagem de Weibull. Essa equação é comumente usada em aplicações hidrológicas, particularmente para calcular posições de plotagem para distribuições não especificadas [1]. Uma fórmula geral de posição de plotagem é da seguinte forma [12]:
in which a = parameter.
Cunnane [7] performed a detailed study of the accuracy of different plotting position formulas and concluded that the Blom formula [3], with a = 0.375 in Eq. 6-27, is most appropriate for the normal distribution, whereas the Gringorten formula, with a = 0.44, should be used in connection with the Gumbel distribution.
According to Cunnane, the Weibull formula, for which a = 0, is most appropriate for a uniform distribution.
em que a = parâmetro. Cunnane [7] realizou um estudo detalhado da precisão de diferentes fórmulas de posição de plotagem e concluiu que a fórmula de Blom [3], com a = 0,375 na Eq. 6-27, é mais apropriado para a distribuição normal, enquanto a fórmula de Gringorten, com a = 0,44, deve ser usada em conexão com a distribuição de Gumbel. Segundo Cunnane, a fórmula de Weibull, para a qual a = 0, é mais apropriada para uma distribuição uniforme.
In computing plotting positions, when the ranking of values is in descending order (from highest to lowest), P is the probability of exceedance, or the probability of a value being greater than or equal to the ranked value.
When the ranking of values is in ascending order (from lowest to highest), P is the probability of nonexceedance, or the probability of a value being less than or equal to the ranked value.
The computation of plotting positions is illustrated by the following example.
Na computação das posições de plotagem, quando a classificação dos valores está em ordem decrescente (do mais alto para o mais baixo), P é a probabilidade de excedência ou a probabilidade de um valor ser maior ou igual ao valor classificado. Quando a classificação dos valores está em ordem crescente (da mais baixa para a mais alta), P é a probabilidade de não-exceção, ou a probabilidade de um valor ser menor ou igual ao valor classificado. O cálculo das posições de plotagem é ilustrado pelo exemplo a seguir.
Example 6-3.
Use Eq. 6-26 to calculate the plotting positions for the flood series (annual maxima) shown in Table 6-2, Use a Eq. 6-26 para calcular as posições de plotagem para a série de inundações (máximos anuais) mostradas na Tabela 6-2, Col. 2.
The solution is shown in Table 6-2, Cols. 3-5. Column 3 shows the ranked values, from highest to lowest.
Colum 4 shows the rank of each value, from 1 to 16 (n = 16), with the highest value ranked as 1 and the lowest value ranked as 16.
Column 5 shows the probability calculated by Eq. 6-26 (expressed in percent).
Because the ranking was done in descending order, Col. 5 shows the probability that a value of flood discharge will be greater than or equal to the ranked value.
To illustrate, there is a 5.88% probability that a value of flood discharge will be greater than or equal to 3320 m3/s.
Conversely, there is a 94.12% probability that the value of flood discharge will be greater than or equal to 690 m3/s.
Column 6 shows the return period calculated by Eq. 6-26.
A solução é mostrada na Tabela 6-2, Cols. 3-5. A coluna 3 mostra os valores classificados, do mais alto para o mais baixo. A coluna 4 mostra a classificação de cada valor, de 1 a 16 (n = 16), com o valor mais alto classificado como 1 e o valor mais baixo classificado como 16. A coluna 5 mostra a probabilidade calculada pela Eq. 6-26 (expresso em porcentagem). Como a classificação foi feita em ordem decrescente, a Col. 5 mostra a probabilidade de um valor de descarga ser maior ou igual ao valor classificado. Para ilustrar, existe uma probabilidade de 5,88% de que um valor de descarga de inundação seja maior ou igual a 3320 m3 / s. Por outro lado, há uma probabilidade de 94,12% de que o valor da descarga seja maior ou igual a 690 m3 / s. A coluna 6 mostra o período de retorno calculado pela Eq. 6-26.
Curve Fitting
Ajuste de curva
Once the data have been plotted on probability paper, the next step is to fit a curve through the plotted points.
Curve fitting can be accomplished by any of the following methods: (1) graphical, (2) least square, (3) moments, and (4) maximum likelihood.
The graphical method consists of fitting a function visually to the data.
This method, however, has the disadvantage that the results are highly dependent on the skills of the person doing the fitting.
A more consistent procedure is to use either the least square, moments, or maximum likelihood methods.
Depois que os dados forem plotados em papel de probabilidade, o próximo passo é ajustar uma curva através dos pontos plotados. O ajuste da curva pode ser realizado por qualquer um dos seguintes métodos: (1) gráfico, (2) mínimo quadrado, (3) momentos e (4) máxima verossimilhança. O método gráfico consiste em ajustar uma função visualmente aos dados. Esse método, no entanto, tem a desvantagem de que os resultados são altamente dependentes das habilidades da pessoa que faz o ajuste. Um procedimento mais consistente é usar os métodos de mínimos quadrados, momentos ou probabilidade máxima.
In the least square method, the sum of the squares of the differences between observed data and fitted values is minimized.
The minimization condition leads to a set of m normal equations, where m is the number of parameters to be estimated.
The simultaneous solution of the normal equations leads to the parameters describing the fitting (Chapter 7).
No método dos mínimos quadrados, a soma dos quadrados das diferenças entre os dados observados e os valores ajustados é minimizada. A condição de minimização leva a um conjunto de m equações normais, onde m é o número de parâmetros a serem estimados. A solução simultânea das equações normais leva aos parâmetros que descrevem o ajuste (capítulo 7).
To apply the method of moments, it is first necessary to select a distribution; then, the moments of the distribution are calculated based on the data.
The method provides an exact theoretical fitting, but the accuracy is substantially affected by errors in the tail of the distribution (i.e., events of long return period).
A disadvantage of the method is the uncertainty regarding the adequacy of the chosen probability distribution.
Para aplicar o método dos momentos, é necessário primeiro selecionar uma distribuição; então, os momentos da distribuição são calculados com base nos dados. O método fornece um ajuste teórico exato, mas a precisão é substancialmente afetada por erros na cauda da distribuição (ou seja, eventos de longo período de retorno). Uma desvantagem do método é a incerteza quanto à adequação da distribuição de probabilidade escolhida.
In the method of maximum likelihood, the distribution parameters are estimated in such a way that the product of probabilities (i.e., the joint probability, or likelihood) is maximized.
This is obtained in a similar manner to the least square method by partially differentiating the likelihood with respect to each of the parameters and equating the result to zero.
No método da máxima probabilidade, os parâmetros de distribuição são estimados de forma que o produto das probabilidades (ou seja, a probabilidade conjunta ou probabilidade) seja maximizado. Isso é obtido de maneira semelhante ao método do quadrado mínimo, diferenciando parcialmente a probabilidade em relação a cada um dos parâmetros e equiparando o resultado a zero.
The four fitting methods can be rated in ascending order of effectiveness: graphical, least square, moments, and maximum likelihood.
The latter, however, is somewhat more difficult to apply [6, 21].
In practice, the method of moments is the most commonly used curve fitting method (see, for instance, the log Pearson III and Gumbel methods described later in this section).
Os quatro métodos de ajuste podem ser classificados em ordem crescente de eficácia: gráfico, quadrado mínimo, momentos e probabilidade máxima. O último, no entanto, é um pouco mais difícil de aplicar [6, 21]. Na prática, o método dos momentos é o método de ajuste de curva mais comumente usado (consulte, por exemplo, os métodos log Pearson III e Gumbel descritos mais adiante nesta seção).
Frequency Factors
Fatores de Frequência
Any value of a random variable may be represented in the following form:
Qualquer valor de uma variável aleatória pode ser representado da seguinte forma:
in which x = value of random variable; x̄ = mean of the distribution, and Δx = departure from the mean, a function of return period and statistical properties of the distribution.
This departure from the mean can be expressed in terms of the product of the standard deviation s and a frequency factor K such that Δx = K s. The frequency factor is a function of return period and probability distribution to be used in the analysis.
Therefore, Eq. 6-28 can be written in the following form:
em que x = valor da variável aleatória; x%GÌ„%@ = média da distribuição e ~x = desvio da média, uma função do período de retorno e propriedades estatísticas da distribuição. Este desvio da média pode ser expresso em termos do produto do desvio padrão se um fator de frequência K tal que ~x = K s. O fator de frequência é uma função do período de retorno e da distribuição de probabilidade a ser usada na análise. Portanto, a Eq. 6-28 podem ser escritos da seguinte forma:
or, alternatively,
in which Cv = variance coefficient.
Equation 6-29 was proposed by Chow [5] as a general equation for hydrologic frequency analysis.
For any probability distribution, a relationship can be determined between frequency factor and return period.
This relationship can be expressed in analytical terms, in the form of tables, or by K-T curves.
In using the procedure, the statistical parameters are first determined from the analysis of the flood series.
For a given return period, the frequency factor is determined from the curves or tables and the flood magnitude computed by Eq. 6-29.
A equação 6-29 foi proposta por Chow [5] como uma equação geral para análise de frequência hidrológica. Para qualquer distribuição de probabilidade, um relacionamento pode ser determinado entre o fator de frequência e o período de retorno. Essa relação pode ser expressa em termos analíticos, na forma de tabelas ou por curvas K-T. Ao usar o procedimento, os parâmetros estatísticos são determinados primeiro a partir da análise das séries de inundação. Para um dado período de retorno, o fator de frequência é determinado a partir das curvas ou tabelas e a magnitude da inundação calculada pela Eq. 6-29.
Log Pearson III Method
Método Log Pearson III
The log Pearson III method of flood frequency analysis is described in Bulletin 17B: Guidelines for Determining Flood Flow Frequency, published by the U.S. Interagency Advisory Committee on Water Data, Reston, Virginia [31].
O método log Pearson III de análise de frequência de inundação é descrito no Boletim 17B: Diretrizes para Determinação da Frequência de Fluxo de Inundação, publicado pelo Comitê Consultivo Interagencial dos EUA sobre Dados de Água, Reston, Virgínia [31].
Methodology.
To apply the method, the following steps are necessary:
Metodologia. Para aplicar o método, são necessárias as seguintes etapas:
Assemble the annual flood series xi.
Monte a série anual de inundações xi.
Calculate the logarithms of the annual flood series:
Calcule os logaritmos da série anual de inundações:
Calculate the mean ȳ, standard deviation sy, and skew coefficient Csy of the logarithms yi.
Calcule a média %Gȳ%@, o desvio padrão sy e o coeficiente de inclinação Csy dos logaritmos yi.
Calculate the logarithms of the flood discharges, log Qj for each of several chosen probability levels Pj using the following frequency formula:
Calcule os logaritmos das descargas de inundação, registre Qj para cada um dos vários níveis de probabilidade escolhidos Pj, usando a seguinte fórmula de frequência
in which Kj is the frequency factor, a function of the probability Pj and the skew coefficient Csy. Table A-6 (Appendix A) shows frequency factors K for ten selected probability levels in the range 0.5 to 95 percent (and corresponding return periods in the range 200 to 1.05 y) and skew coefficients in the range -3.0 to 3.0.
em que Kj é o fator de frequência, uma função da probabilidade Pj e do coeficiente de inclinação Csy. A Tabela A-6 (Apêndice A) mostra os fatores de frequência K para dez níveis de probabilidade selecionados na faixa de 0,5 a 95 por cento (e períodos de retorno correspondentes na faixa de 200 a 1,05 a) e coeficientes de inclinação na faixa de -3,0 a 3,0.
Calculate the flood discharges Qj for each Pj probability level (or return period Tj) by taking the antilogarithms of the log Qj values.
Calcule as descargas de inundação Qj para cada nível de probabilidade Pj (ou período de retorno Tj), tomando os antilogaritmos dos valores log Qj.
Plot the flood discharges Qj against probabilities Pj on log probability paper, with discharges in the log scale and probabilities in the probability scale.
The log Pearson III fit to the data is obtained by linking the points with a smooth curve.
For Csy = 0, the curve reduces to a straight line.
Plote as descargas de inundação Qj em relação às probabilidades Pj em papel de probabilidade de log, com descargas na escala de log e probabilidades na escala de probabilidade. O log de Pearson III ajustado aos dados é obtido vinculando os pontos com uma curva suave. Para Csy = 0, a curva reduz para uma linha reta.
The procedure is illustrated by the following example.
O procedimento é ilustrado pelo exemplo a seguir.
Example 5-4.
Apply the log Pearson III method to the flood series of Example 6-3.
Plot the results on log probability paper along with the plotting positions calculated in Example 6-3.
Aplique o método do log Pearson III à série de inundações do Exemplo 6-3. Plote os resultados no papel de probabilidade de log, juntamente com as posições de plotagem calculadas no Exemplo 6-3.
The discharge values, Table 6-2, Col. 2, are converted to logarithms, and the mean, standard deviation, and skew coefficient of the logarithms calculated.
This results in ȳ = 3.187, sy = 0.207, and Csy = -0.116.
The computations are summarized in Table 6-3.
Column 1 shows selected return periods, and Col. 2 shows the associated probabilities in percent (exceedance probability).
Column 3 shows the frequency factors K for
Os valores de descarga, Tabela 6-2, Col. 2, são convertidos em logaritmos, e a média, desvio padrão e coeficiente de inclinação dos logaritmos calculados. Isso resulta em %Gȳ%@ = 3,187, sy = 0,207 e Csy = -0,116. Os cálculos estão resumidos na Tabela 6-3. A coluna 1 mostra os períodos de retorno selecionados e a coluna 2 mostra as probabilidades associadas em porcentagem (probabilidade de excedência). A coluna 3 mostra os fatores de frequência K para Csy = -0,116 e para cada período de retorno ou probabilidade de excedência. Os valores na Col. 3 são obtidos da Tabela A-6 por interpolação linear. A coluna 4 mostra os logaritmos das descargas de inundação calculados pela Eq. 6-32 e a Col. 5 mostra as descargas de inundação. As descargas de inundação são plotadas de acordo com as probabilidades correspondentes, como mostra a linha sólida da Fig. 6-4, para obter o log de Pearson III ajustado aos dados. As posições de plotagem calculadas no Exemplo 6-3 também são mostradas para comparação.
ONLINE CALCULATION. Using ONLINE PEARSON,
the results are essentially the same, varying from Q = 691 m3/s for T = 1.05 y, to Q = 4984 m3/s for T = 200 y.
Figure 6-4 Log Pearson III fit: Example 6-4 [31].
Regional Skew Characteristics
Características regionais de inclinação
The skew coefficient of the flood series (i.e., the station skew) is sensitive to extreme events.
The overall accuracy of the method is improved by using a weighted value of skew in lieu of the station skew.
First, a value of regional skew is obtained, and the weighted skew is calculated by weighing station and regional skews in inverse proportion to their mean square errors (MSE).
The formula for weighted skew is the following:
O coeficiente de inclinação da série de inundações (ou seja, a inclinação da estação) é sensível a eventos extremos. A precisão geral do método é aprimorada usando um valor ponderado de inclinação, em vez da inclinação da estação. Primeiro, é obtido um valor de inclinação regional, e a inclinação ponderada é calculada pela estação de pesagem e inclinação regional em proporção inversa aos seus erros quadrados médios (MSE). A fórmula para a inclinação ponderada é a seguinte:
in which Csw = weighted skew; Csy = station skew; Csr = regional skew; (MSE)sy = mean square error of the station skew; and (MSE)sr = mean square error of the regional skew.
em que Csw = inclinação ponderada; Csy = inclinação da estação; Csr = inclinação regional; (MSE) sy = erro quadrático médio da inclinação da estação; e (MSE) sr = erro quadrático médio da inclinação regional.
To develop a value of regional skew, it is necessary to assemble data from at least 40 stations or, alternatively, all stations within a 160-km radius.
The stations should have at least 25 y of record. In certain cases, the paucity of data may require a relaxation of these criteria.
The procedure includes analysis by three methods: (1) skew isolines map, (2) skew prediction equation, and (3) statistics of station skews.
Para desenvolver um valor de inclinação regional, é necessário reunir dados de pelo menos 40 estações ou, alternativamente, todas as estações em um raio de 160 km. As estações devem ter pelo menos 25 anos de registro. Em certos casos, a escassez de dados pode exigir um relaxamento desses critérios. O procedimento inclui análise por três métodos: (1) mapa de isolamentos de inclinação, (2) equação de previsão de inclinação e (3) estatísticas de inclinação de estação.
To develop a skew isolines map, each station skew is plotted on a map at the centroid of its catchment area, and the plotted data are examined to identify any geographic or topographic trends.
If a pattern is evident, isolines (lines of equal skew) are drawn and the MSE is computed.
The MSE is the mean of the square of the differences between observed skews and isoline skews.
If no pattern is evident, an isoline map cannot be developed, and this method is not considered further.
Para desenvolver um mapa de isolados de inclinação, cada inclinação de estação é plotada em um mapa no centróide de sua área de influência, e os dados plotados são examinados para identificar quaisquer tendências geográficas ou topográficas. Se um padrão é evidente, isolinhas (linhas de inclinação igual) são desenhadas e o MSE é calculado. O MSE é a média do quadrado das diferenças entre os desvios observados e os isolados. Se nenhum padrão for evidente, um mapa de isolinhas não poderá ser desenvolvido e esse método não será considerado mais adiante.
In the second method, a prediction equation is used to relate station skew to catchment properties and climatological variables.
The MSE is the mean of the square of the differences between observed and predicted skews.
No segundo método, uma equação de previsão é usada para relacionar a inclinação da estação às propriedades de captação e variáveis %G​​%@climatológicas. O MSE é a média do quadrado das diferenças entre as inclinações observadas e previstas.
In the third method, the mean and variance of the station skews are calculated.
In some cases, the variability of runoff may be such that all the stations may not be hydrologically homogeneous.
If this is the case, the values of about 20 stations can be used to calculate the mean and variance of the data.
No terceiro método, são calculadas a média e a variação das distorções da estação. Em alguns casos, a variabilidade do escoamento pode ser tal que todas as estações podem não ser hidrologicamente homogêneas. Se for esse o caso, os valores de cerca de 20 estações podem ser usados %G​​%@para calcular a média e a variação dos dados.
Of the three methods, the one providing the most accurate estimate of skew coefficient is selected.
First a comparison of the MSEs from the isolines map and prediction equations is made.
Then the smaller MSE is compared to the variance of the data.
If the smaller MSE is significantly smaller than the variance, it should be used in Eq. 6-33 as (MSE)sr.
If this is not the case, the variance should be used as (MSE)sr, with the mean of the station skews used as regional skew (Csr).
Dos três métodos, o que fornece a estimativa mais precisa do coeficiente de inclinação é selecionado. Primeiro, é feita uma comparação dos MSEs a partir do mapa de isolinhas e das equações de previsão. Então o MSE menor é comparado à variação dos dados. Se o MSE menor for significativamente menor que a variação, deve ser usado na Eq. 6-33 como (MSE) sr. Se não for esse o caso, a variação deve ser usada como (MSE) sr, com a média das distorções da estação usadas como distorção regional (Csr).
In the absence of regional skew studies, generalized values of regional skew for use in Eq. 6-33 can be obtained from Fig. 6-5.
When regional skew is obtained from this figure, the mean square error of the regional skew is MSEsr = 0.302.
The mean square error of the station skew is approximated by the following formula:
Na ausência de estudos de inclinação regional, valores generalizados de inclinação regional para uso na Eq. 6-33 pode ser obtido na Fig. 6-5. Quando a inclinação regional é obtida a partir desta figura, o erro quadrático médio da inclinação regional é MSEsr = 0,302. O erro quadrático médio da inclinação da estação é aproximado pela seguinte fórmula:
in which
with G = absolute value of the station skew, and n = record length in years.
Figure 6-5 Generalized skew coefficient of logarithms of annual maximum streamflow [31] (Click -here- to display).
Example 6-5.
A station in San Diego, California, has flood records for 34 y, with station skew Csy = - 0.1.
Calculate a weighted skew following Eq. 6-33 and Fig. 6-5.
Uma estação em San Diego, Califórnia, possui registros de inundação por 34 anos, com a inclinação da estação Csy = - 0,1. Calcule uma inclinação ponderada após a Eq. 6-33 e Fig. 6-5.
From Fig. 6-5, the generalized value of regional skew is Csr = -0.3.
The MSE of the station skew is calculated by Eq. 6-34, with G = 0.1: (MSE)sy = 0.156.
Therefore, the weighted skew is (Eq. 6-33): Na Figura 6-5, o valor generalizado da inclinação regional é Csr = -0,3. O MSE da inclinação da estação é calculado pela Eq. 6-34, com G = 0,1: (MSE) sy = 0,156. Portanto, a inclinação ponderada é (Eq. 6-33): Csw = - 0,168.
Treatment of Outliers.
Outliers are data points that depart significantly from the overall trend of the data.
The treatment of these outliers (i.e., their retention, modification, or deletion) may have a significant effect on the value of the statistical parameters computed from the data, particularly for small samples.
Procedures for treatment of outliers invariably require judgment involving mathematical and hydrologic considerations.
Tratamento de Outliers. Outliers são pontos de dados que se afastam significativamente da tendência geral dos dados. O tratamento desses valores extremos (isto é, sua retenção, modificação ou exclusão) pode ter um efeito significativo no valor dos parâmetros estatísticos calculados a partir dos dados, particularmente para amostras pequenas. Os procedimentos para tratamento de discrepantes invariavelmente exigem julgamento envolvendo considerações matemáticas e hidrológicas.
The detection and treatment of high and low outliers in the log Pearson III method is performed in the following way [31].
For station skew greater than +0.4, tests for high outliers are considered first.
For station skew less than -0.4, tests for low outliers are considered first.
For station skew in the range -0.4 to +0.4, tests for high and low outliers are considered simultaneously, without eliminating any outliers from the data.
A detecção e o tratamento de valores extremos altos e baixos no método log Pearson III são realizados da seguinte maneira [31]. Para inclinação da estação maior que 0,4, os testes para valores discrepantes altos são considerados primeiro. Para inclinação da estação menor que -0,4, os testes para valores discrepantes baixos são considerados primeiro. Para inclinação da estação na faixa de -0,4 a 0,4, os testes para valores extremos altos e baixos são considerados simultaneamente, sem eliminar os valores extremos dos dados.
The following equation is used to detect high outliers:
A seguinte equação é usada para detectar valores discrepantes altos:
in which yH = high outlier threshold (in log units); and Kn = outlier frequency factor, a function of record length n. Values of yH are given in Table A-7 (Appendix A).
em que yH = limite máximo externo (em unidades de log); e Kn = fator de frequência externo, uma função do comprimento do registro n. Os valores de yH são apresentados na Tabela A-7 (Apêndice A).
Values of yi (logarithms of the flood series) greater than yH are considered to be high outliers.
If there is sufficient evidence to indicate that a high outlier is a maximum in an extended period of time, it is treated as historical data.
Otherwise, it is retained as part of the flood series.
Valores de yi (logaritmos da série de inundações) maiores que yH são considerados altos e extremos. Se houver evidência suficiente para indicar que um valor alto alto é um máximo em um período prolongado, ele é tratado como dados históricos. Caso contrário, ele é mantido como parte da série de inundações.
Historical data refers to flood information outside of the flood series, which may be used to extend the record to a period much longer than that of the flood series.
Historical knowledge is used to define the historical period H, which is longer than the record period n.
The number z of events that are known to be the largest in the historical period are given a weight of 1.
The remaining n events from the flood series are given a weight of (H - z)/n.
For instance, for a record length n = 44 y, a historical period H = 77 y, and a number of peaks in the historical period z = 3, the weight applied to the three historical peaks would be 1, and the weight applied to the remaining flood series would be (77 - 3)/44 = 1.68.
In other words, the record is extended to 77 y, and the 44 y of flood series (excluding outliers that have been considered part of the historical data) represent 74 y of data in the historical period of 77 y [31].
Os dados históricos se referem a informações de inundação fora da série de inundações, que podem ser usadas para estender o registro a um período muito mais longo do que o da série de inundações. O conhecimento histórico é usado para definir o período histórico H, que é maior que o período recorde n. O número z de eventos que se sabe ser o maior do período histórico recebe um peso de 1. Os n eventos restantes da série de inundações recebem um peso de (H - z) / n. Por exemplo, para um comprimento de registro n = 44 y, um período histórico H = 77 y e vários picos no período histórico z = 3, o peso aplicado aos três picos históricos seria 1 e o peso aplicado a a série de inundações restante seria (77 - 3) / 44 = 1,68. Em outras palavras, o registro é estendido para 77 anos, e os 44 anos das séries de inundações (excluindo valores extremos que foram considerados parte dos dados históricos) representam 74 anos de dados no período histórico de 77 anos [31].
The following equation is used to detect low outliers:
A seguinte equação é usada para detectar valores discrepantes baixos:
in which yL = low outlier threshold (in log units) and other terms are as defined previously.
If an adjustment for historical data has been previously made, the values on the right-hand side of Eq. 6-36 are those previously used in the historically weighted computation.
Values of yi smaller than yL are considered to be low outliers and deleted from the flood series [31].
em que yL = limite externo mais baixo (em unidades de log) e outros termos são os definidos anteriormente. Se um ajuste para dados históricos tiver sido feito anteriormente, os valores no lado direito da Eq. 6-36 são aqueles usados %G​​%@anteriormente no cálculo historicamente ponderado. Valores de yi menores que yL são considerados outliers baixos e excluídos da série de inundações [31].
Complements to Flood Frequency Estimates. The accuracy of flood estimates based on frequency analysis deteriorates for values of
probability much greater than the record length. This is due to sampling error and to the fact that the underlying distribution
is not known with certainty. Alternative procedures that complement the information provided by flood frequency
analysis are recommended. These procedures include flood estimates from precipitation data (e.g., unit hydrograph,
Chapter 5) and comparison with catchments of similar hydrologic characteristics (regional analysis, Chapter 7).
Table 6-4 shows the relationship between the various types of analysis used in flood frequency studies.
Complementos às estimativas de frequência de inundação. A precisão das estimativas de inundação com base na análise de frequência se deteriora para valores de probabilidade muito maiores que o comprimento do registro. Isso ocorre devido ao erro de amostragem e ao fato de que a distribuição subjacente não é conhecida com certeza. Procedimentos alternativos que complementam as informações fornecidas pela análise de frequência de inundação são recomendados. Esses procedimentos incluem estimativas de inundações a partir de dados de precipitação (por exemplo, hidrograma unitário, capítulo 5) e comparação com bacias hidrográficas de características hidrológicas semelhantes (análise regional, capítulo 7). A Tabela 6-4 mostra a relação entre os vários tipos de análise utilizados nos estudos de frequência de inundação.
Gumbel's Extreme Value Type I Method
Método de valor extremo tipo I de Gumbel
The extreme value Type I distribution, also known as the Gumbel method [16], or EVl, has been widely used in the United States
and other countries.
The method is a special case of the three-parameter GEV distribution described in the British Flood Studies Report [23].
O valor extremo da distribuição Tipo I, também conhecido como método de Gumbel [16], ou EVl, tem sido amplamente utilizado nos Estados Unidos e em outros países. O método é um caso especial da distribuição GEV de três parâmetros descrita no British Flood Studies Report [23].
The cumulative density function F(x) of the Gumbel method is the double exponential, Eq. 6-19, repeated here for convenience:
A função de densidade cumulativa F (x) do método Gumbel é a dupla exponencial, Eq. 6-19, repetido aqui por conveniência:
in which F(x) is the probability of nonexceedance.
In flood frequency analysis, the probability of interest is the probability of exceedance, i.e., the complementary probability to F(x):
em que F (x) é a probabilidade de não-excedência. Na análise de frequência de inundação, a probabilidade de interesse é a probabilidade de excedência, ou seja, a probabilidade complementar de F (x):
The return period T is the reciprocal of the probability of exceedance.
Therefore,
O período de retorno T é o recíproco da probabilidade de excedência. Portanto,
From Eq. 6-38:
In the Gumbel method, values of flood discharge are obtained from the frequency formula, Eq. 6-29, repeated here for convenience:
No método Gumbel, os valores de vazão são obtidos a partir da fórmula de frequência, Eq. 6-29, repetido aqui por conveniência:
The frequency factor K is evaluated with the frequency formula:
O fator de frequência K é avaliado com a fórmula de frequência:
in which y = Gumbel (reduced) variate, a function of return period (Eq. 6-39); and ȳn and σn are the mean and standard deviation of the Gumbel variate, respectively.
These values are a function of record length n (see Table A-8, Appendix A).
em que y = Gumbel (reduzido) varia, uma função do período de retorno (Eq. 6-39); e %Gȳ%@n e ~n são a média e o desvio padrão da variável Gumbel, respectivamente. Esses valores são uma função do comprimento do registro n (consulte a Tabela A-8, apêndice A).
In Eq. 6-29, for K = 0, x is equal to the mean annual flood x̄.
Likewise, in Eq. 6-40, for K = 0, the Gumbel variate y is equal to its mean ȳn.
The limiting value of ȳn, for n → ∞ is the Euler constant, 0.5772 [28]. In Eq. 6-38, for y = 0.5772: T = 2.33 years.
Therefore, the return period of 2.33 y is taken as the return period of the mean annual flood.
Na Eq. 6-29, para K = 0, x é igual à inundação média anual x%GÌ„%@. Da mesma forma, na Eq. 6-40, para K = 0, a variável y de Gumbel é igual à sua média %Gȳ%@n. O valor limite de %Gȳ%@n, para n ~ ~, é a constante de Euler, 0,5772 [28]. Na Eq. 6-38, para y = 0,5772: T = 2,33 anos. Portanto, o período de retorno de 2,33 y é considerado o período de retorno da inundação média anual.
From Eqs. 6-29 and 6-40:
and with Eq. 6-39:
The following steps are necessary to apply the Gumbel method:
As etapas a seguir são necessárias para aplicar o método Gumbel:
Assemble the flood series.
Monte a série de inundações.
Calculate the mean x̄ and standard deviation s of the flood series.
Calcule a média e o desvio padrão s da série de inundações.
Use Table A-8 to determine the mean ȳn and standard deviation σn of the Gumbel variate as a function of record length n.
Use a Tabela A-8 para determinar a média %Gȳ%@n e o desvio padrão ~n da variável Gumbel como uma função do comprimento do registro n.
Select several return periods Tj and associated exceedance probabilities Pj.
Selecione vários períodos de retorno Tj e probabilidades de excedência associadas Pj.
Calculate the Gumbel variates yj corresponding to the return periods Tj by using Eq. 6-39, and calculate the flood discharge Qj = xj for each Gumbel variate (and associated return period) using Eq. 6-41. Alternatively, the flood discharges can be calculated directly for each return period by using Eq. 6-42.
Calcule as variáveis %G​​%@de Gumbel yj correspondentes aos períodos de retorno Tj usando Eq. 6-39 e calcule a vazão Qj = xj para cada variável de Gumbel (e período de retorno associado) usando a Eq. 6-41. Como alternativa, as descargas de inundação podem ser calculadas diretamente para cada período de retorno usando a Eq. 6-42.
Values of Q are plotted against y or T (or P) on Gumbel probability paper, and a straight line is drawn through the points.
Gumbel probability paper has an arithmetic scale of Gumbel variate y in the abscissas and an arithmetic scale of flood discharge Q in the ordinates.
To facilitate the reading of frequencies and probabilities, Eq. 6-38 may be used to superimpose a scale of return period T (or probability P) on the arithmetic scale of Gumbel variate y.
Os valores de Q são plotados contra y ou T (ou P) no papel de probabilidade Gumbel, e uma linha reta é traçada através dos pontos. O artigo de probabilidade de Gumbel possui uma escala aritmética da variável y de Gumbel nas abscissas e uma escala aritmética da descarga Q de inundação nas ordenadas. Para facilitar a leitura de frequências e probabilidades, Eq. 6-38 pode ser usado para sobrepor uma escala do período de retorno T (ou probabilidade P) à escala aritmética da variável y de Gumbel.
Example 6-6.
Apply the Gumbel method to the flood series of Example 6-3.
Plot the results on Gumbel paper along with the plotting positions calculated in Example 6-3.
Aplique o método Gumbel à série de inundações do Exemplo 6-3. Plote os resultados no papel Gumbel, juntamente com as posições de plotagem calculadas no Exemplo 6-3.
The mean and standard deviation of the flood series are: x̄ = 1704 m3/s and s = 795 m3/s.
From Table A-8. for n = 16, the mean and standard deviation of the Gumbel variate are ȳ = 0.5157 and σn = 1.0316.
The results are shown in Table 6-5.
Columns 1 and 2 show selected return periods T and associated exceedance probabilities (in percent).
Column 3 shows the values of Gumbel variate calculated by Eq. 6-39.
Column 4 shows the flood discharge Q calculated by Eq. 6-41 for each variate y, return period T, and associated exceedance probability P.
The flood discharges define a straight line when plotted versus return period on Gumbel paper, as shown by the solid line of Fig. 6-6. Plotting positions calculated by Example 6-3 are shown for comparison purposes.
A média e o desvio padrão das séries de inundação são: x%GÌ„%@ = 1704 m3 / se es = 795 m3 / s. Da Tabela A-8. para n = 16, a média e o desvio padrão da variável Gumbel são %Gȳ%@ = 0,5157 e ~n = 1,0316. Os resultados são mostrados na Tabela 6-5. As colunas 1 e 2 mostram os períodos de retorno selecionados T e as probabilidades de excedência associadas (em porcentagem). A coluna 3 mostra os valores da variável Gumbel calculados pela Eq. 6-39. A coluna 4 mostra a descarga Q de inundação calculada pela Eq. 6-41 para cada variável y, período de retorno T e probabilidade de excedência associada P. As descargas de inundação definem uma linha reta quando plotadas versus período de retorno no papel Gumbel, como mostra a linha sólida da Fig. 6-6. As posições de plotagem calculadas pelo Exemplo 6-3 são mostradas para fins de comparação.
ONLINE CALCULATION. Using ONLINE GUMBEL,
the results are essentially the same, varying from Q = 447 m3/s for T = 1.05 y, to Q = 5396 m3/s for T = 200 y.
Figure 6-6 Flood frequency analysis by Gumbel method: Example 6-6.
Modifications to the Gumbel Method.
Since its inception in the 1940s, several modifications to the Gumbel method have been proposed.
Gringorten [12] has shown that the Gumbel distribution does not follow the Weibull plotting rule, Eq. 6- 26 (or Eq. 6-27 with a = 0).
He recommended a = 0.44, which led to the Gringorten plotting position formula:
Modificações no método Gumbel. Desde o seu início, na década de 1940, várias modificações no método Gumbel foram propostas. Gringorten [12] mostrou que a distribuição de Gumbel não segue a regra de plotagem de Weibull, Eq. 6-26 (ou Eq. 6-27 com a = 0). Ele recomendou a = 0,44, o que levou à fórmula da posição de plotagem de Gringorten:
Lettenmaier and Burges [22] have suggested that better flood estimates are obtained by using the limiting values of mean and standard deviation of the Gumbel
variate (i.e., those corresponding to Lettenmaier e Burges [22] sugeriram que melhores estimativas de inundação são obtidas usando os valores-limite da média e desvio padrão da variável Gumbel (isto é, aqueles correspondentes a n = ~) na Eq. 6-40, em vez de basear esses valores no comprimento do registro. Nesse caso, %Gȳ%@n = 0,5772 e ~n = ~ / 61/2 = 1,2825. Portanto, a Eq. 6-41 reduz para
and Eq. 6-42 reduces to
Lettenmaier and Burges [22] have also suggested that a biased variance estimate, using n as the divisor in Eq. 6-3, yields better estimates of extreme events that the usual unbiased estimate, that is, the divisor n - 1.
Lettenmaier e Burges [22] também sugeriram que uma estimativa de variância tendenciosa, usando n como o divisor na Eq. 6-3, produz melhores estimativas de eventos extremos do que a estimativa imparcial usual, ou seja, o divisor n-1.
Comparison Between Flood Frequency Methods
Comparação entre métodos de frequência de inundação
In 1966, the Hydrology Subcommittee of the U.S. Water Resources Council began work on selecting a suitable method of flood frequency analysis that could be recommended for general use in the United States.
Em 1966, o Subcomitê de Hidrologia do Conselho de Recursos Hídricos dos EUA começou a trabalhar na seleção de um método adequado de análise de frequência de inundação que poderia ser recomendado para uso geral nos Estados Unidos.
The committee tested the goodness of fit of six distributions: (1) lognormal, (2) log Pearson III, (3) Hazen, (4) gamma, (5) Gumbel (EV1) and (6) log Gumbel (EV2).
The study included ten sets of records, the shortest of which was 40 y.
The findings showed that the first three distributions had smaller average deviations that the last three.
Since the Hazen distribution is a type of lognormal distribution and the lognormal is a special case of the log Pearson III, the Committee concluded that the latter was the most appropriate of the three, and hence recommended it for general use.
O comitê testou a qualidade do ajuste de seis distribuições: (1) lognormal, (2) log Pearson III, (3) Hazen, (4) gama, (5) Gumbel (EV1) e (6) log Gumbel (EV2). O estudo incluiu dez conjuntos de registros, o menor dos quais com 40 anos. Os resultados mostraram que as três primeiras distribuições apresentaram desvios médios menores que as três últimas. Como a distribuição Hazen é um tipo de distribuição lognormal e o lognormal é um caso especial do log Pearson III, o Comitê concluiu que o último era o mais apropriado dos três e, portanto, o recomendou para uso geral.
The same type of analysis was repeated for six sets of records in the United Kingdom, the shortest of which was 32 y [2]. The methods were: (1) gamma, (2) log gamma, (3) lognormal, (4) Gumbel (EV1), (5) GEV, (6) Pearson Type III, and (7) log Pearson III. At low return periods (from 2 to 5 y), the GEV and Pearson Type III showed the smallest average deviations, whereas for return periods exceeding 10 y the log Pearson III method had the smallest average deviations.
O mesmo tipo de análise foi repetido para seis conjuntos de registros no Reino Unido, o menor dos quais foi de 32 anos [2]. Os métodos foram: (1) gama, (2) log gama, (3) log normal, (4) Gumbel (EV1), (5) GEV, (6) Pearson Tipo III e (7) log Pearson III. Em períodos de baixo retorno (de 2 a 5 anos), o GEV e o Pearson Tipo III apresentaram os menores desvios médios, enquanto que para períodos de retorno superiores a 10 anos, o método logarítmico Pearson III apresentou os menores desvios médios.
Similar comparative studies were reported in the British Flood Studies Report [23].
The study concluded that the three-parameter distributions (GEV, Pearson Type III, and log Pearson III) provided a better fit than the two-parameter distributions
(Gumbel, lognormal, gamma, log gamma).
Based on mean absolute deviation criteria, the study rated the log Pearson III method better than the GEV and the latter better than the Pearson Type III.
However, based on root mean square deviation, it rated the Pearson Type III better than both the log Pearson III and GEV distributions.
Estudos comparativos semelhantes foram relatados no British Flood Studies Report [23]. O estudo concluiu que as distribuições de três parâmetros (GEV, Pearson Tipo III e log Pearson III) forneceram um ajuste melhor do que as distribuições de dois parâmetros (Gumbel, lognormal, gama, log gama). Com base nos critérios de desvio médio absoluto, o estudo classificou o método log Pearson III melhor que o GEV e este último melhor que o tipo III de Pearson. No entanto, com base no desvio quadrado médio da raiz, classificou o Pearson Tipo III melhor do que as distribuições log Pearson III e GEV.
Although in general, the three-parameter methods seemed to fare better than the two-parameter methods, the latter should not be completely discarded.
The British Flood Studies Report [23] observed that their use in connection with short record lengths often leads to results which are more sensible than those obtained by fitting three-parameter distributions.
A three-parameter distribution fitted to a small sample may in some cases imply that there is an upper bound to the flood discharge equal to about twice the mean annual flood.
While there may be an upper limit to flood magnitude, it is certainly higher than twice the mean annual flood.
Embora, em geral, os métodos de três parâmetros pareçam se sair melhor do que os métodos de dois parâmetros, este último não deve ser completamente descartado. O British Flood Studies Report [23] observou que seu uso em conjunto com comprimentos curtos de registros geralmente leva a resultados mais sensatos do que os obtidos pela distribuição de três parâmetros. Uma distribuição de três parâmetros ajustada a uma amostra pequena pode, em alguns casos, implicar que haja um limite superior para a descarga de inundação igual a cerca do dobro da média anual de inundação. Embora possa haver um limite superior para a magnitude da inundação, é certamente mais alto que o dobro da inundação média anual.
6.3 FREQUÊNCIA DE BAIXO FLUXO
Whereas high flows lead to floods, sustained low flows can lead to droughts.
A drought is defined as a lack of rainfall so great and continuing so long as to affect the plant and animal life of a region adversely and to deplete domestic and industrial water supplies, especially in those regions where rainfall is normally sufficient for such purposes [18].
Enquanto os altos fluxos levam a inundações, os baixos fluxos sustentados podem levar a secas. Uma seca é definida como uma falta de chuvas tão grande que continua afetando a vida vegetal e animal de uma região e esgotando o suprimento de água doméstico e industrial, especialmente nas regiões onde a chuva é normalmente suficiente para tais fins [18].
In practice, a drought refers to a period of unusually low water supplies, regardless of the water demand.
The regions most subject to droughts are those with the greatest variability in annual rainfall.
Studies have shown that regions where the variance coefficient of annual rainfall exceeds 0.35 are more likely to have frequent droughts [6].
Low annual rainfall and high annual rainfall variability are typical of arid and semiarid regions.
Therefore, these regions are more likely to be prone to droughts.
Na prática, uma seca se refere a um período de suprimento de água incomumente baixo, independentemente da demanda de água. As regiões mais sujeitas a secas são as que apresentam maior variabilidade nas chuvas anuais. Estudos têm mostrado que regiões onde o coeficiente de variação da precipitação anual excede 0,35 têm maior probabilidade de ter secas frequentes [6]. As baixas chuvas anuais e a alta variabilidade anual das chuvas são típicas das regiões áridas e semiáridas. Portanto, é mais provável que essas regiões sejam propensas a secas.
Studies of tree rings, which document long term trends of rainfall, show clear patterns of periods of wet and dry weather [30].
While there is no apparent explanation for the cycles of wet and dry weather, the dry years must be considered in planning water resource projects.
Analysis of long records has shown that there is a tendency for dry years to group together.
This indicates that the sequence of dry years is not random, with dry years tending to follow other dry years. It is therefore necessary to consider both the severity and duration of a drought period.
Estudos de anéis de árvores, que documentam tendências de longo prazo das chuvas, mostram padrões claros de períodos de tempo chuvoso e seco [30]. Embora não haja uma explicação aparente para os ciclos de clima úmido e seco, os anos secos devem ser considerados no planejamento de projetos de recursos hídricos. A análise de registros longos mostrou que há uma tendência para os anos secos se agruparem. Isso indica que a sequência dos anos secos não é aleatória, com os anos secos tendendo a seguir outros anos secos. Portanto, é necessário considerar a gravidade e a duração de um período de seca.
The severity of droughts can be established by measuring:
A severidade das secas pode ser estabelecida medindo-se:
The deficiency in rainfall and runoff,
A deficiência de chuva e escoamento,
The decline of soil moisture, and/or
O declínio da umidade do solo e / ou
The decrease in groundwater levels.
A diminuição dos níveis das águas subterrâneas.
Alternatively, low-flow-frequency analysis can be used in the assessment of the probability of occurrence of droughts of different durations.
Alternativamente, a análise de baixa frequência de fluxo pode ser usada na avaliação da probabilidade de ocorrência de secas de diferentes durações.
Figure 6-7 Low-flow frequency curves [28].
Methods of low-flow frequency analysis are based on an assumption of invariance of meteorological conditions.
The absence of long records, however, imposes a stringent limitation on low-flow frequency analysis.
When records of sufficient length are available, analysis begins with the identification of the low-flow series.
Either the annual minima or the annual exceedance series are used.
In a monthly analysis, the annual minima series is formed by the lowest monthly flow volumes in each year of record.
If the annual exceedance method is chosen, the lowest monthly flow volumes in the record are selected, regardless of when they occurred.
In the latter method, the number of values in the series need not be equal to the number of years of record.
Os métodos de análise de frequência de baixo fluxo são baseados na suposição de invariância das condições meteorológicas. A ausência de registros longos, no entanto, impõe uma limitação rigorosa na análise de frequência de baixo fluxo. Quando registros de comprimento suficiente estão disponíveis, a análise começa com a identificação das séries de baixo fluxo. São usados %G​​%@os mínimos anuais ou as séries de excedência anual. Em uma análise mensal, a série mínima anual é formada pelos menores volumes mensais de fluxo em cada ano de registro. Se o método de excedência anual for escolhido, os menores volumes de fluxo mensal no registro serão selecionados, independentemente de quando ocorrerem. No último método, o número de valores na série não precisa ser igual ao número de anos de registro.
A flow duration curve can be used to give an indication of the severity of low flows.
Such a curve, however, does not contain information on the sequence of low flows or the duration of possible droughts.
The analysis is made more meaningful by abstracting the minimum flows over a period of several consecutive days.
For instance, for each year, the 7-day period with minimum flow volume is abstracted, and the minimum flow is the average flow rate for that period.
A frequency analysis on the low-flow series, using the Gumbel method, for instance, results in a function describing the probability of occurrence of low flows of a certain duration.
The same analysis repeated for other durations leads to a family of curves depicting low-flow frequency, as shown in Fig. 6-7 [28].
Uma curva de duração do fluxo pode ser usada para fornecer uma indicação da gravidade dos fluxos baixos. Essa curva, no entanto, não contém informações sobre a sequência de vazões baixas ou a duração de possíveis secas. A análise se torna mais significativa abstraindo os fluxos mínimos durante um período de vários dias consecutivos. Por exemplo, para cada ano, o período de 7 dias com volume mínimo de vazão é abstraído e o fluxo mínimo é a vazão média para esse período. Uma análise de frequência nas séries de baixo fluxo, usando o método Gumbel, por exemplo, resulta em uma função que descreve a probabilidade de ocorrência de baixos fluxos de uma determinada duração. A mesma análise repetida para outras durações leva a uma família de curvas representando baixa frequência de fluxo, como mostrado na Fig. 6-7 [28].
In reservoir design, the assessment of low flows is aided by a flow-mass curve.
The technique involves the determination of storage volumes required for all low-flow periods.
Although it is practically impossible to provide sufficient storage to meet hydrologic risks of great rarity, common practice is to provide for a stated risk (i.e., a drought probability) and to add a suitable percent of the computed storage volume as reserve storage allowance.
The variance coefficient of annual flows is used in determining the risk and storage allowance levels. Extraordinary drought levels are then met by cutting draft rates.
No projeto de reservatório, a avaliação de vazões baixas é auxiliada por uma curva de fluxo-massa. A técnica envolve a determinação dos volumes de armazenamento necessários para todos os períodos de baixo fluxo. Embora seja praticamente impossível fornecer armazenamento suficiente para atender aos riscos hidrológicos de grande raridade, a prática comum é fornecer um risco declarado (ou seja, uma probabilidade de seca) e adicionar uma porcentagem adequada do volume de armazenamento computado como subsídio de armazenamento de reserva. O coeficiente de variação dos fluxos anuais é usado na determinação dos níveis de risco e de permissão de armazenamento. Níveis extraordinários de seca são atingidos cortando as taxas de saque.
Regulated rivers may alter natural flow conditions to provide a minimum downstream flow for specific purposes.
In this case, the reservoirs serve as the mechanism to diffuse the natural flow variability into downstream flows which can be made to be nearly constant in time.
Regulation is necessary for downstream low-flow maintenance, usually for the purpose of meeting agricultural,
municipal and industrial water demands, minimum instream flows, navigation draft, and water pollution control regulations.
Os rios regulamentados podem alterar as condições de fluxo natural para fornecer um fluxo a jusante mínimo para fins específicos. Nesse caso, os reservatórios servem como mecanismo para difundir a variabilidade natural do fluxo em fluxos a jusante, o que pode tornar-se quase constante no tempo. É necessária regulamentação para a manutenção a jusante de baixo fluxo, geralmente com o objetivo de atender às demandas de água agrícola, municipal e industrial, fluxos mínimos de fluxo, fluxo de navegação e regulamentos de controle de poluição da água.
6.4 SECAS
Drought is a weather-related natural phenomenon, affecting regions of the Earth for months or years.
It has an impact on food production, reducing life expectancy and the economic performance of large geographic regions or entire countries.
A seca é um fenômeno natural relacionado ao clima, afetando regiões da Terra por meses ou anos. Isso afeta a produção de alimentos, reduzindo a expectativa de vida e o desempenho econômico de grandes regiões geográficas ou países inteiros.
Drought is a recurrent feature of the climate;
it occurs in virtually all climatic zones, with its characteristics varying significantly among regions.
Drought differs from aridity in that drought is temporary; aridity is a permanent characteristic of regions with low rainfall.
A seca é uma característica recorrente do clima; ocorre em praticamente todas as zonas climáticas, com suas características variando significativamente entre as regiões. A seca difere da aridez, pois é temporária; a aridez é uma característica permanente das regiões com baixa pluviosidade.
Drought is related to a deficiency of precipitation over an extended period of time, usually for a season or more (Fig. 6-8).
This deficiency results in a water shortage for some activity, group, or environmental sector.
Drought is also related to the timing of precipitation.
Other climatic factors such as high temperature, high wind, and low relative humidity are often associated with drought.
A seca está relacionada a uma deficiência de precipitação por um período prolongado, geralmente por uma estação ou mais (Fig. 6-8). Essa deficiência resulta em falta de água para alguma atividade, grupo ou setor ambiental. A seca também está relacionada ao momento da precipitação. Outros fatores climáticos, como alta temperatura, vento alto e baixa umidade relativa, são frequentemente associados à seca.
Drought is more than a physical phenomenon or natural event.
Its impact results from the relation between a natural event and the demands on the water supply, and it is often exacerbated by human activities.
The experience from droughts has underscored the vulnerability of human societies to this natural hazard.
A seca é mais do que um fenômeno físico ou evento natural. Seu impacto resulta da relação entre um evento natural e as demandas no abastecimento de água, e é frequentemente exacerbado pelas atividades humanas. A experiência das secas ressaltou a vulnerabilidade das sociedades humanas a esse risco natural.
Figure 6-8 Backlands in Rio Grande do Norte, in the drought-stricken Brazilian Northeast.
Definition of drought
Definição de seca
Drought definitions are of two types: (1) conceptual, and (2) operational. Conceptual definitions help understand the meaning of
drought and its effects. For example, drought is a protracted period of precipitation deficiency which causes extensive damage
to crops, resulting in loss of yield.
As definições de seca são de dois tipos: (1) conceitual e (2) operacional. Definições conceituais ajudam a entender o significado da seca e seus efeitos. Por exemplo, a seca é um período prolongado de deficiência de precipitação que causa extensos danos às plantações, resultando em perda de produtividade.
Operational definitions help identify the drought's beginning, end, and degree of severity.
To determine the beginning of drought, operational definitions specify the degree of departure from the precipitation average over some time period.
This is usually accomplished by comparing the current situation (the study period) with the historical average.
The threshold identified as the beginning of a drought (e.g., 75% of average precipitation over
a specified time period) is usually established somewhat arbitrarily.
As definições operacionais ajudam a identificar o início, o fim e o grau de severidade da seca. Para determinar o início da seca, as definições operacionais especificam o grau de afastamento da média da precipitação durante um período de tempo. Isso geralmente é realizado comparando a situação atual (o período do estudo) com a média histórica. O limite identificado como o início de uma seca (por exemplo, 75% da precipitação média durante um período de tempo especificado) é geralmente estabelecido de maneira arbitrária.
An operational definition for agriculture may compare daily precipitation to evapotranspiration to determine the rate of soil-moisture
depletion, and express these relationships in terms of drought effects on plant behavior. Operational definitions are used to
analyze drought frequency, severity, and duration for a given historical period. Such definitions, however, require weather data
on hourly, daily, monthly, or other time scales and, possibly, impact data (e.g., crop yield). A climatology of drought for a
given region provides a greater understanding of its characteristics and the probability of recurrence at various levels of
severity. Information of this type is beneficial in the formulation of mitigation strategies.
Uma definição operacional para agricultura pode comparar a precipitação diária com a evapotranspiração para determinar a taxa de depleção da umidade do solo e expressar essas relações em termos de efeitos da seca no comportamento das plantas. As definições operacionais são usadas para analisar a frequência, severidade e duração da seca por um determinado período histórico. Tais definições, no entanto, requerem dados climáticos em escalas horárias, diárias, mensais ou outras escalas de tempo e, possivelmente, dados de impacto (por exemplo, rendimento da colheita). Uma climatologia da seca para uma determinada região fornece uma maior compreensão de suas características e a probabilidade de recorrência em vários níveis de severidade. Informações deste tipo são benéficas na formulação de estratégias de mitigação.
Types of droughts
Tipos de secas
The following types of drought have been identified:
Os seguintes tipos de seca foram identificados:
Seca meteorológica,
Seca agrícola,
Seca hidrológica e
Seca socioeconômica.
Meteorological drought is defined on the basis of the degree of dryness, in comparison to a normal or average amount,
and the duration of the dry period. Definitions of meteorological drought must be region-specific, since the
atmospheric conditions that result in deficiencies of precipitation are highly variable.
A seca meteorológica é definida com base no grau de secura, em comparação com uma quantidade normal ou média, e a duração do período seco. As definições de seca meteorológica devem ser específicas da região, pois as condições atmosféricas que resultam em deficiências de precipitação são altamente variáveis.
The variety of meteorological definitions in different countries illustrates why it is not possible to apply a definition of drought developed in one part of the world to another. For instance, the following definitions of drought have been reported:
A variedade de definições meteorológicas em diferentes países ilustra por que não é possível aplicar uma definição de seca desenvolvida em uma parte do mundo para outra. Por exemplo, as seguintes definições de seca foram relatadas:
United States (1942): Less than 2.5 mm of rainfall in 48 hours.
Estados Unidos (1942): Menos de 2,5 mm de precipitação em 48 horas.
Great Britain (1936): Fifteen consecutive days with daily precipitation less than 0.25 mm.
Grã-Bretanha (1936): Quinze dias consecutivos com precipitação diária menor que 0,25 mm.
Libya (1964): When annual rainfall is less than 180 mm.
Líbia (1964): Quando a precipitação anual é inferior a 180 mm.
Bali (1964): A period of six days without rain.
Bali (1964): Um período de seis dias sem chuva.
Data sets required to assess meteorological drought are: (1) daily rainfall, (2) temperature, (3) humidity, (4) wind velocity, and (5) evaporation.
Os conjuntos de dados necessários para avaliar a seca meteorológica são: (1) precipitação diária, (2) temperatura, (3) umidade, (4) velocidade do vento e (5) evaporação.
Agricultural drought links various characteristics of meteorological drought to agricultural impacts,
focusing on precipitation shortages, differences between actual and potential evapotranspiration,
soil-water deficits, reduced groundwater or reservoir levels, and so on. Plant water demand depends
on prevailing weather conditions, biological characteristics of the specific plant, its stage of
growth, and the physical and biological properties of the soil. A good definition of agricultural
drought should account for the susceptibility of crops during different stages of crop development.
Deficient topsoil moisture at planting may hinder germination, leading to low plant populations per hectare and a reduction of yield.
A seca agrícola vincula várias características da seca meteorológica a impactos agrícolas, concentrando-se em escassez de precipitação, diferenças entre evapotranspiração real e potencial, déficits de água no solo, níveis reduzidos de água subterrânea ou reservatório e assim por diante. A demanda de água da planta depende das condições climáticas prevalecentes, das características biológicas da planta específica, de seu estágio de crescimento e das propriedades físicas e biológicas do solo. Uma boa definição de seca agrícola deve ser responsável pela suscetibilidade das culturas durante os diferentes estágios do desenvolvimento das culturas. A umidade deficiente do solo no plantio pode prejudicar a germinação, levando a baixas populações de plantas por hectare e a uma redução no rendimento.
Data sets required to assess agricultural drought are: (1) soil texture, (2) soil fertility, (3) soil moisture, (4) crop type and area, (5) crop water requirements, (6) pests, and (7) climate.
Os conjuntos de dados necessários para avaliar a seca agrícola são: (1) textura do solo, (2) fertilidade do solo, (3) umidade do solo, (4) tipo e área da cultura, (5) necessidades de água da cultura, (6) pragas e (7) ) clima.
Hydrological drought refers to a persistently low discharge and/or volume of water in streams and reservoirs, lasting months or years.
Hydrological drought is a natural phenomenon, but it may be exacerbated by human activities. Hydrological droughts are usually related
to meteorological droughts, and their recurrence interval varies accordingly. Changes in land use and land degradation can affect the
magnitude and frequency of hydrological droughts.
Seca hidrológica refere-se a uma descarga persistentemente baixa e / ou volume de água em córregos e reservatórios, com duração de meses ou anos. A seca hidrológica é um fenômeno natural, mas pode ser exacerbada pelas atividades humanas. Secas hidrológicas são geralmente relacionadas a secas meteorológicas e seu intervalo de recorrência varia de acordo. Mudanças no uso e degradação do solo podem afetar a magnitude e a frequência das secas hidrológicas.
Data sets required to assess hydrological drought are: (1) surface-water area and volume, (2) surface runoff, (3) streamflow measurements,
(4) infiltration, (5) water-table fluctuations, and (6) aquifer properties.
Os conjuntos de dados necessários para avaliar a seca hidrológica são: (1) área e volume da água superficial, (2) escoamento superficial, (3) medições de vazão, (4) infiltração, (5) flutuações no lençol freático e (6) propriedades do aqüífero .
Socioeconomic drought associates the supply and demand of some economic good with elements of meteorological,
hydrological, and agricultural drought. It differs from the other types of drought in that its occurrence depends on the processes
of supply and demand. The supply of many economic goods, such as water, forage, food grains, fish, and hydroelectric power, depends on
the weather. Due to the natural variability of climate, water supply is ample in some years but insufficient to meet human and environmental needs in other years.
A seca socioeconômica associa a oferta e a demanda de algum bem econômico a elementos da seca meteorológica, hidrológica e agrícola. Difere dos outros tipos de seca, pois sua ocorrência depende dos processos de oferta e demanda. O fornecimento de muitos bens econômicos, como água, forragem, grãos de comida, peixe e energia hidrelétrica, depende do clima. Devido à variabilidade natural do clima, o suprimento de água é amplo em alguns anos, mas insuficiente para atender às necessidades humanas e ambientais em outros anos.
Socioeconomic drought occurs when the demand for an economic good exceeds the supply as a result of a weather-related shortfall in
water supply. The drought may result in significantly reduced hydroelectric power production because power plants were dependent
on streamflow rather than storage for power generation. Reducing hydroelectric power production may require the government to convert
to more expensive petroleum alternatives and to commit to stringent energy conservation measures to meet its power needs.
A seca socioeconômica ocorre quando a demanda por um bem econômico excede a oferta como resultado de um déficit relacionado ao clima no abastecimento de água. A seca pode resultar em uma produção de energia hidrelétrica significativamente reduzida, porque as usinas dependem mais do fluxo do que do armazenamento para geração de energia. A redução da produção de energia hidrelétrica pode exigir que o governo se converta em alternativas mais caras de petróleo e se comprometa com medidas rigorosas de conservação de energia para atender às suas necessidades de energia.
The demand for economic goods is increasing as a result of population growth and economic development. The supply may also increase
because of improved production efficiency, technology, or the construction of reservoirs. When both supply and demand increase,
the critical factor is their relative rate of change. Socioeconomic drought is promoted when the demand for water for economic activities far exceeds the supply.
A demanda por bens econômicos está aumentando como resultado do crescimento populacional e do desenvolvimento econômico. A oferta também pode aumentar devido à maior eficiência da produção, tecnologia ou construção de reservatórios. Quando a oferta e a demanda aumentam, o fator crítico é a taxa de mudança relativa. A seca socioeconômica é promovida quando a demanda por água para atividades econômicas excede em muito a oferta.
Data sets required to assess socioeconomic drought are: (1) human and animal population, (2) growth rate, (3) water and fodder requirements, (4)
severity of crop failure, and (5) industry type and water requirements.
Os conjuntos de dados necessários para avaliar a seca socioeconômica são: (1) população humana e animal, (2) taxa de crescimento, (3) necessidades de água e forragem, (4) severidade do fracasso da colheita e (5) tipo de indústria e requisitos de água.
Intensity-Duration-Frequency Relations
Relações Intensidade-Duração-Frequência
The relations between intensity, duration, and frequency of droughts may be
analyzed by the conceptual model described in Table 6-6 [27].
The conceptual approach is applicable to meteorological droughts lasting at least one year,
in midlatitudinal regions where
the prevailing climate may be primarily characterized by precipitation.
As relações entre intensidade, duração e frequência de secas podem ser analisadas pelo modelo conceitual descrito na Tabela 6-6 [27]. A abordagem conceitual é aplicável a secas meteorológicas com duração de pelo menos um ano, em regiões midlatitudinais em que o clima predominante pode ser caracterizado principalmente por precipitação.
The climate types, from superarid to superhumid, are defined
in terms of mean annual precipitation Pma (mm) as shown in Table 6-6, Line 1:
Os tipos de clima, de superarido a super-úmido, são definidos em termos de precipitação média anual Pma (mm), conforme mostrado na Tabela 6-6, Linha 1:
• Superarid: Pma ≤ 100
• Hyperarid: 100 < Pma ≤ 200
• Arid: 200 < Pma ≤ 400
• Semiarid: 400 < Pma ≤ 800
• Subhumid: 800 < Pma ≤ 1600
• Humid: 1600 < Pma ≤ 3200
• Hyperhumid: 3200 < Pma ≤ 6400
• Superhumid: Pma > 6400
The (mean) annual global terrestrial precipitation is Pagt = 800 mm [27].
At the extremes of the climatic spectrum, mean annual precipitation is less than 100 mm (superarid), or greater than 6400 mm (superhumid).
The superarid example is the Atacama desert, in northern Chile, with mean annual precipitation Pma = 0.5 mm, which is hardly measurable.
The superhumid example is Cherrapunji, in Meghalaya, Esatern India, with mean annual precipitation Pma = 11,777 mm,
long considered by many as the wettest
spot on Earth. However, Mawsynran, near Cherrapunji, now boasts Pma = 11,873 mm, effectively edging out Cherrapunji of the distinction.
A precipitação média anual terrestre global (média) é de Pagt = 800 mm [27]. Nos extremos do espectro climático, a precipitação média anual é inferior a 100 mm (superaride) ou superior a 6400 mm (superhúmido). O exemplo superado é o deserto de Atacama, no norte do Chile, com precipitação média anual Pma = 0,5 mm, o que é dificilmente mensurável. O exemplo super-úmido é Cherrapunji, em Meghalaya, Esatern Índia, com precipitação média anual Pma = 11.777 mm, considerada por muitos como o ponto mais úmido da Terra. No entanto, Mawsynran, perto de Cherrapunji, agora possui Pma = 11.873 mm, efetivamente superando Cherrapunji da distinção.
Climates types may also be defined as the
ratio of mean annual precipitation Pma
to (mean) annual global terrestrial precipitation Pagt (Line 2).
The ratio Pma/Pagt = 1 depicts the middle
of the climatic spectrum.
Os tipos de climas também podem ser definidos como a razão entre a precipitação média anual Pma e a precipitação terrestre global anual média (Pagt (Linha 2)). A razão Pma / Pagt = 1 representa o meio do espectro climático.
The conceptual model is also defined in terms of the annual potential
evaporation (evapotranspiration) Eap (Line 3) and of the ratio of annual potential
evaporation to mean annual precipitation Eap/Pma (Line 4).
The ratio Eap/Pma = 2 describes
the middle of the climatic spectrum. To complement the description, the length of the
rainy season Lrs is also indicated (Line 5).
O modelo conceitual também é definido em termos da evaporação potencial anual (evapotranspiração) Eap (linha 3) e da razão da evaporação potencial anual para a precipitação média anual Eap / Pma (linha 4). A razão Eap / Pma = 2 descreve o meio do espectro climático. Para complementar a descrição, também é indicada a duração da estação chuvosa Lrs (linha 5).
• Drought Intensity
For any year for which P is the annual precipitation, drought intensity I
is defined as the ratio of the deficit (Pma - P) to the
mean (Pma). For any year, an intensity I = 0.25 is classified as moderate;
Para qualquer ano para o qual P é a precipitação anual, a intensidade da seca I é definida como a razão entre o déficit (Pma - P) e a média (Pma). Para qualquer ano, uma intensidade I = 0,25 é classificada como moderada; I = 0,5 como grave e I = 0,75 como extremo. Para durações de seca com duração de dois anos ou mais, intensidade é o somatório das intensidades anuais individuais (Linhas 6-8, Tabela 6-6). Portanto, quanto maior a duração da seca, maior a intensidade da seca. Intensidades extremas são geralmente associadas a secas de longa duração.
Experience has shown that the longer droughts generally occur around the middle of the climatic spectrum
(800 mm of mean annual precipitation).
Drought duration varies between 1 yr (or less) at the extremes of the climatic spectrum and (about) 6 yr around the middle
(Line 9) [26].
Droughts lasting more than 6 yr are uncommon; they are
more likely to be driven by anthropogenic pressures, for instance, deforestation or
overgrazing [25]. A classical example of an anthropogenically derived drought is that of the Sahel, in Northern Africa (Fig. 6-9),
where, in the past 40 years, droughts have had a tendency to persist for durations much longer than normal.
A experiência mostrou que as secas mais longas geralmente ocorrem em torno do meio do espectro climático (800 mm de precipitação média anual). A duração da seca varia entre 1 ano (ou menos) nos extremos do espectro climático e (cerca de) 6 anos ao redor do meio (Linha 9) [26]. Secas com duração superior a 6 anos são incomuns; eles são mais propensos a serem impulsionados por pressões antropogênicas, por exemplo, desmatamento ou excesso de pastagem [25]. Um exemplo clássico de uma seca antropogenicamente derivada é o do Sahel, no norte da África (Fig. 6-9), onde, nos últimos 40 anos, as secas tendem a persistir por durações muito mais longas do que o normal.
Figure 6-9 Mean annual precipitation in the Sahel, North Africa.
Figure 6-10 shows values of
standarized annual seasonal rainfall (June-October) in the Sahel for the period 1898-2004.
The standarized annual rainfall has zero mean and unit standard deviation.
Note that through the 1980s, drought in the Sahel persisted for more than 10 years.
A Figura 6-10 mostra os valores das chuvas sazonais anuais padronizadas (junho a outubro) no Sahel para o período 1898-2004. A precipitação anual padronizada tem média zero e desvio padrão unitário. Observe que, nos anos 80, a seca no Sahel persistiu por mais de 10 anos.
Figure 6-10 Standarized annual rainfall in the Sahel for the period 1898-2004.
In general, the dry periods (drought events) are followed by corresponding wet periods.
Therefore, the drought recurrence interval (i.e., the reciprocal of the
frequency) is always greater than the drought duration. Drought recurrence intervals
increase from 2 year on the extreme dry side of the climatic spectrum (superarid) to (more than) 100 years
on the extreme wet side (superhumid) (Line 10, Table 6-6).
In general, the dry periods (drought events) are followed by corresponding wet periods. Therefore, the drought recurrence interval (i.e., the reciprocal of the frequency) is always greater than the drought duration. Drought recurrence intervals increase from 2 year on the extreme dry side of the climatic spectrum (superarid) to (more than) 100 years on the extreme wet side (superhumid) (Line 10, Table 6-6).
QUESTÕES
In statistical analysis, what are the measures of central tendency? Explain.
Na análise estatística, quais são as medidas de tendência central? Explicar.
What is skewness? A distribution with a long tail on the right side has positive or negative skewness?
O que é assimetria? Uma distribuição com uma cauda longa no lado direito tem assimetria positiva ou negativa?
What are the parameters of the gamma distribution? How are the gamma and Pearson Type III distributions related?
Quais são os parâmetros da distribuição gama? Como as distribuições gama e Pearson Tipo III estão relacionadas?
What is the parameter that distinguishes the three extreme value distributions? What is the limiting value of the mean of the Gumbel variate?
Qual é o parâmetro que distingue as três distribuições de valor extremo? Qual é o valor limite da média da variável Gumbel?
What is the difference between the annual exceedance series and the annual maxima series? What is risk in the context of frequency analysis?
Qual é a diferença entre a série de excedência anual e a série máxima anual? Qual é o risco no contexto da análise de frequência?
How is an extreme value probability paper constructed? What type of probability paper is used in the log Pearson Type III method?
Como é construído um documento de probabilidade de valor extremo? Que tipo de papel de probabilidade é usado no método de log Pearson Tipo III?
What is the difference between the Weibull, Blom, and Gringorten plotting position formulas?
Qual é a diferença entre as fórmulas de posição de plotagem Weibull, Blom e Gringorten?
How is skewness variability accounted for in the log Pearson III method?
Como a variabilidade da assimetria é contabilizada no método log Pearson III?
When are high outliers considered part of historical data? When is it necessary to perform a historically weighted computation?
Quando os valores extremos são considerados parte dos dados históricos? Quando é necessário executar um cálculo historicamente ponderado?
Why are two-parameter distributions such as the Gumbel distribution appropiate for use in connection with short record lengths?
Por que distribuições de dois parâmetros, como a distribuição Gumbel, são apropriadas para uso em conexão com comprimentos curtos de registros?
Compare floods and droughts from the standpoint of frequency analysis.
Compare inundações e secas do ponto de vista da análise de frequência.
What is the mean annual precipitation in the middle of the climatic spectrum?
Qual é a precipitação média anual no meio do espectro climático?
What is the mean annual potential evaporation in the middle of the climatic spectrum?
Qual é a média da evaporação potencial anual no meio do espectro climático?
Why are the droughts in the Sahel likely to persist much longer than normal?
Por que as secas no Sahel provavelmente persistirão muito mais do que o normal?
PROBLEMAS
Develop a spread sheet to calculate the mean, standard deviation, and skew coefficient of a series of annual maximum flows.
Test your work using the data of Example 6-1 in the text.
Desenvolva uma planilha para calcular a média, o desvio padrão e o coeficiente de inclinação de uma série de fluxos máximos anuais. Teste seu trabalho usando os dados do Exemplo 6-1 no texto.
The annual maximum flows of a certain stream have been found to be normally distributed with mean 22,500 ft3/s and standard deviation 7500 ft3/s. Calculate the probability that a flow larger than 39,000 ft3/s will occur.
Verificou-se que os fluxos máximos anuais de um determinado fluxo são normalmente distribuídos com média de 22.500 pés3 / se desvio padrão de 7500 pés3 / s. Calcule a probabilidade de ocorrer um fluxo maior que 39.000 pés3 / s.
The 10-y and 25-y floods of a certain stream are 73 and 84 m3/s, respectively.
Assuming a normal distribution, calculate the 50-y and 100-y floods.
As inundações de 10 e 25 anos de um determinado fluxo são de 73 e 84 m3 / s, respectivamente. Supondo uma distribuição normal, calcule as inundações de 50 e 100 anos.
The low flows of a certain stream have been shown to follow a normal distribution.
The flows expected to be exceeded 95% and 90% of the time are 15 and 21 m3/s, respectively.
What flow can be expected to be exceeded 80% of the time?
Foi demonstrado que os baixos fluxos de um determinado fluxo seguem uma distribuição normal. Os fluxos que devem exceder 95% e 90% das vezes são de 15 e 21 m3 / s, respectivamente. Qual fluxo pode ser excedido em 80% das vezes?
A temporary cofferdam for a 5-y dam construction period is designed to pass the 25-y flood.
What is the risk that the cofferdam may fail before the end of the construction period?
What design return period is needed to reduce the risk to less than 10%?
Uma ensecadeira temporária para um período de construção de cinco anos de barragem é projetada para passar pela inundação de 25 anos. Qual é o risco de que a enseada possa falhar antes do final do período de construção? Qual período de retorno do projeto é necessário para reduzir o risco para menos de 10%?
Use the Weibull formula (Eq. 6-26) to calculate the plotting positions for the following series of annual maxima, in cubic feet per second:
1305, 3250, 4735, 5210, 4210, 2120, 2830, 3585, 7205, 1930, 2520, 3250, 5105, 4830, 2020, 2530, 3825, 3500, 2970, 1215.
Use a fórmula Weibull (Eq. 6-26) para calcular as posições de plotagem para as seguintes séries de máximos anuais, em pés cúbicos por segundo: 1305, 3250, 4735, 5210, 4210, 2120, 2830, 3585, 7205, 1930, 2520, 3250, 5105, 4830, 2020, 2530, 3825, 3500, 2970, 1215.
Use the Gringorten formula to calculate the plotting positions for the following series of annual maxima,
in cubic meters per second: 160, 350, 275, 482, 530, 390, 283, 195, 408, 307, 625, 513.
Use a fórmula de Gringorten para calcular as posições de plotagem para as seguintes séries de máximos anuais, em metros cúbicos por segundo: 160, 350, 275, 482, 530, 390, 283, 195, 408, 307, 625, 513.
Modify the spread sheet of Problem 6-1 to calculate the mean, standard deviation, and skew coefficients of the logarithms of a series of annual maximum flows.
Test your work using the results of Example 6-4 in the text.
Modifique a planilha do Problema 6-1 para calcular a média, o desvio padrão e os coeficientes de inclinação dos logaritmos de uma série de fluxos máximos anuais. Teste seu trabalho usando os resultados do Exemplo 6-4 no texto.
Fit a log Pearson III curve to the data of Problem 6-6.
Plot the calculated distribution on log probability paper, along with the Weibull plotting positions calculated in Problem 6-6.
Ajuste uma curva de log Pearson III aos dados do Problema 6-6. Plote a distribuição calculada no papel de probabilidade de log, juntamente com as posições de plotagem Weibull calculadas no Problema 6-6.
Fit a Gumbel curve to the data of Problem 6-6.
Plot the calculated distribution on Gumbel paper, along with the Weibull plotting positions calculated in Problem 6-6.
Ajuste uma curva de Gumbel aos dados do Problema 6-6. Plote a distribuição calculada no papel Gumbel, juntamente com as posições de plotagem Weibull calculadas no Problema 6-6.
Develop a spread sheet to read a series of annual maxima, sort the data in descending order,
and compute the corresponding plotting positions (percent chance and retum period) by the Weibull and Gringorten formulas.
Desenvolva uma planilha para ler uma série de máximos anuais, classifique os dados em ordem decrescente e calcule as posições de plotagem correspondentes (porcentagem de chance e período de retorno) pelas fórmulas Weibull e Gringorten.
Given the following statistics of annual maxima for stream X: number of years n = 35;
Dadas as seguintes estatísticas de máximos anuais para o fluxo X: número de anos n = 35; média = 3545 ft3 / s; desvio padrão = 1870 ft3 / s. Calcule a inundação de 100 anos pelo método Gumbel.
Given the following statistics of annual maxima for river Y: number of years n = 45; Dadas as seguintes estatísticas de máximos anuais para o rio Y: número de anos n = 45; média = 2700 m3 / s; desvio padrão 1300 m3 / s; média dos logaritmos = 3,1; desvio padrão dos logaritmos = 0,4; coeficiente de inclinação dos logaritmos = - 0,35. Calcule a inundação de 100 anos usando as seguintes distribuições de probabilidade: (a) normal, (b) Gumbel e (c) log Pearson III.
A station near Denver, Colorado, has flood records for 48 y, with station skew Uma estação perto de Denver, Colorado, possui registros de inundação por 48 anos, com inclinação da estação Csy = - 0,18. Calcular um coeficiente de inclinação ponderado.
Determine if the value Q = 13,800 ft3/s is a high outlier in a 45-y flood series with the following statistics: mean of the logarithms = 3.572; standard deviation of the logarithms = 0.215.
Determine se o valor Q = 13.800 pés3 / s é um valor externo alto em uma série de inundações de 45 anos com as seguintes estatísticas: média dos logaritmos = 3,572; desvio padrão dos logaritmos = 0,215.
Using the Lettenmaier and Burges modification to the Gumbel method, fit a Gumbel curve to the data of Example 6-6 in the text. Plot the calculated distribution on Gumbel paper, along with plotting positions calculated by the Gringorten formula.
Usando a modificação de Lettenmaier e Burges no método Gumbel, ajuste uma curva de Gumbel aos dados do Exemplo 6-6 no texto. Plote a distribuição calculada no papel Gumbel, juntamente com as posições de plotagem calculadas pela fórmula de Gringorten.
REFERÊNCIAS
Benson, M. A. (1962). "Plotting Positions and Economics of Engineering Planning," Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 88, November, pp. 57-71.
Benson, M. A. (1968). "Uniform Flood Frequency Estimating Methods for Federal Agencies," Water Resources Research, Vol. 4, pp. 891-908.
Blom, G. (1958). Statistical Estimates and Transformed Beta Variables. New York: John Wiley.
Casella, G., and R. L. Berger. (1990). Statistical Inference, Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, California.
Chow, V. T. (1951). "A General Formula for Hydrologic Frequency Analysis," Transactions, American Geophysical Union, Vol. 32, pp. 231-237.
Chow, V. T. (1964). Handbook of Applied Hydrology. New York: McGraw-Hill.
Cunnane, C. (1978). "Unbiased Plotting Positions-A Review," Journal of Hydrology, Vol. 37, pp. 205-222.
Fisher, R. A., and L. H. C. Tippett. (1928). "Limiting Forms of a Frequency Distribution of the Smallest and Largest Member of a Sample,"
Proceedings, Cambridge Philosophical Society, Vol. 24, pp.180-190.
Foster, H. A. (1924). "Theoretical Frequency Curves and their Application to Engineering Problems," Transactions, ASCE, Vol. 87, pp. 142-173.
Frechet, M. (1927). "Sur la loi de Probabilite de l'ecart Maximum," (On the Probability Law of Maximum Error), Annals of the Polish Mathematical Society, (Cracow), Vol. 6, pp. 93-116.
Fuller, W. E. (1914). "Flood Flows," Transactions, ASCE, Vol. 77, pp. 564-617.
Gringorten, 1.1. (1963). "A Plotting Rule for Extreme Probability Paper," Journal of Geophysical Research, Vol. 68, No.3, February, pp. 813-814.
Gumbel, E. J. (1941). "Probability Interpretation of the Observed Return Periods of Floods," Transactions, American Geophysical Union, Vol. 21, pp. 836-850.
Gumbel, E. J. (1942). "Statistical Control Curves for Flood Discharges," Transactions, American Geophysical Union, Vol. 23, pp. 489-500.
K Gumbel , E. J. (1943). "On the Plotting of Flood Discharges," Transactions, American Geophysical Union, Vol. 24, pp. 699-719.
Gumbel, E. J. (1958). Statistics of Extremes. Irvington, N.Y.: Columbia University Press.
Hazen, A. (1914). Discussion on "Flood Flows," by W. E. Fuller, Transactions, ASCE, Vol. 77, p. 628.
Havens, A. V. (1954). "Drought and Agriculture," Weatherwise, Vol. 7, pp. 51-55.
Horton, R. E. (1913). "Frequency of Recurrence of Hudson River Floods," U.S. Weather Bureau Bulletin Z, pp. 109-112.
Jenkinson, A. F. (1955). "The Frequency Distributions of the Annual Maximum (or Minimum) Values of Meteorological Elements,"
Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, Vol. 87, p. 158.
Kite, G. W. (1977). Frequency and Risk Analyses in Hydrology. Fort Collins, Colorado: Water Resources Publications.
Lettenmaier, D. P., and S. J. Burges. (1982). "Gumbel's Extreme Value Distribution: A New Look," Journal of the Hydraulics Division,
ASCE, Vol. 108, No. HY4, April, pp. 503-514.
Natural Environment Research Council. (1975). Flood Studies Report. Vol. 1 (of 5 volumes), London, England.
Pearson, K. (1930). "Tables for Statisticians and Biometricians," Part I, 3d. Ed. ,
The Biometric Laboratory, University College. London: Cambridge University Press.
Ponce, V. M., A. K. Lohani, and P. T. Huston. (1997). "Surface albedo and water resources: Hydroclimatological impact of human
activities." Journal of Hydrologic Engineering, ASCE, Vol. 2, No. 4, October, 197-203.
Ponce, V. M., R. P. Pandey, and S. Ercan. (1999). "A conceptual model of drought characterization across the climatic spectrum." Revista de
Estudos Ambientais, Vol. 1, No. 3, September-December, 68-76.
Ponce, V. M., R. P. Pandey, and S. Ercan. (2000). "Characterization of drought across climatic spectrum." Journal of Hydrologic Engineering, ASCE, Vol. 5, No. 2, April, 222-224.
Riggs, H. C. (1972). "Low-Flow Investigations," Techniques of Water Resources Investigations of the United States Geological Survey, Book 4, Chapter B1.
Spiegel, M. Mathematical Handbook of Formulas and Tables. Schaum's Outline Series in Mathematics. New York: McGraw-Hill.
Troxell, H. C. (1937). "Water Resources of Southern California with Special Reference to the Drought of 1944-51," U.S. Geological Survey Water Supply Paper No. 1366.
U.S. Interagency Advisory Committee on Water Data, Hydrology Subcommittee. (1983). "Guidelines for Determining Flood Flow Frequency," Bulletin No. 17B, issued 1981, revised 1983, Reston, Virginia.
Suggested Readings
Gumbel, E. J. (1958). Statistics of Extremes. Irvington, N.Y.: Columbia University Press.
Natural Environment Research Council. (1975). Flood Studies Report, in 5 volumes, London, England.
Riggs, H. C. (1972). "Low-Flow Investigations," Techniques of Water Resources Investigations of the United States Geological Survey, Book 4, Chapter B1.
U.S. Interagency Advisory Committee on Water Data, Hydrology Subcommittee. (1983). "Guidelines for Determining Flood Flow Frequency," Bulletin No. 17B, issued 1981, revised 1983, Reston, Virginia.
∞
Γ(γ) = ∫ x γ - 1 e-x dx
0
(6-13)
x
∫
[( a + x ) / ( b0 + b1x + b2x2 )] dx
-∞
f (x) = e
(6-14)
β1( β2 + 3)2
κ = ________________________________
4 (4β2 - 3β1) (2β2 - 3β1 - 6)
(6-15)
(x - xo)γ - 1 e - (x - xo) /β
f (x) = _________________________
βγ Γ(γ)
(6-16)
1
f (x) = (____) e- (x - xo) /β
β
(6-17)
F ( x ) = e - [1 - k ( x - u ) / α]1/k
(6-18)
F ( x ) = e -e -y
(6-19)
F ( x ) = e -y 1/k
(6-20)
1
P(Q) = ____
T
(6-21)
1
P(Q̄) = 1 - P(Q) = 1 - ____
T
(6-22)
1 n
P(Q̄) = ( 1 - _____ )
T
(6-23)
1 n
R = 1 - P(Q̄) = 1 - ( 1 - _____ )
T
(6-24)
x̄ m
___ = _______
N n + 1
(6-25)
1 m
___ = P = _______
T n + 1
(6-26)
1 m - a
___ = P = _____________
T n + 1 - 2a
(6-27)
Table 6-2 Computation of Plotting Positions: Example 6-3.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Year
Annual Flood
(m3/s)Ranked Values
(m3/s)Rank
Probability
(percent)Return
Period
(y)
1972
2520
3320
1
5.88
17.00
1973
1850
3170
2
11.76
8.50
1974
750
2520
3
17.65
5.67
1975
1100
2160
4
23.53
4.25
1976
1380
1950
5
29.41
3.40
1977
1910
1910
6
35.29
2.83
1978
3170
1850
7
41.18
2.43
1979
1200
1730
8
47.06
2.13
1980
820
1480
9
52.94
1.89
1981
690
1380
10
58.82
1.70
1982
1240
1240
11
64.71
1.55
1983
1730
1200
12
70.59
1.42
1984
1950
1100
13
76.47
1.31
1985
2160
820
14
82.35
1.21
1986
3320
750
15
88.24
1.13
1987
1480
690
16
94.12
1.06
x = x̄ + Δx
(6-28)
x = x̄ + K s
(6-29)
x
___ = 1 + K Cv
x̄
(6-30)
yi = log xi
(6-31)
log Qj = ȳ + Kj sy
(6-32)
Table 6-3 Log Pearson III Method: Example 6-4.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Return period T
(y)Probability P
(percent)Frequency factor K
(for Csy = - 0.116)Q
(m3/s)
1.05
95
-1.677
2.840
692
1.11
90
-1.293
2.919
830
1.25
80
-0.835
3.014
1033
2
50
0.019
3.191
1552
5
20
0.847
3.362
2301
10
10
1.268
3.449
2812
25
4
1.710
3.541
3475
50
2
1.991
3.599
3972
100
1
2.240
3.651
4477
200
0.5
2.467
3.698
4989
(MSE)sr Csy + (MSE)sy Csr
Csw = ________________________________
(MSE)sr + (MSE)sy
(6-33)
(MSE)sy = 10 A - B log (n/10)
(6-34)
A = - 0.33 + 0.08G, for G < 0.9
(6-34a)
A = 0.52 + 0.30G, for G ≥ 0.9
(6-34b)
B = 0.94 - 0.26G, for G < 1.5
(6-34c)
B = 0.55, for G ≥ 1.5
(6-34d)
yH = ȳ + Kn sy
(6-35)
yL = ȳ - Kn sy
(6-36)
Table 6-4 Types of analyses used in flood frequency studies [31].
Description
Record length n (y)
10 - 24
25 - 49
≥ 50
Statistical analysis of flood frequency
✓
✓
✓
Comparisons with similar catchments
✓
✓
-
Flood estimates from precipitation
✓
-
-
F(x) = e -e -y
(6-19)
G(x ) = 1 - F(x )
(6-37)
1
_____ = 1 - e -e -y
T
(6-38)
T
y = - ln ln _______
T - 1
(6-39)
x = x̄ + K s
(6-29)
y = ȳn + K σn
(6-40)
y - ȳn
x = x̄ + ___________ s
σn
(6-41)
ln ln [T / (T - 1)] + ȳn
x = x̄ - __________________________ s
σn
(6-42)
Table 6-5 Gumbel method: Example 6-6.
(1)
(2)
(3)
(4)
Return period T
(y)Probability P
(percent)Gumbel variate
yFlood discharge Q
(m3/s)
1.05
95
- 1.113
449
1.11
90
- 0.838
661
1.25
80
- 0.476
940
2
50
0.367
1590
5
20
1.500
2462
10
10
2.250
3040
25
4
3.199
3772
50
2
3.902
4314
100
1
4.600
4851
200
0.5
5.296
5388
1 m - 0.44
____ = P = _______________
T n + 0.12
(6-43)
x = x̄ + (0.78 y - 0.45) s
(6-44)
T
x = x̄ + (0.78 ln ln _______ + 0.45) s
T - 1
(6-45)
Table 6-6 Conceptual model of intensity-duration-frequency of droughts [27].
Description
Superarid ←
Hyperarid →
Arid
→Semiarid →
Subhumid →
Humid
→Hyperhumid →
Superhumid →
1
Mean annual precipitation
Pma (mm)100
200
400
800
1600
3200
6400
2
Pma / Pagt
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
3
Annual potential evaporation
Eap (mm)3000
2400
2000
1600
1200
1200
1200
4
Eap / Pma
30
12
5
2
0.75
0.375
0.1875
5
Length of rainy season
Lrs (mo)1
2
3
4
6
9
12
6
Moderate
0.25
0.5
1
1.5
1
0.5
0.25
7
Severe
0.5
1
2
3
2
1
0.5
8
Extreme
0.75
1.5
3
4.5
3
1.5
0.75
9
• Drought duration (yr)
1
2
4
6
4
2
1
10
• Drought frequency-1 (yr)
2
3
6
12
25
50
+100
http://ponce.sdsu.edu/hidrologia_engenharia/index.html
200723