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CAPÍTULO 9: PROPAGAÇÃO DE CHEIA EM CANAIS |
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"When we started our research at Cornell University in 1964, we intended to show that the St. Venant
equations without simplification were required for the overland flow problem, although we came to quite different conclusions." "Quando começamos nossa pesquisa na Universidade de Cornell em 1964, pretendemos mostrar que as equações de St. Venant
sem simplificação foram necessárias para o problema do fluxo terrestre,
embora tenhamos chegado a conclusões bem diferentes ".
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This chapter is divided into five sections. Section 9.1 describes the Muskingum method, the most widely used method of hydrologic stream channel routing. Sections 9.2 and 9.3 discuss simplified hydraulic routing techniques: kinematic and diffusion waves, respectively. Section 9.4 describes the Muskingum-Cunge method. Section 9.5 introduces the subject of dynamic wave routing, the most complete hydraulic routing technique. Este capítulo está dividido em cinco seções. A Seção 9.1 descreve o método Muskingum, o método mais amplamente usado de roteamento de canais de correntes hidrológicas. As seções 9.2 e 9.3 discutem técnicas simplificadas de roteamento hidráulico: ondas cinemáticas e de difusão, respectivamente. A Seção 9.4 descreve o método Muskingum-Cunge. A Seção 9.5 apresenta o assunto do roteamento dinâmico de ondas, a mais completa técnica de roteamento hidráulico. |
9.1 MÉTODO MUSKINGUM
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Stream Channel Routing
Roteamento de canal de fluxo
Stream channel routing uses mathematical relations to calculate outflow from a stream channel once inflow, lateral contributions, and channel characteristics are known.
O roteamento de canal de fluxo usa relações matemáticas para calcular a saída de um canal de fluxo assim que a entrada, as contribuições laterais e as características do canal são conhecidas.
Stream channel routing usually implies open channel flow conditions, although there are exceptions, such as storm sewer flow, for which mixed open channel-closed conduit flow conditions may prevail. In this chapter, stream channel routing refers to unsteady flow calculations in streams and rivers. Channel reach refers to a specific length of stream channel possessing certain translation and storage properties. The hydrograph at the upstream end of the reach is the inflow hydrograph; the hydrograph at the downstream end is the outflow hydrograph. Lateral contributions consist of point tributary inflows and/or distributed inflows; e.g., interflow and groundwater flow.
O roteamento de canal de fluxo geralmente implica condições de fluxo de canal aberto, embora existam exceções, como o fluxo de esgoto pluvial, para o qual possam prevalecer condições de fluxo misto de canal aberto e canal fechado. Neste capítulo, o roteamento de canal de fluxo se refere a cálculos de fluxo instáveis em córregos e rios. O alcance do canal refere-se a um comprimento específico do canal de fluxo que possui certas propriedades de conversão e armazenamento. O hidrograma na extremidade a montante do alcance é o hidrograma de entrada; o hidrograma na extremidade a jusante é o hidrograma de saída. As contribuições laterais consistem em entradas tributárias pontuais e / ou entradas distribuídas; por exemplo, interfluxo e fluxo de águas subterrâneas.
The terms stream channel routing and flood routing are often used interchangeably. This is attributed to the fact that most stream channel routing applications are in flood flow analysis, flood control design, or flood forecasting (Fig. 9-1).
Os termos roteamento de canal de fluxo e roteamento de inundação são frequentemente usados %G​​%@de forma intercambiável. Isso é atribuído ao fato de que a maioria das aplicações de roteamento de canal de fluxo é na análise de fluxo de inundação, projeto de controle de inundação ou previsão de inundação (Fig. 9-1).
Figure 9-1 Flood stage in a tropical river. |
Two general approaches to stream channel routing are recognized: (1) hydrologic and (2) hydraulic. As in the case of reservoir routing (Chapter 8), hydrologic stream channel routing is based on the storage concept. Conversely, hydraulic channel routing is based on the principles of mass and momentum conservation. Hydraulic routing techniques are of three types: (1) kinematic wave, (2) diffusion wave, and (3) dynamic wave. The dynamic wave is the most complete model of unsteady open channel flow. Kinematic and diffusion waves are convenient and practical approximations to the dynamic wave.
São reconhecidas duas abordagens gerais para o roteamento de canais de corrente: (1) hidrológico e (2) hidráulico. Como no caso do roteamento de reservatório (Capítulo 8), o roteamento de canal de corrente hidrológica é baseado no conceito de armazenamento. Por outro lado, o roteamento de canais hidráulicos é baseado nos princípios de conservação de massa e momento. As técnicas de roteamento hidráulico são de três tipos: (1) onda cinemática, (2) onda de difusão e (3) onda dinâmica. A onda dinâmica é o modelo mais completo de fluxo de canal aberto instável. As ondas cinemáticas e de difusão são aproximações práticas e convenientes da onda dinâmica.
An alternate approach to hydrologic and hydraulic routing has emerged in recent years. This approach is similar in nature to the hydrologic routing methods yet contains sufficient physical information to compare favorably with the more complex hydraulic routing techniques. This hybrid approach is the basis of the Muskingum-Cunge method of flood routing.
Uma abordagem alternativa ao roteamento hidrológico e hidráulico surgiu nos últimos anos. Essa abordagem é de natureza semelhante aos métodos de roteamento hidrológico, mas contém informações físicas suficientes para comparar favoravelmente com as técnicas de roteamento hidráulico mais complexas. Essa abordagem híbrida é a base do método Muskingum-Cunge de roteamento de inundações.
At the outset of the study of stream channel routing, it is necessary to introduce a few basic modeling concepts. A typical hydrologic model consists of: (1) input, (2) system, and (3) output (Fig. 9-2). In surface water hydrology, the system is usually a catchment, a reservoir, or a stream channel. In the case of a catchment, the input is a storm hyetograph. For reservoirs and stream channels, the input is an inflow hydrograph. For all three cases, catchments, reservoirs, and channels, the output is an outflow hydrograph.
No início do estudo do roteamento de canal de fluxo, é necessário introduzir alguns conceitos básicos de modelagem. Um modelo hidrológico típico consiste em: (1) entrada, (2) sistema e (3) saída (Fig. 9-2). Na hidrologia das águas superficiais, o sistema geralmente é uma bacia hidrográfica, um reservatório ou um canal de corrente. No caso de uma bacia hidrográfica, a entrada é um hetógrafo de tempestade. Para reservatórios e canais de corrente, a entrada é um hidrograma de entrada. Nos três casos, bacias hidrográficas, reservatórios e canais, a saída é um hidrograma de vazão.
Figure 9-2 Input, system, and output in a typical hydrologic model. |
In general, modeling problems are classified into three types: (1) prediction, (2) calibration, and (3) inversion. In the prediction problem, input and system are known and described by properties or parameters, and the task is to calculate the output based on the knowledge of system and input. For instance, with known inflow hydrograph, lateral contributions, and channel reach parameters, the outflow hydrograph from a stream channel can be computed using routing techniques (Example 9-1).
Em geral, os problemas de modelagem são classificados em três tipos: (1) previsão, (2) calibração e (3) inversão. No problema de previsão, entrada e sistema são conhecidos e descritos por propriedades ou parâmetros, e a tarefa é calcular a saída com base no conhecimento do sistema e da entrada. Por exemplo, com o hidrógrafo de entrada conhecido, as contribuições laterais e os parâmetros de alcance do canal, o hidrograma de saída de um canal de fluxo pode ser calculado usando técnicas de roteamento (Exemplo 9-1).
In the calibration problem, input and output are known, and the objective is to determine the properties or parameters describing the system. In the case of a stream channel, with known upstream inflow, lateral contributions, and outflow hydrograph, the routing parameters are calculated by a calibration procedure (Example 9-2).
No problema de calibração, entrada e saída são conhecidas, e o objetivo é determinar as propriedades ou parâmetros que descrevem o sistema. No caso de um canal de corrente, com fluxo a montante conhecido, contribuições laterais e hidrograma de vazão, os parâmetros de roteamento são calculados por um procedimento de calibração (Exemplo 9-2).
The inversion problem is the third type of modeling problem. In this case, system and output are known, and the task is to calculate the inflow or inflows. This is accomplished by reversing the routing process in a technique known as inverse channel routing. For instance, with known upstream inflow, outflow, and channel reach parameters, the lateral contributions can be calculated by inverse routing.
O problema de inversão é o terceiro tipo de problema de modelagem. Nesse caso, o sistema e a saída são conhecidos, e a tarefa é calcular as entradas ou entradas. Isso é feito revertendo o processo de roteamento em uma técnica conhecida como roteamento de canal inverso. Por exemplo, com parâmetros conhecidos de entrada, saída e alcance de canal a montante, as contribuições laterais podem ser calculadas por roteamento inverso.
The prediction problem is the more common type of modeling application; however, a calibration is usually required in advance of the prediction. Model verification is the process of testing the model with actual data to establish its predictive accuracy. To calibrate and verify a model, it is usually necessary to assemble two different data sets. The first set is used in model calibration and the second set is used in model verification. A close agreement between calculated and measured data is an indication that the model has been verified. A detailed discussion of these subjects is given in Chapter 13.
O problema de previsão é o tipo mais comum de aplicativo de modelagem; no entanto, geralmente é necessária uma calibração antes da previsão. A verificação do modelo é o processo de testar o modelo com dados reais para estabelecer sua precisão preditiva. Para calibrar e verificar um modelo, geralmente é necessário montar dois conjuntos de dados diferentes. O primeiro conjunto é usado na calibração do modelo e o segundo conjunto é usado na verificação do modelo. Um acordo próximo entre os dados calculados e medidos é uma indicação de que o modelo foi verificado. Uma discussão detalhada desses assuntos é apresentada no capítulo 13.
Muskingum Method Método Muskingum
The Muskingum method of flood routing was developed in the 1930s in connection with the design of flood protection schemes in the Muskingum River Basin, Ohio (Fig. 9-3) [11]. It is the most widely used method of hydrologic stream channel routing, with numerous applications in the United States and throughout the world.
O método Muskingum de roteamento de inundações foi desenvolvido na década de 1930 em conexão com o projeto de esquemas de proteção contra inundações na Bacia do Rio Muskingum, Ohio (Fig. 9-3) [11]. É o método mais usado de roteamento de canais de corrente hidrológica, com inúmeras aplicações nos Estados Unidos e em todo o mundo.
Figure 9-3 The Muskingum river near Marietta, Ohio. |
The Muskingum method is based on the differential equation of storage, Eq. 8-4, reproduced here:
O método Muskingum é baseado na equação diferencial de armazenamento, Eq. 8-4, reproduzido aqui:
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dS I - O = _____ dt | (8-4) |
In an ideal channel, storage is a function of inflow and outflow. This is in constrast with an ideal reservoir, in which storage is solely a function of outflow (see Eqs. 8-5 to 8-7). In the Muskingum method, storage is a linear function of inflow and outflow:
Em um canal ideal, o armazenamento é uma função da entrada e saída. Isso está em contraste com um reservatório ideal, no qual o armazenamento é apenas uma função da vazão (consulte as Eqs. 8-5 a 8-7). No método Muskingum, o armazenamento é uma função linear de entrada e saída:
| S = K [ X I + ( 1 - X ) O ] | (9-1) |
in which S = storage volume; I = inflow; O = outflow; K = a time constant or storage coefficient; and X = a dimensionless weighting factor. With inflow and outflow in cubic meters per second, and K in hours, storage volume is in (cubic meters per second)-hour. Alternatively, K could be expressed in seconds, in which case storage volume is in cubic meters.
em que S = volume de armazenamento; I = entrada; O = vazão; K = uma constante de tempo ou coeficiente de armazenamento; e X = um fator de ponderação adimensional. Com entrada e saída em metros cúbicos por segundo e K em horas, o volume de armazenamento fica em (metros cúbicos por segundo)-hora. Como alternativa, K pode ser expresso em segundos, caso em que o volume de armazenamento é em metros cúbicos.
Equation 9-1 was developed in 1938 and has been widely used since then [11].
It is esentially a generalization of the linear reservoir concept (Eq. 8-7).
In fact, for X = 0, Eq. 9-1 reduces to Eq. 8-7.
In other words, linear reservoir routing is a special case of Muskingum channel routing for which
A equação 9-1 foi desenvolvida em 1938 e tem sido amplamente utilizada desde então [11]. É essencialmente uma generalização do conceito de reservatório linear (Eq. 8-7). De fato, para X = 0, a Eq. 9-1 reduz para a Eq. 8-7. Em outras palavras, o roteamento linear de reservatório é um caso especial do roteamento de canal de Muskingum para o qual X = 0.
To derive the Muskingum routing equation, Eq. 8-4 is discretized on the x-t plane (Fig. 8-2), to yield Eq. 8-13, repeated here:
Para derivar a equação de roteamento de Muskingum, Eq. 8-4 é discretizado no plano x-t (Fig. 8-2), para produzir a Eq. 8-13, repetido aqui:
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I1 + I2 O1 + O2 S2 - S1 __________ - ___________ = ___________ 2 2 Δt | (8-13) |
Equation 9-1 is expressed at time levels 1 and 2:
A equação 9-1 é expressa nos níveis de tempo 1 e 2:
| S1 = K [ X I1 + ( 1 - X ) O1 ] | (9-2) |
| S2 = K [ X I2 + ( 1 - X ) O2 ] | (9-3) |
Substituting Eqs. 9-2 to 9-3 into Eq. 8-13 and solving for O2 yields Eq. 8-15, repeated here:
Substituindo Eqs. 9-2 a 9-3 na Eq. 8-13 e a solução para O2 produz a Eq. 8-15, repetido aqui:
| O2 = C0 I2 + C1 I1 + C2 O1 | (8-15) |
in which C0, C1 and C2 are routing coefficients defined in terms of Δt, K, and X as follows:
em que C0, C1 e C2 são coeficientes de roteamento definidos em termos de ~t, K e X da seguinte maneira:
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( Δt / K ) - 2X C0 = _______________________ 2(1 - X) + ( Δt / K ) | (9-4) |
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( Δt / K ) + 2X C1 = _______________________ 2(1 - X) + ( Δt / K ) | (9-5) |
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2(1 - X) - ( Δt / K ) C2 = _______________________ 2(1 - X) + ( Δt / K ) | (9-6) |
Since C0 + C1 + C2 = 1, the routing coefficients may be interpreted as weighting coefficients.
For
Como C0 + C1 + C2 = 1, os coeficientes de roteamento podem ser interpretados como coeficientes de ponderação. Para X = 0, Eqs. 9-4, 9-5 e 9-6 são reduzidos às Eqs. 8-16, 8-17 e 8-18, respectivamente.
Given an inflow hydrograph, an initial flow condition, a chosen time interval Δt, and routing parameters X and K, the routing coefficients can be calculated with Eqs. 9-4 to 9-6, and the outflow hydrograph with Eq. 8-15. The routing parameters K and K are related to flow and channel characteristics, K being interpreted as the travel time of the flood wave from upstream end to downstream end of the channel reach. Therefore, K accounts for the translation (or concentration) portion of the routing (Fig. 9-3).
Dado um hidrograma de entrada, uma condição de fluxo inicial, um intervalo de tempo escolhido ~t e parâmetros de roteamento X e K, os coeficientes de roteamento podem ser calculados com as Eqs. 9-4 a 9-6, e o hidrograma de vazão com a Eq. 8-15. Os parâmetros de roteamento K e K estão relacionados às características de fluxo e canal, sendo K interpretado como o tempo de viagem da onda de inundação da extremidade a montante até a extremidade a jusante do alcance do canal. Portanto, K é responsável pela parte da conversão (ou concentração) do roteiro (Fig. 9-3).
The parameter X accounts for the storage portion of the routing. For a given flood event, there is a value of X for which the storage in the calculated outflow hydrograph matches that of the measured outflow hydrograph. The effect of storage is to reduce the peak flow and spread the hydrograph in time (Fig. 9-4). Therefore, it is often used interchangeably with the terms diffusion and peak attenuation.
O parâmetro X é responsável pela parte de armazenamento do roteamento. Para um dado evento de inundação, existe um valor de X para o qual o armazenamento no hidrograma de vazão calculado corresponde ao do hidrógrafo de vazão medido. O efeito do armazenamento é reduzir o pico de fluxo e espalhar o hidrograma com o tempo (Fig. 9-4). Portanto, é frequentemente usado de forma intercambiável com os termos difusão e atenuação de pico.
Figure 9-4 Translation and storage processes in stream channel routing. |
The routing parameter K is a function of channel reach length and flood wave speed; conversely, the parameter X is a function of the flow and channel characteristics that cause runoff diffusion. In the Muskingum method, X is interpreted as a weighting factor and restricted in the range 0.0 ≤ X ≤ 0.5. Values of X greater than 0.5 produce hydrograph amplification (i.e., negative diffusion), which does not correspond with reality (under the Froude numbers applicable to flood flows). With K = Δt and X = 0.5, flow conditions are such that the outflow hydrograph retains the same shape as the inflow hydrograph, but it is translated downstream a time equal to K. For X = 0, Muskingum routing reduces to linear reservoir routing (Section 8.2).
O parâmetro de roteamento K é uma função do comprimento de alcance do canal e velocidade da onda de inundação; por outro lado, o parâmetro X é uma função das características de fluxo e canal que causam a difusão do escoamento. No método Muskingum, X é interpretado como um fator de ponderação e restrito na faixa de 0,0 ~ X ~ 0,5. Valores de X maiores que 0,5 produzem amplificação por hidrografia (ou seja, difusão negativa), que não corresponde à realidade (sob os números de Froude aplicáveis %G​​%@aos fluxos de inundação). Com K = ~t e X = 0,5, as condições de fluxo são tais que o hidrograma de vazão mantém a mesma forma que o hidrograma de entrada, mas é traduzido a jusante um tempo igual a K. Para X = 0, o roteamento de Muskingum reduz o roteamento linear de reservatório ( Seção 8.2).
In the Muskingum method, the parameters K and X are determined by calibration using streamflow records. Simultaneous inflow-outflow discharge measurements for a given channel reach are coupled with a trial-and-error procedure, leading to the determination of K and X (see Example 9-2). The procedure is time-consuming and lacks predictive capability. Values of K and X determined in this way are valid only for the given reach and flood event used in the calibration. Extrapolation to other reaches or to other flood events (of different magnitude) within the same reach is usually unwarranted.
No método Muskingum, os parâmetros K e X são determinados por calibração usando registros de fluxo. As medições simultâneas de descarga de entrada e saída para um determinado alcance do canal são acopladas a um procedimento de tentativa e erro, levando à determinação de K e X (consulte o Exemplo 9-2). O procedimento é demorado e carece de capacidade preditiva. Os valores de K e X determinados desta maneira são válidos apenas para o evento de alcance e inundação fornecido na calibração. Extrapolação para outros alcances ou para outros eventos de inundação (de magnitude diferente) dentro do mesmo alcance geralmente é injustificada.
When sufficient data are available, a calibration can be performed for several flood events, each of different magnitude, to cover a wide range of flood levels. In this way, the variation of K and X as a function of flood level can be ascertained. In practice, K is more sensitive to flood level than X. A sketch of the variation of K with stage and discharge is shown in Fig. 9-5.
Quando dados suficientes estão disponíveis, uma calibração pode ser realizada para vários eventos de inundação, cada um com magnitude diferente, para cobrir uma ampla gama de níveis de inundação. Desta forma, a variação de K e X em função do nível de inundação pode ser verificada. Na prática, K é mais sensível ao nível de inundação do que X. Um esboço da variação de K com estágio e descarga é mostrado na Fig. 9-5.
Figure 9-5 Sketch of travel time as a function of discharge and stage. |
Example 9-1.
An inflow hydrograph to a channel reach is shown in Col. 2 of Table 9-1.
Assume baseflow is 352 m3/s.
Using the Muskingum method, route this hydrograph through a channel reach with K = 2 d and X = 0.1 to calculate an outflow hydrograph.
Um hidrograma de entrada para o alcance do canal é mostrado na Col. 2 da Tabela 9-1. Suponha que o fluxo base seja de 352 m3 / s. Usando o método Muskingum, direcione esse hidrograma através de um alcance de canal com K = 2 de X = 0,1 para calcular um hidrograma de vazão.
First, it is necessary to select a time interval Δt.
In this case, it is convenient to choose Δt = 1 d.
As with reservoir routing, the ratio of time-to-peak to time interval (tp/Δt) should be greater than or equal to 5.
In addition, the chosen time interval should be such that the routing coefficients remain positive.
With Δt = 1 d, K = 2 d, and X = 0.1, the routing coefficients (Eqs. 9-4 to 9-6) are: C0 = 0.1304; C1 = 0.3044; and C2 = 0.5652.
It is verified that C0 + C1 + C2 = 1.
The routing calculations are shown in Table 9-1.
Primeiro, é necessário selecionar um intervalo de tempo ~t. Nesse caso, é conveniente escolher ~t = 1 d. Como no roteamento do reservatório, a razão entre o tempo e o pico do intervalo de tempo (tp / ~t) deve ser maior ou igual a 5. Além disso, o intervalo de tempo escolhido deve ser tal que os coeficientes de roteamento permaneçam positivos. Com ~t = 1 d, K = 2 d e X = 0,1, os coeficientes de roteamento (Eqs. 9-4 a 9-6) são: C0 = 0,1304; C1 = 0,3044; e C2 = 0,5652. Verifica-se que C0 + C1 + C2 = 1. Os cálculos de roteamento são mostrados na Tabela 9-1.
Column 1 shows the time in days.
A coluna 1 mostra a hora em dias.
Column 2 shows the inflow hydrograph ordinates in cubic meters per second.
A coluna 2 mostra as ordenadas do hidrograma de entrada em metros cúbicos por segundo.
Columns 3-5 show the partial flows.
As colunas 3-5 mostram os fluxos parciais.
Following Eq. 8-15, Cols. 3-5 are summed to obtain Col. 6, the outflow hydrograph ordinates in cubic meters per second.
Após a Eq. 8-15, Cols. 3 a 5 são somados para obter a Col. 6, o hidrograma de saída ordena em metros cúbicos por segundo.
To explain the procedure briefly, the outflow at the start (day 0) is assumed to be equal to the inflow at the start: 352 m3/s. The inflow at day 1 multiplied by C0 is entered in Col. 3, day 1: 76.6 m3/s.
The inflow at day 0 multiplied by C1 is entered in Col. 4, day
1: 107.1 m3/s.
The outflow at day 0 multiplied by C2 is entered in Col. 5, day 1: 199 m3/s.
Columns 3-5 of day 1 are summed to obtain Col. 6 of day 1: 76.6 + 107.1 + 199.0 = 382.7 m3/s.
The calculations proceed in a recursive manner until all outflows in Col. 6 have been obtained.
Inflow and outflow hydrographs are plotted in Fig. 9-6.
The outflow peak is 6352.6 m3/s, which shows that the inflow peak, 6951 m3/s, has attenuated to about 91 % of its initial value.
The peak outflow occurs at day 9, 2 d after the peak inflow, which occurs at day 7.
The time elapsed between the occurrence of peak inflow and peak outflow is generally equal to K, the travel time.
Para explicar brevemente o procedimento, presume-se que a vazão no início (dia 0) seja igual à entrada no início: 352 m3 / s. A entrada no dia 1 multiplicada por C0 é inserida na Col. 3, dia 1: 76,6 m3 / s. A entrada no dia 0 multiplicada por C1 é inserida na Col. 4, dia 1: 107,1 m3 / s. A vazão no dia 0 multiplicada por C2 é inserida na Col. 5, dia 1: 199 m3 / s. As colunas 3-5 do dia 1 são somadas para obter a Col. 6 do dia 1: 76,6 + 107,1 + 199,0 = 382,7 m3 / s. Os cálculos prosseguem de maneira recursiva até que todas as saídas na Col. 6 tenham sido obtidas. Os hidrogramas de entrada e saída são plotados na Fig. 9-6. O pico de vazão é de 6352,6 m3 / s, o que mostra que o pico de entrada, 6951 m3 / s, atenuou cerca de 91% do seu valor inicial. O pico de vazão ocorre no dia 9, 2 d após o pico de entrada, que ocorre no dia 7. O tempo decorrido entre a ocorrência do pico de entrada e o pico de saída é geralmente igual a K, o tempo de viagem.
ONLINE CALCULATION.
Using ONLINE ROUTING04, the answer
is essentially the same as that of Col. 6, Table 9-1.
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Figure 9-6 Stream channel routing by Muskingum method: Example 9-1. |
Unlike reservoir routing, stream channel-routing calculations exhibit a definite (time) lag between inflow and outflow. Furthermore, in the general case (X ≠ 0), maximum outflow does not occur at the time when inflow and outflow coincide.
Diferentemente do roteamento de reservatório, os cálculos de roteamento de canal de fluxo exibem um atraso (tempo) definido entre a entrada e a saída. Além disso, no caso geral (X ~ 0), a vazão máxima não ocorre no momento em que a entrada e a saída coincidem.
Example 9-1 has illustrated the predictive stage of the Muskingum method, in which the routing parameters are known in advance of the routing. If the parameters are not known, it is first necessary to perform a calibration. The trial-and-error procedure to calibrate the routing parameters is illustrated by Example 9-2.
O Exemplo 9-1 ilustrou o estágio preditivo do método Muskingum, no qual os parâmetros de roteamento são conhecidos antes do roteamento. Se os parâmetros não forem conhecidos, é necessário primeiro executar uma calibração. O procedimento de tentativa e erro para calibrar os parâmetros de roteamento é ilustrado pelo Exemplo 9-2.
Example 9-2.
Use the outflow hydrograph calculated in the previous example together with the given
inflow hydrograph to calibrate the Muskingum method, that is, to find the routing parameters K and X.
Use o hidrograma de vazão calculado no exemplo anterior, juntamente com o hidrograma de entrada fornecido, para calibrar o método Muskingum, ou seja, para encontrar os parâmetros de roteamento K e X.
The procedure is summarized in Table 9-2.
O procedimento está resumido na Tabela 9-2.
Column 1 shows the time in days.
A coluna 1 mostra a hora em dias.
Column 2 shows the inflow hydrograph in cubic meters per second.
A coluna 2 mostra o hidrograma de entrada em metros cúbicos por segundo
Column 3 shows the outflow hydrograph in cubic meters per second.
A coluna 3 mostra o hidrograma de vazão em metros cúbicos por segundo.
Column 4 shows the channel storage in (cubic meters per second)-days.
A coluna 4 mostra o armazenamento do canal em (metros cúbicos por segundo) dias.
Channel storage at the start is assumed to be 0, and this value is entered in Col. 4, day 0.
O armazenamento do canal no início é assumido como 0 e esse valor é inserido na Col. 4, dia 0.
Channel storage is calculated by solving Eq. 8-13 for S2:
O armazenamento do canal é calculado resolvendo-se a Eq. 8-13 para S2:
Several values of X are tried, within the range 0.0 to 0.5, for example, 0.1, 0.2 and 0.3.
São tentados vários valores de X, dentro do intervalo de 0,0 a 0,5, por exemplo, 0,1, 0,2 e 0,3.
For each trial value of X, the weighted flows [ XI + ( 1 - X ) O ] are calculated, as shown in Cols. 5-7.
Para cada valor experimental de X, os fluxos ponderados [XI + (1 - X) O] são calculados, conforme mostrado em Cols. 5-7.
Each of the weighted flows is plotted against channel storage (Col. 4), as shown in Fig. 9-7.
Cada um dos fluxos ponderados é plotado contra o armazenamento de canal (Col. 4), conforme mostrado na Fig. 9-7.
The value of X for which the storage versus weighted flow data plots closest to a line is taken as the correct value of X.
In this case, Fig. 9-7 (a): X = 0.1 is chosen.
O valor de X para o qual os dados de armazenamento versus fluxo ponderado mais próximos de uma linha é considerado o valor correto de X. Nesse caso, a Fig. 9-7 (a): X = 0,1 é escolhida.
Following Eq. 9-1, the value of K is obtained from Fig. 9-7 (a) by calculating the slope of the storage vs weighted outflow curve.
Após a Eq. 9-1, o valor de K é obtido da Fig. 9-7 (a) calculando a inclinação da curva de armazenamento versus a vazão ponderada.
In this case, the value of K = [2000 (m3/s)-d]/(1000 m3/s) = 2 d.
Nesse caso, o valor de K = [2000 (m3 / s) -d] / (1000 m3 / s) = 2 d.
Thus, it is shown that K = 2 days and X = 0.1 are the Muskingum routing parameters for the given inflow and outflow hydrographs.
Assim, é mostrado que K = 2 dias e X = 0,1 são os parâmetros de roteamento de Muskingum para os hidrogramas de entrada e saída dados.
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Figure 9-7 Calibration of Muskingum routing parameters: Example 9-2. |
The estimation of routing parameters is crucial to the application of the Muskingum method. The parameters are not constant, tending to vary with flow rate. If the routing parameters can be related to flow and channel characteristics, the need for trial-and-error calibration would be eliminated. Parameter K could be related to reach length and flood wave velocity, whereas X could be related to the diffusivity characteristics of flow and channel. These propositions are the basis of the Muskingum-Cunge method (Section 9.4).
A estimativa dos parâmetros de roteamento é crucial para a aplicação do método Muskingum. Os parâmetros não são constantes, tendendo a variar com a vazão. Se os parâmetros de roteamento puderem estar relacionados às características de fluxo e canal, a necessidade de calibração por tentativa e erro será eliminada. O parâmetro K pode estar relacionado ao comprimento e velocidade da onda de inundação, enquanto X pode estar relacionado às características de difusividade do fluxo e canal. Essas proposições são a base do método Muskingum-Cunge (Seção 9.4).
9.2 ONDAS CINEMÁTICAS
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Three types of unsteady open-channel flow waves are commonly used in engineering
hydrology:
Três tipos de ondas de fluxo de canal aberto instáveis %G​​%@são comumente usados %G​​%@na hidrologia de engenharia: (1) cinemático, (2) difusão e (3) ondas dinâmicas. As ondas cinemáticas são o tipo mais simples de onda e as ondas dinâmicas são as mais complexas; ondas de difusão estão em algum lugar entre ondas cinemáticas e dinâmicas. As ondas cinemáticas são discutidas nesta seção e as ondas de difusão são discutidas na Seção 9.3. Uma introdução às ondas dinâmicas é apresentada na Seção 9.5.
Kinematic Wave Equation
Equação de Ondas Cinemáticas
The derivation of the kinematic wave equation is based on the principle of mass conservation within a control volume. This principle states that the difference between outflow and inflow within one time interval is balanced by a corresponding change in volume. In terms of finite intervals (i.e., finite differences) it is:
A derivação da equação da onda cinemática é baseada no princípio de conservação de massa dentro de um volume de controle. Este princípio afirma que a diferença entre saída e entrada dentro de um intervalo de tempo é equilibrada por uma mudança correspondente no volume. Em termos de intervalos finitos (ou seja, diferenças finitas), é:
| ( Q2 - Q1 ) Δt + ( A2 - A1 ) Δx = 0 | (9-8) |
in which Q = flow; A = flow area; Δt = time interval; and Δx = space interval.
In differential form,
em que Q = fluxo; A = área de fluxo; ~t = intervalo de tempo; e ~x = intervalo de espaço. De forma diferencial, a Eq. 9-8 pode ser escrito como:
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∂Q ∂A ____ + ____ = 0 ∂x ∂t | (9-9) |
which is the equation of conservation of mass, or equation of continuity.
que é a equação de conservação de massa ou equação de continuidade.
The equation of conservation of momentum (Eq. 4-22) contains local inertia, convective inertia, pressure gradient (due to flow depth gradient), friction (friction slope), gravity (bed slope), and a momentum source term (Section 4.2). In deriving the kinematic wave equation, a statement of uniform flow is used in lieu of conservation of momentum. Since uniform flow is strictly a balance of friction and gravity, it follows that local and convective inertia, pressure gradient, and momentum source terms are excluded from the formulation of kinematic waves. In other words, a kinematic wave is a simplified wave that does not include these terms or processes. As shown later in this section, this simplification imposes limits to the applicability of kinematic waves.
A equação de conservação do momento (Eq. 4-22) contém inércia local, inércia convectiva, gradiente de pressão (devido ao gradiente de profundidade do fluxo), fricção (declive de atrito), gravidade (declive de leito) e um termo de fonte de momento (Seção 4.2 ) Na derivação da equação das ondas cinemáticas, uma declaração de fluxo uniforme é usada no lugar da conservação do momento. Como o fluxo uniforme é estritamente um equilíbrio de atrito e gravidade, segue-se que os termos de inércia local e convectiva, gradiente de pressão e fonte de momento são excluídos da formulação de ondas cinemáticas. Em outras palavras, uma onda cinemática é uma onda simplificada que não inclui esses termos ou processos. Como mostrado mais adiante nesta seção, essa simplificação impõe limites à aplicabilidade das ondas cinemáticas.
Uniform flow in open channels is described by the Manning or Chezy formulas (Section 2.4). The Manning equation is:
O fluxo uniforme em canais abertos é descrito pelas fórmulas de Manning ou Chezy (Seção 2.4). A equação de Manning é:
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1 Q = ___ A R 2/3 Sf 1/2 n | (9-10) |
in which R is the hydraulic radius in meters, Sf is the friction slope in meters per meter, and n is the Manning friction coefficient. A pictorial on n is given by Barnes (1967).
em que R é o raio hidráulico em metros, Sf é a inclinação de atrito em metros por metro en é o coeficiente de atrito de Manning. Uma imagem em n é dada por Barnes (1967).
The Chezy equation is:
A equação de Chezy é:
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Q = C A R 1/2 Sf 1/2 | (9-11) |
in which C = Chezy coefficient. Notice that in unsteady flow, friction slope is used in Eqs. 9-10 and 9-11 in lieu of channel slope.
em que C = coeficiente de Chezy. Observe que no fluxo instável, a inclinação de atrito é usada nas Eqs. 9-10 e 9-11 em vez da inclinação do canal.
The hydraulic radius is R = A/P, in which P is the wetted perimeter. Substituting this into Eq. 9-10, leads to:
O raio hidráulico é R = A / P, no qual P é o perímetro úmido. Substituindo isso na Eq. 9-10, leva a:
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1 Sf 1/2 Q = ___ _________ A5/3 n P 2/3 | (9-12) |
Assume for the sake of simplicity that n, Sf, and P are constant. This may be the case of a wide channel in which P can be assumed to be essentially independent of A. Equation 9-12 can then be written as:
Suponha, por uma questão de simplicidade, que n, Sf e P são constantes. Pode ser o caso de um canal amplo no qual P pode ser assumido como essencialmente independente de A. A equação 9-12 pode ser escrita como:
| Q = α Aβ | (9-13) |
in which α and β are parameters of the discharge-area rating (see rating curve, Section 2.4), defined as follows:
em que ~ e ~ são parâmetros da classificação da área de descarga (ver curva de classificação, seção 2.4), definidos da seguinte forma:
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1 Sf 1/2 α = ___ _________ n P 2/3 | (9-14) |
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5 β = ___ 3 | (9-15) |
In Eq. 9-13, differentiating Q with respect to A leads to:
Na Eq. 9-13, diferenciar Q em relação a A leva a:
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dQ Q _____ = β ____ = β V dA A | (9-16) |
in which V is the mean flow velocity.
em que V é a velocidade média do fluxo.
Multiplying Eqs. 9-9 and 9-16 and applying the chain rule, the kinematic wave equation is obtained:
Multiplicando Eqs. 9-9 e 9-16 e aplicando a regra da cadeia, a equação da onda cinemática é obtida:
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∂Q dQ ∂Q _____ + (_____) ______ = 0 ∂t dA ∂x | (9-17) |
or, alternatively
ou alternativamente
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∂Q ∂Q _____ + (β V) ______ = 0 ∂t ∂x | (9-18) |
Equation 9-17 (or 9-18) describes the movement of waves which are kinematic in nature . These are referred to as kinematic waves, i.e., waves for which inertia and pressure (flow depth) gradient have been neglected [10]. Equation 9-17 is a first-order partial differential equation. Therefore, kinematic waves travel with wave celerity dQ/dA (or βV) and do not attenuate. Wave attenuation can only be described by a second-order partial differential equation.
A Equação 9-17 (ou 9-18) descreve o movimento das ondas de natureza cinemática. Estes são chamados de ondas cinemáticas, isto é, ondas para as quais a inércia e o gradiente de pressão (profundidade do fluxo) foram negligenciados [10]. A equação 9-17 é uma equação diferencial parcial de primeira ordem. Portanto, as ondas cinemáticas viajam com a celeridade das ondas dQ / dA (ou ~V) e não atenuam. A atenuação das ondas só pode ser descrita por uma equação diferencial parcial de segunda ordem.
The absence of wave attenuation can be further explained by resorting to a mathematical argument. Since dQ/dA is the celerity of the unsteady (i.e. , wavelike) Q, it can be replaced by dx/dt. Therefore, in Eq. 9-17:
A ausência de atenuação das ondas pode ser explicada ainda mais recorrendo a um argumento matemático. Como dQ / dA é a celeridade do Q instável (isto é, ondulado) Q, ele pode ser substituído por dx / dt. Portanto, na Eq. 9-17:
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∂Q dx ∂Q _____ + (_____) ______ = 0 ∂t dt ∂x | (9-19) |
which is equal to the total derivative dQ/dt. Since the right side of Eq. 9-19 is zero, it follows that Q remains constant in time for waves traveling with celerity dQ/dA.
que é igual ao derivado total dQ / dt. Desde o lado direito da Eq. 9-19 é zero, segue-se que Q permanece constante no tempo para as ondas que viajam com celeridade dQ / dA.
Discretization of Kinematic Wave Equation
Discretização da Equação de Ondas Cinemáticas
Equation 9-18 (or 9-17) is a nonlinear first-order partial differential equation describing the change of discharge Q in time and space. It is nonlinear because the wave celerity βV (or dQ/dA) varies with discharge. The nonlinearity, however, is usually mild, and therefore, Eq. 9-18 can also be solved in a linear mode by considering the wave celerity to be constant.
A equação 9-18 (ou 9-17) é uma equação diferencial parcial de primeira ordem não linear que descreve a alteração da descarga Q no tempo e no espaço. Não é linear porque a celeridade das ondas ~V (ou dQ / dA) varia com a descarga. A não linearidade, no entanto, é geralmente leve e, portanto, a Eq. 9-18 também pode ser resolvido em um modo linear, considerando a celeridade das ondas constante.
The solution of Eq. 9-18 can be obtained by analytical or numerical means. The simplest kinematic wave solution is a linear numerical solution. For this purpose, it is necessary to select a numerical scheme with which to discretize Eq. 9-18 on the x-t plane (Fig. 9-8). A review of basic concepts of numerical analysis is necessary before discussing numerical schemes.
A solução da Eq. 9-18 pode ser obtido por meios analíticos ou numéricos. A solução mais simples de ondas cinemáticas é uma solução numérica linear. Para esse fim, é necessário selecionar um esquema numérico com o qual discretizar a Eq. 9-18 no plano x-t (Fig. 9-8). Uma revisão dos conceitos básicos da análise numérica é necessária antes de discutir esquemas numéricos.
Figure 9-8 Space-time discretization of kinematic wave equation. |
Order of Accuracy of Numerical Schemes. The order of accuracy of a numerical scheme measures the ability of the scheme to reproduce (i.e., recreate) the terms of the differential equation. In general, the higher the order of accuracy of a scheme, the better it is able to reproduce the terms of the differential equation. Forward and backward finite differences have first-order accuracy, i.e., discretization errors of first order. Central differences have second-order accuracy, with discretization errors of second order.
Ordem de precisão dos esquemas numéricos. A ordem de precisão de um esquema numérico mede a capacidade do esquema de reproduzir (isto é, recriar) os termos da equação diferencial. Em geral, quanto maior a ordem de precisão de um esquema, melhor é capaz de reproduzir os termos da equação diferencial. As diferenças finitas para frente e para trás têm precisão de primeira ordem, ou seja, erros de discretização de primeira ordem. As diferenças centrais têm precisão de segunda ordem, com erros de discretização de segunda ordem.
When solving Eq. 9-18 by numerical methods, first-order schemes create numerical diffusion and numerical dispersion, while second-order schemes create only numerical dispersion. A third-order scheme creates neither numerical diffusion nor dispersion. Numerical diffusion and/or dispersion are caused by the finite grid size and are not necessarily related to the physical problem.
Ao resolver a Eq. 9-18 por métodos numéricos, os esquemas de primeira ordem criam difusão e dispersão numérica, enquanto os esquemas de segunda ordem criam apenas dispersão numérica. Um esquema de terceira ordem não cria difusão nem dispersão numérica. A difusão e / ou dispersão numérica são causadas pelo tamanho finito da grade e não estão necessariamente relacionadas ao problema físico.
Second-order-accurate Numerical Scheme. The discretization of Eq. 9-18 following a linear second-order-accurate scheme, i.e., using central differences in space and time, leads to (Fig. 9-8):
Esquema numérico preciso de segunda ordem. A discretização da Eq. 9-18, seguindo um esquema linear preciso de segunda ordem, ou seja, usando diferenças centrais no espaço e no tempo, leva a (Fig. 9-8):
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M N ______ + βV ______ = 0 Δt Δx | (9-20) |
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Q j+1n+1 + Q j n+1 Q j+1n + Q j n M = ___________________ - _________________ 2 2 | (9-20a) |
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Q j+1n + Q j+1 n+1 Q j n + Q j n+1 N = ___________________ - _________________ 2 2 | (9-20b) |
in which βV has been held constant (linear mode), leading to:
em que ~V foi mantido constante (modo linear), levando a:
| Q j+1 n+1 = C0 Q j n+1 + C1 Q j n + C2 Q j+1 n | (9-21) |
in which
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C - 1 C0 = _______ 1 + C | (9-22) |
| C1 = 1 | (9-23) |
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1 - C C2 = _______ 1 + C | (9-24) |
and C is the Courant number, defined as follows:
e C é o número do Courant, definido da seguinte forma:
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Δt C = βV _____ Δx | (9-25) |
Note that Courant number is the ratio of physical wave celerity βV to grid celerity Δx /Δt. The Courant number is a fundamental concept in the numerical solution of hyperbolic partial differential equations.
Observe que o número de Courant é a razão entre a celeridade da onda física ~V e a celeridade da grade ~x / ~t. O número de Courant é um conceito fundamental na solução numérica de equações diferenciais parciais hiperbólicas.
Example 9-3.
Use Eq. 9-21 with the routing coefficients of Eqs. 9-22 to 9-24 (linear kinematic wave numerical solution using central differences in space and time) to route the following triangular flood wave.
Consider the following three cases: (1) V = 1.2 m/s and Δx = 7200 m; (2) V = 1.2 m/s and Δx = 4800 m; and (3) V = 0.8 mls and Δx = 4800 m. Use β = 5/3, and Δt = 1 h. Use a Eq. 9-21 com os coeficientes de roteamento das Eqs. 9-22 a 9-24 (solução numérica de ondas cinemáticas lineares usando diferenças centrais no espaço e no tempo) para direcionar a seguinte onda de inundação triangular. Considere os três casos a seguir: (1) V = 1,2 m / se ~x = 7200 m; (2) V = 1,2 m / se ~x = 4800 m; e (3) V = 0,8 ml e ~x = 4800 m. Use ~ = 5/3 e ~t = 1 h.
Using Eq. 9-25: C = 1.
Using Eqs. 9-22 to 9-24: C0 = 0; C1 = 1; C2 = 0.
The routing by Eq. 9-21 shown in Table 9-3 depicts the pure translation of the hydrograph a time equal to Δt.
In other words, for βV = Δx/Δt (i.e., C = 1), the central difference scheme is of third order, and the numerical solution is exactly equal to the analytical solution.
Usando a Eq. 9-25: C = 1. Usando Eqs. 9-22 a 9-24: C0 = 0; C1 = 1; C2 = 0. O roteamento pela Eq. 9-21 mostrado na Tabela 9-3 representa a tradução pura do hidrograma um tempo igual a ~t. Em outras palavras, para ~V = ~x / ~t (isto é, C = 1), o esquema de diferença central é de terceira ordem e a solução numérica é exatamente igual à solução analítica.
Using Eq. 9-25: C = 1.5.
Using Eqs. 9-22 to 9-24: C0 = 0.2; C1 = 1.0; C2 = -0.2.
The routing by Eq. 9-21 shown in Table 9-4 depicts the translation of the hydrograph a time approximately equal to Δt, but it also shows a small amount of numerical dispersion because βV
is not equal to Δx/Δt.
The dispersion, including the notorious negative
outflows at the trailing end of the hydrograph, are caused by errors associated with the scheme's second-order accuracy.
Usando a Eq. 9-25: C = 1,5. Usando Eqs. 9-22 a 9-24: C0 = 0,2; C1 = 1,0; C2 = -0,2. O roteamento pela Eq. 9-21, mostrada na Tabela 9-4, representa a tradução do hidrograma um tempo aproximadamente igual a ~t, mas também mostra uma pequena quantidade de dispersão numérica porque ~V não é igual a ~x / ~t. A dispersão, incluindo as notórias saídas negativas no final do hidrograma, é causada por erros associados à precisão de segunda ordem do esquema.
Using Eq. 9-25, C = 1.
Therefore, the solution is the same as in the first case, exhibiting pure hydrograph translation.
Usando a Eq. 9-25, C = 1. Portanto, a solução é a mesma do primeiro caso, exibindo tradução pura em hidrografia.
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The three cases of Example 9-3 illustrate the properties of kinematic waves. The second-order-accurate scheme has no numerical diffusion. In addition, for Courant number C = 1, i.e., the wave celerity βV equal to the grid celerity Δx/Δt, the scheme has no numerical dispersion, with the hydrograph being translated downstream without change in shape. In other words, the numerical solution by Eqs. 9-21 to 9-25 is exact only for Courant number C = 1. For other values of C, the numerical solution exhibits perceptible amounts of numerical dispersion.
Os três casos do Exemplo 9-3 ilustram as propriedades das ondas cinemáticas. O esquema preciso de segunda ordem não tem difusão numérica. Além disso, para o número de Courant C = 1, isto é, a velocidade da onda ~V igual à velocidade da grade ~x / ~t, o esquema não tem dispersão numérica, com o hidrograma sendo traduzido a jusante sem alteração de forma. Em outras palavras, a solução numérica pelas Eqs. 9-21 a 9-25 é exato apenas para o número de Courant C = 1. Para outros valores de C, a solução numérica exibe quantidades perceptíveis de dispersão numérica.
First-order-accurate Numerical Scheme. The numerical solution of Eq. 9-18 can also be attempted using a first-order-accurate scheme, i.e., one featuring forward or backward finite differences. The discretization of Eq. 9-18 in a linear mode, using backward differences in both space and time yields (Fig. 9-8):
Esquema numérico preciso de primeira ordem. A solução numérica da Eq. 9-18 também pode ser tentado usando um esquema preciso de primeira ordem, isto é, um apresentando diferenças finitas para frente ou para trás. A discretização da Eq. 9-18 em um modo linear, usando diferenças inversas nos rendimentos de espaço e tempo (Fig. 9-8):
|
Q j+1n+1 - Q j+1 n Q j+1n+1 - Q j n+1 ____________________ + βV ___________________ = 0 Δt Δx | (9-26) |
from which
| Q j+1n+1 = C0 Q j n+1 + C2 Q j+1n | (9-27) |
in which
|
C C0 = _________ 1 + C | (9-28) |
|
1 C2 = _________ 1 + C | (9-29) |
and C = Courant number, defined by Eq. 9-25.
e C = número de Courant, definido pela Eq. 9-25.
Example 9-4.
Use Eq. 9-27 with the coefficients calculated by Eq. 9-28 and 9-29 to route the same inflow hydrograph as in the previous example.
Use V = 1.2 m/s; Δx = 7200 m; β = 5/3; and Δt = 1 h.
Use a Eq. 9-27 com os coeficientes calculados pela Eq. 9-28 e 9-29 para encaminhar o mesmo hidrograma de entrada que no exemplo anterior. Use V = 1,2 m / s; ~x = 7200 m; p = 5/3; e ~t = 1 h.
Using Eq. 9-25, C = 1.
Therefore, C0 = 0.5, and C2 = 0.5.
The routing using Eq. 9-27 is shown in Table 9-5.
It is observed that off-centering the derivatives by using backward differences has caused a significant amount of numerical diffusion, with peak outflow of 120.93 m3/s as compared to peak inflow of 150 m3/s.
The conclusion is that different schemes for solving Eq. 9-18 lead to different answers, depending on the time and space intervals, Courant number, order of accuracy of the scheme, and associated numerical diffusion and/or dispersion.
Usando a Eq. 9-25, C = 1. Portanto, C0 = 0,5 e C2 = 0,5. O roteamento usando a Eq. 9-27 é mostrado na Tabela 9-5. Observa-se que a descentralização dos derivados pelo uso de diferenças inversas causou uma quantidade significativa de difusão numérica, com vazão de pico de 120,93 m3 / s em comparação ao pico de entrada de 150 m3 / s. A conclusão é que diferentes esquemas para resolver a Eq. 9-18 levam a respostas diferentes, dependendo dos intervalos de tempo e espaço, número de Courant, ordem de precisão do esquema e difusão e / ou dispersão numérica associada.
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Convex Method. The convex method of stream channel routing belongs to the family of linear kinematic wave methods. Through the 1970s, it was part of the SCS TR-20 model for hydrologic simulation (Chapter 13). The routing equation for the convex method is obtained by discretizing Eq. 9-18 in a linear mode using a forward-in-time, backward-in-space finite difference scheme, to yield (Fig. 9-8):
Método convexo. O método convexo de roteamento de canal de fluxo pertence à família de métodos de ondas cinemáticas lineares. Nos anos 70, fazia parte do modelo SCS TR-20 para simulação hidrológica (capítulo 13). A equação de roteamento para o método convexo é obtida discretizando a Eq. 9-18 em um modo linear, usando um esquema de diferenças finitas para a frente no tempo e para trás no espaço, para produzir (Fig. 9-8):
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Q j+1n+1 - Q j+1n Q j+1n - Q j n __________________ + βV ________________ = 0 Δt Δx | (9-30) |
from which
| Q j+1n+1 = C1 Q j n + C2 Q j+1n | (9-31) |
in which
| C1 = C | (9-32) |
| C2 = 1 - C | (9-33) |
and C = Courant number (Eq. 9-25), restricted to C ≤ 1 for numerical stability reasons. In the convex method, C is regarded as an empirical routing coefficient. Example 9-5 illustrates the application of the convex method.
e C = número de Courant (Eq. 9-25), restrito a C ~ 1 por razões de estabilidade numérica. No método convexo, C é considerado como um coeficiente de roteamento empírico. O Exemplo 9-5 ilustra a aplicação do método convexo.
The convex method is relatively simple, but the solution is dependent on the routing parameter C. The latter could be interpreted as a Courant number and related to kinematic wave celerity and grid size, as in Eq. 9-25. However, for values of C other than 1, the amount of diffusion introduced in the numerical problem is unrelated to the true diffusion, if any, of the physical problem. Therefore, the convex method, as well as all kinematic wave methods featuring uncontrolled amounts of numerical diffusion, are regarded as a somewhat crude approach to stream channel routing.
O método convexo é relativamente simples, mas a solução depende do parâmetro de roteamento C. Este último pode ser interpretado como um número de Courant e relacionado à celeridade das ondas cinemáticas e ao tamanho da grade, como na Eq. 9-25. No entanto, para valores de C diferentes de 1, a quantidade de difusão introduzida no problema numérico não está relacionada à difusão real, se houver, do problema físico. Portanto, o método convexo, bem como todos os métodos de ondas cinemáticas que apresentam quantidades descontroladas de difusão numérica, são considerados uma abordagem um tanto grosseira para o roteamento de canais de fluxo.
Example 9-5.
Use Eq. 9-31 (the convex method) to route the same inflow hydrograph as in Example 9-3.
Assume C = 2/3.
Use a Eq. 9-31 (o método convexo) para direcionar o mesmo hidrograma de entrada que no Exemplo 9-3. Suponha que C = 2/3.
The routing coefficients are C1 = C = 2/3; and C2 = 1 - C = 1/3.
The routing is shown in Table 9-6.
The convex method leads to a significant amount of diffusion, with peak outflow of 135.06 m3/s as compared to peak inflow of 150 m3/s.
The calculated diffusion amount is a function of C, with practical values of C being restricted in the range 0.5 to 0.9.
For C = 1, the hydrograph is translated with no diffusion or dispersion, as in the first and third parts of Example 9-3.
Values of C > 1 render the calculation unstable (large negative values of discharge) and are,
therefore, not recommended.
It should be noted that the instability of the convex method for C > 1 has a parallel in the instability of the Muskingum method for X > 0.5.
Os coeficientes de roteamento são C1 = C = 2/3; e C2 = 1 - C = 1/3. O roteamento é mostrado na Tabela 9-6. O método convexo leva a uma quantidade significativa de difusão, com vazão de pico de 135,06 m3 / s em comparação com pico de entrada de 150 m3 / s. A quantidade de difusão calculada é uma função de C, com valores práticos de C sendo restritos no intervalo de 0,5 a 0,9. Para C = 1, o hidrograma é traduzido sem difusão ou dispersão, como na primeira e terceira partes do Exemplo 9-3. Os valores de C> 1 tornam o cálculo instável (grandes valores negativos de descarga) e, portanto, não são recomendados. Deve-se notar que a instabilidade do método convexo para C> 1 tem um paralelo na instabilidade do método Muskingum para X> 0,5.
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Kinematic Wave Celerity
Celeridade das Ondas Cinemáticas
The kinematic wave celerity is dQ/dA, or βV. A value of β = 5/3 was derived for the case of a hydraulically wide channel governed by Manning friction. The kinematic wave celerity is also known as the Kleitz-Seddon, or Seddon, law [8, 19]. In 1900, Seddon [19] published a paper in which he studied the nature of unsteady flow movement in rivers and concluded that the celerity of long disturbances was equal to:
A celeridade das ondas cinemáticas é dQ / dA ou ~V. Um valor de ~ = 5/3 foi derivado para o caso de um canal hidraulicamente amplo governado pelo atrito de Manning. A celeridade das ondas cinemáticas também é conhecida como lei de Kleitz-Seddon, ou Seddon, [8, 19]. Em 1900, Seddon [19] publicou um artigo no qual estudou a natureza do movimento de fluxo instável nos rios e concluiu que a celeridade de longas perturbações era igual a:
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1 dQ c = ____ _____ T dy | (9-34) |
in which dQ/dy = slope of the discharge-stage rating (Q versus y), and T = stage, or water surface elevation. The quantity c is the kinematic wave celerity. Since dA = T dy, the kinematic wave celerity is equal to dQ/dA (see Eq. 9-17) [10].
em que dQ / dy = inclinação da classificação do estágio de descarga (Q versus y) e T = estágio ou elevação da superfície da água. A quantidade c é a celeridade das ondas cinemáticas. Como dA = T dy, a celeridade das ondas cinemáticas é igual a dQ / dA (ver Eq. 9-17) [10].
From Eq. 9-34 it is concluded that the kinematic wave celerity is a function of the slope of the discharge-stage rating. This slope is likely to vary with stage; therefore, the kinematic wave celerity is not constant but varies with stage and flow level. If c = βV is a function of Q, then Eq. 9-18 is a nonlinear equation requiring an iterative solution. Nonlinear kinematic wave solutions account for the variation of kinematic wave celerity with stage and flow level. The simpler linear solutions, as in Examples 9-3 and 9-4, assume a constant value of kinematic wave celerity βV. Notice that there is a striking similarity between the linear kinematic wave solutions and the Muskingum method. This subject is further examined in Section 9.4.
Da Eq. 9-34, conclui-se que a celeridade das ondas cinemáticas é uma função da inclinação da classificação do estágio de descarga. É provável que esta inclinação varie com o estágio; portanto, a celeridade das ondas cinemáticas não é constante, mas varia com o estágio e o nível do fluxo. Se c = ~V é uma função de Q, então a Eq. 9-18 é uma equação não linear que requer uma solução iterativa. As soluções de ondas cinemáticas não lineares são responsáveis %G​​%@pela variação da celeridade das ondas cinemáticas com o estágio e o nível do fluxo. As soluções lineares mais simples, como nos Exemplos 9-3 e 9-4, assumem um valor constante da celeridade da onda cinemática ~V. Observe que há uma semelhança impressionante entre as soluções lineares de ondas cinemáticas e o método Muskingum. Este assunto é examinado em mais detalhes na Seção 9.4.
Theoretical β values other than 5/3 can be obtained for other friction formulations and cross-sectional shapes. For turbulent flow governed by Manning friction, β has an upper limit of 5/3, and it is usually greater than 1. For laminar flow in wide channels, β = 3; for mixed or transitional flow-between laminar and turbulent Manning, it is in the range 5/3 < β < 3. For flow in a hydraulically wide channel described by the Chezy formula, β = 3/2 (Section 4.2). The calculation of β as a function of frictional type and cross-sectional shape is illustrated by the following example.
Valores ~ teóricos diferentes de 5/3 podem ser obtidos para outras formulações de fricção e formas de seção transversal. Para fluxo turbulento governado pelo atrito de Manning, ~ tem um limite superior de 5/3 e geralmente é maior que 1. Para fluxo laminar em canais largos, ~ = 3; para fluxo misto ou transitório entre Manning laminar e turbulento, está na faixa de 5/3 <~ <3. Para fluxo em um canal hidraulicamente amplo descrito pela fórmula de Chezy, ~ = 3/2 (Seção 4.2). O cálculo de ~ em função do tipo de atrito e da forma da seção transversal é ilustrado pelo exemplo a seguir.
Example 9-6.
Calculate the value of β
for a triangular channel with Manning friction.
Calcule o valor de ~ para um canal triangular com atrito de Manning.
Equation 9-10 is the Manning equation.
Substituting R = A/P leads to Eq. 9-12.
Since P is a function of A, Eq. 9-12 can be written as follows:
A equação 9-10 é a equação de Manning. Substituir R = A / P leva à Eq. 9-12. Como P é uma função de A, Eq. 9-12 pode ser escrito da seguinte maneira:
in which K1 is a constant containing n and Sf .
The latter have been assumed to be independent of either A or P.
For the triangular-shaped channel of Fig. 9-9, the top width is proportional to the flow depth, say em que K1 é uma constante contendo n e Sf. Presume-se que este último seja independente de A ou P. Para o canal de forma triangular da Fig. 9-9, a largura superior é proporcional à profundidade do fluxo, digamos T = Kd, na qual T é a largura superior, d é a profundidade do fluxo e K é uma constante de proporcionalidade.
Figure 9-9 Properties of a triangular channel cross section. A área de fluxo é:
and the wetted perimeter is:
e o perímetro úmido é:
Eliminating d from Eqs. 9-36 and 9-37:
Eliminando d das Eqs. 9-36 e 9-37:
from which
in which K2 is a constant containing K.
Substituting Eq. 9-39 into Eq. 9-35 leads to:
em que K2 é uma constante contendo K. Substituindo a Eq. 9-39 na Eq. 9-35 leva a:
in which K3 is a constant containing
K1 and K2.
From Eq. 9-40:
em que K3 é uma constante contendo K1 e K2. Da Eq. 9-40:
and the value of β for a triangular channel with Manning friction is β = 4/3.
e o valor de ~ para um canal triangular com atrito de Manning é ~ = 4/3.
|
Kinematic Waves with Lateral Inflow
Ondas Cinemáticas com Afluência Lateral
Practical applications of stream channel routing often require the specification of lateral inflows. The latter could be either concentrated, as in the case of tributary inflow at a point along the channel reach, or distributed along the channel, as with groundwater exfiltration (for effluent streams) or infiltration (for influent streams). As with Eq. 9-9, a mass balance leads to:
Aplicações práticas de roteamento de canal de fluxo geralmente exigem a especificação de entradas laterais. Este último poderia estar concentrado, como no caso de afluentes tributários em um ponto ao longo do alcance do canal, ou distribuído ao longo do canal, como na exfiltração das águas subterrâneas (para fluxos de efluentes) ou infiltração (para fluxos de influentes). Como na Eq. 9-9, um balanço de massa leva a:
|
∂Q ∂A ____ + ____ = qL ∂x ∂t | (9-42) |
which, unlike Eq. 9-9, includes the source term qL, the lateral flow per unit channel length. For Q given in cubic meters per second and x in meters, qL is given in cubic meters per second per meter [L2 T -1].
ao contrário da Eq. 9-9, inclui o termo fonte qL, o fluxo lateral por unidade de comprimento de canal. Para Q dado em metros cúbicos por segundo ex em metros, qL é dado em metros cúbicos por segundo por metro [L2 T -1].
Multiplying Eq. 9-42 by ∂Q / ∂A (or βV), as with Eq. 9-17 (or Eq. 9-18), leads to:
Multiplicando a Eq. 9-42 por ~Q / ~A (ou ~V), como na Eq. 9-17 (ou Eq. 9-18), leva a:
|
∂Q ∂Q _____ + (β V) ______ = (β V) qL ∂t ∂x | (9-43) |
which is the kinematic wave equation with lateral inflow (or outflow). For qL positive, there is lateral inflow (e.g., tributary flow); for qL negative, there is lateral outflow (e.g., channel transmission losses).
que é a equação da onda cinemática com entrada ou saída lateral. Para qL positivo, há influxo lateral (por exemplo, fluxo tributário); para qL negativo, há vazão lateral (por exemplo, perdas de transmissão de canal).
Applicability of Kinematic Waves Aplicabilidade de ondas cinemáticas
The kinematic wave celerity is a fundamental streamflow property. Flood waves which approximate kinematic waves travel with the kinematic wave celerity (c = βV) and are subject to very little or no attenuation.
A celeridade das ondas cinemáticas é uma propriedade fundamental do fluxo. As ondas de inundação que se aproximam das ondas cinemáticas viajam com a celeridade das ondas cinemáticas (c = ~V) e estão sujeitas a muito pouca ou nenhuma atenuação.
In practice, flood waves are kinematic if they are of long duration (Fig. 9-10) or travel on a channel of steep slope. Criteria for the applicability of kinematic waves to overland flow [20] (Section 4.2) and stream channel flow [14] have been developed. The stream channel criterion states that in order for a wave to be kinematic, it should satisfy the following dimensionless inequality:
Na prática, as ondas de inundação são cinemáticas se forem de longa duração (Fig. 9-10) ou se deslocarem em um canal de declive acentuado. Critérios para a aplicabilidade das ondas cinemáticas ao fluxo terrestre [20] (Seção 4.2) e fluxo do canal de corrente [14] foram desenvolvidos. O critério do canal de fluxo afirma que, para que uma onda seja cinemática, ela deve satisfazer a seguinte desigualdade sem dimensão:
|
tr So Vo __________ ≥ M do | (9-44) |
in which tr is the time-of-rise of the inflow hydrograph, So is the bottom slope, Vo is the average velocity, and do is the average flow depth.
For 95% accuracy in one period of translation, a value of
em que tr é o tempo de subida do hidrograma de entrada, também é a inclinação inferior, Vo é a velocidade média e faz é a profundidade média do fluxo. Para uma precisão de 95% em um período de tradução, é indicado um valor de M = 85 [14].
Figure 9-10 Flood stage in a large tropical river. |
Example 9-7.
Use the kinematic wave criterion (Eq. 9-44) to determine whether a flood wave with the following characteristics is a kinematic wave: time-of-rise tr = 12 h;
bottom slope So = 0.001;
average velocity Use o critério de ondas cinemáticas (Eq. 9-44) para determinar se uma onda de inundação com as seguintes características é uma onda cinemática: tempo de subida tr = 12 h; inclinação inferior So = 0,001; velocidade média Vo = 2 m / s; e profundidade média do fluxo = 2 m.
For the given channel and flow characteristics, the left side of Eq. 9-44 is equal to 43.2, which is less than 85.
For values greater than 85, the wave would be kinematic-therefore, subject to negligible diffusion.
Since the value is 43.2, this wave is not kinematic and is likely to experience a significant amount of diffusion.
If this wave is routed as a kinematic wave with zero diffusion and dispersion, as in Example 9-3 (Part 1), the peak outflow would be much larger than in reality.
If this wave is routed as a kinematic wave with diffusion or dispersion, as in Examples 9-3 (Part 2) and 9-4, it is likely that the amount of numerical diffusion and/or dispersion would be different from the actual amount of physical diffusion.
It should be noted that had the bottom slope been So = 0.01, the left side of Eq. 9-44 would be 432, satisfying the kinematic wave criterion.
Therefore, it is concluded that the steeper the channel slope, the more kinematic the flow is.
Para as características de canal e fluxo fornecidas, o lado esquerdo da Eq. 9-44 é igual a 43,2, que é menor que 85. Para valores maiores que 85, a onda seria cinemática, portanto, sujeita a difusão desprezível. Como o valor é 43,2, essa onda não é cinemática e provavelmente experimentará uma quantidade significativa de difusão. Se essa onda for roteada como uma onda cinemática com difusão e dispersão zero, como no Exemplo 9-3 (Parte 1), o pico de vazão seria muito maior do que na realidade. Se essa onda for roteada como uma onda cinemática com difusão ou dispersão, como nos Exemplos 9-3 (Parte 2) e 9-4, é provável que a quantidade de difusão e / ou dispersão numérica seja diferente da quantidade real de difusão física. Deve-se notar que, se a inclinação inferior fosse So = 0,01, o lado esquerdo da Eq. 9-44 seria 432, satisfazendo o critério de ondas cinemáticas. Portanto, conclui-se que quanto mais íngreme a inclinação do canal, mais cinemático é o fluxo.
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is |
9.3 ONDAS DIFUSIVAS
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In Section 9.1, the Muskingum method was used to calculate unsteady flows in a hydrologic sense. In Section 9.2, the principle of mass conservation was coupled with a uniform flow formula to derive the kinematic wave equation. Solutions to this equation have been widely used in hydrologic practice, particularly for overland flow and other routing applications involving steep slopes or slow-rising hydrographs.
Na Seção 9.1, o método Muskingum foi usado para calcular fluxos instáveis %G​​%@no sentido hidrológico. Na Seção 9.2, o princípio de conservação de massa foi acoplado a uma fórmula de fluxo uniforme para derivar a equação da onda cinemática. As soluções para essa equação têm sido amplamente utilizadas na prática hidrológica, particularmente para fluxo terrestre e outras aplicações de roteamento que envolvem declives acentuados ou hidrogramas de crescimento lento.
The Muskingum method and linear kinematic wave solutions show striking similarities. Both methods have the same type of routing equation. The Muskingum method, however, can calculate hydrograph diffusion, whereas the kinematic wave can do so only by the introduction of numerical diffusion. The latter is dependent on the grid size and type of numerical scheme.
O método Muskingum e as soluções lineares de ondas cinemáticas mostram semelhanças impressionantes. Ambos os métodos têm o mesmo tipo de equação de roteamento. O método Muskingum, no entanto, pode calcular a difusão hidrográfica, enquanto a onda cinemática pode fazê-lo apenas com a introdução da difusão numérica. Este último depende do tamanho da grade e do tipo de esquema numérico.
Kinematic wave theory can be enhanced by allowing a small amount of physical diffusion in its formulation [10]. In this way, an improved type of kinematic wave can be formulated, a kinematic-with-diffusion wave, for short, a diffusion wave. A definite advantage of the diffusion wave is that it includes the diffusion which is present in most natural unsteady open channel flows.
A teoria das ondas cinemáticas pode ser aprimorada permitindo uma pequena quantidade de difusão física em sua formulação [10]. Deste modo, pode ser formulado um tipo melhorado de onda cinemática, uma onda cinemática com difusão, para abreviar, uma onda de difusão. Uma vantagem definitiva da onda de difusão é que ela inclui a difusão que está presente na maioria dos fluxos de canal aberto instáveis e naturais.
Diffusion Wave Equation
Equação da onda de difusão
In Section 9.2, the kinematic wave equation was derived by using a statement of steady uniform flow (i.e., friction slope is equal to bottom slope) in lieu of momentum conservation. In deriving the diffusion wave, a statement of steady nonuniform flow (i.e., friction slope is equal to water surface slope) is used instead (Fig. 9-11). This leads to:
Na Seção 9.2, a equação da onda cinemática foi derivada usando uma declaração de fluxo uniforme constante (isto é, a inclinação da fricção é igual à inclinação inferior) em vez da conservação do momento. Na derivação da onda de difusão, uma declaração de fluxo não uniforme constante (isto é, a inclinação da fricção é igual à inclinação da superfície da água) é usada (Fig. 9-11). Isto leva a:
|
1 dy Q = ___ A R 2/3 ( So - ____ ) 1/2 n dx | (9-45) |
in which the term [So - (dy/dx)] is the water surface slope. The difference between kinematic and diffusion waves is in the term dy/dx. From a physical standpoint, the term dy/dx accounts for the natural diffusion processes present in unsteady open channel flow phenomena.
em que o termo [So - (dy / dx)] é a inclinação da superfície da água. A diferença entre ondas cinemáticas e de difusão está no termo dy / dx. Do ponto de vista físico, o termo dy / dx é responsável pelos processos naturais de difusão presentes em fenômenos de fluxo de canal aberto instáveis.
Figure 9-11 Diffusion wave assumption. |
To derive the diffusion wave equation, Eq. 9-45 is expressed in a slightly different form:
Para derivar a equação da onda de difusão, Eq. 9-45 é expresso de uma forma ligeiramente diferente:
|
dy m Q 2 = So - ____ dx | (9-46) |
in which m is the reciprocal of the square of the channel conveyance K, defined as:
em que m é o inverso do quadrado do transporte de canal K, definido como:
|
1 K = ___ A R 2/3 n | (9-47) |
With dA = T dy, in which T = top width, Eq. 9-46 changes to:
Com dA = T dy, em que T = largura superior, Eq. 9-46 alterações para:
|
1 dA _____ ______ + m Q 2 - So = 0 T dx | (9-48) |
Equations 9-9 and 9-48 constitute a set of two partial differential equations describing diffusion waves. These equations can be combined into one equation with Q as dependent variable. However, it is first necessary to linearize the equations around reference flow values. For simplicity, a constant top width is assumed (i.e., a wide channel assumption).
As equações 9-9 e 9-48 constituem um conjunto de duas equações diferenciais parciais que descrevem ondas de difusão. Essas equações podem ser combinadas em uma equação com Q como variável dependente. No entanto, é necessário primeiro linearizar as equações em torno dos valores de fluxo de referência. Por uma questão de simplicidade, é assumida uma largura superior constante (isto é, uma suposição de canal amplo).
The linearization of Eqs. 9-9 and 9-48 is accomplished by small perturbation theory [4]. This procedure, while heuristic, has seemed to work well in a number of applications. The variables Q, A, and m can be expressed in terms of the sum of a reference value (with subscript o) and a small perturbation to the reference value (with superscript '): Q = Qo + Q' ; A = Ao + A' ; m = mo + m'. Substituting these into Eqs. 9-9 and 9-48, neglecting squared perturbations, and subtracting the reference flow leads to:
A linearização das Eqs. 9-9 e 9-48 é realizado pela teoria das pequenas perturbações [4]. Esse procedimento, embora heurístico, pareceu funcionar bem em várias aplicações. As variáveis Q, A e m podem ser expressas em termos da soma de um valor de referência (com o subscrito o) e de uma pequena perturbação no valor de referência (com sobrescrito '): Q = Qo + Q'; A = Ao + A '; m = mo + m '. Substituindo-os nas Eqs. 9-9 e 9-48, negligenciar perturbações ao quadrado e subtrair o fluxo de referência leva a:
|
∂Q' ∂A' ____ + ____ = 0 ∂x ∂t | (9-49) |
and
|
1 ∂A' _____ ______ + Qo2 m' + 2 mo Qo Q' = 0 T ∂x | (9-50) |
Differentiating Eq. 9-49 with respect to x and Eq. 9-50 with respect to t gives:
Diferenciando a Eq. 9-49 em relação a x e Eq. 9-50 em relação a t dá:
|
∂2Q' ∂2A' ______ + _______ = 0 ∂x2 ∂x ∂t | (9-51) |
|
1 ∂2A' ∂m' ∂Q' _____ _________ + Qo2 _____ + 2 mo Qo ______ = 0 T ∂x ∂t ∂t ∂t | (9-52) |
Using the chain rule and Eq. 9-49 yields:
Usando a regra da cadeia e a Eq. 9-49 rendimentos:
|
∂m' ∂m' ∂A' ∂m' ∂Q' _____ = _______ _______ = - _______ _______ ∂t ∂A' ∂t ∂A' ∂x | (9-53) |
Combining Eq. 9-52 with Eq. 9-53:
Combinando a Eq. 9-52 com a Eq. 9-53:
|
1 ∂2A' ∂m' ∂Q' ∂Q' _____ ________ - Qo2 ______ ______ + 2 mo Qo ______ = 0 T ∂x ∂t ∂A' ∂x ∂t | (9-54) |
Combining Eqs. 9-51 and 9-54 and rearranging terms, yields:
Combinando Eqs. 9-51 e 9-54 e termos de reorganização, produz:
|
∂Q' Qo ∂m' ∂Q' 1 ∂Q'2 ______ - _______ ______ ______ = _____________ _______ ∂t 2 mo ∂A' ∂x 2 T mo Qo ∂x2 | (9-55) |
Since by definition: mQ 2 = Sf, it follows that
Como, por definição: mQ 2 = Sf, segue-se que
|
∂Q' ∂Q Qo _____ = _______ = - _______ ∂m' ∂m 2 mo | (9-56) |
and also
|
So mo Qo = ______ Qo | (9-57) |
Substituting Eqs. 9-56 and 9-57 into Eq. 9-55, using the chain rule, and dropping the superscripts for simplicity, the following equation is obtained:
Substituindo Eqs. 9-56 e 9-57 na Eq. 9-55, usando a regra da cadeia e eliminando os sobrescritos para simplificar, é obtida a seguinte equação:
|
∂Q ∂Q ∂Q Qo ∂2Q ______ + ( ______ ) ______ = ( __________ ) _______ ∂t ∂A ∂x 2 T So ∂x2 | (9-58) |
The left side of Eq. 9-58 is recognized as the kinematic wave equation, with ∂Q/∂A as the kinematic wave celerity.
The right side is a second-order (partial differential) term that accounts for the physical diffusion effect.
The coefficient of the second-order term has the units of diffusivity
O lado esquerdo da Eq. 9-58 é reconhecida como a equação da onda cinemática, com ~Q / ~A como a celeridade da onda cinemática. O lado direito é um termo de segunda ordem (diferencial parcial) que explica o efeito da difusão física. O coeficiente do termo de segunda ordem possui as unidades de difusividade [L2T -1], sendo denominadas difusividade hidráulica ou difusividade do canal.
The hydraulic diffusivity is a characteristic of the flow and channel, defined as:
A difusividade hidráulica é uma característica do fluxo e canal, definida como:
|
Qo qo νh = _________ = _______ 2 T So 2 So | (9-59) |
in which qo = Qo/T is the reference flow per unit of channel width. From Eq. 9-59, it is concluded that the hydraulic diffusivity is small for steep bottom slopes (e.g., those of small mountain streams), and large for mild bottom slopes (e.g., tidal rivers).
em que qo = Qo / T é o fluxo de referência por unidade de largura do canal. Da Eq. 9-59, conclui-se que a difusividade hidráulica é pequena para encostas íngremes do fundo (por exemplo, aquelas de pequenos riachos de montanhas) e grande para encostas suaves do fundo (por exemplo, rios das marés).
Equation 9-58 describes the movement of flood waves in a better way than Eq. 9-17 or 9-18. It falls short from describing the full momentum effects, but it does physically account for peak flow attenuation.
A Equação 9-58 descreve o movimento das ondas de inundação de uma maneira melhor que a Eq. 9-17 ou 9-18. É insuficiente para descrever os efeitos do momento, mas explica fisicamente a atenuação do pico de fluxo.
Equation 9-58 is a second-order parabolic partial differential equation. It can be solved analytically, leading to Hayami's diffusion analogy solution for flood waves [7], or numerically with the aid of a numerical scheme for parabolic equations such as the Crank-Nicolson scheme [3]. An alternate approach is to match the hydraulic diffusivity with the numerical diffusion coefficient of the Muskingum scheme. This approach is the basis of the Muskingum-Cunge method [4, 12] (Section 9.4).
A equação 9-58 é uma equação diferencial parcial parabólica de segunda ordem. Pode ser resolvido analiticamente, levando à solução de analogia de difusão de Hayami para ondas de inundação [7], ou numericamente com a ajuda de um esquema numérico para equações parabólicas, como o esquema de Crank-Nicolson [3]. Uma abordagem alternativa é combinar a difusividade hidráulica com o coeficiente de difusão numérico do esquema de Muskingum. Essa abordagem é a base do método Muskingum-Cunge [4, 12] (Seção 9.4).
Applicability of Diffusion Waves
Aplicabilidade de ondas de difusão
Most flood waves have a small amount of physical diffusion; therefore, they are better approximated by the diffusion wave rather than by the kinematic wave. For this reason, diffusion waves apply to a much wider range of practical problems than kinematic waves. Where the diffusion wave fails, only the dynamic wave can properly describe the translation and diffusion of flood waves. The dynamic wave, however, is very strongly diffusive, especially for flows well in the subcritical regime [14]. In practice, most flood flows are only mildly diffusive, and therefore, are subject to modeling with the diffusion wave.
A maioria das ondas de inundação tem uma pequena quantidade de difusão física; portanto, eles são melhor aproximados pela onda de difusão do que pela onda cinemática. Por esse motivo, as ondas de difusão se aplicam a uma gama muito maior de problemas práticos do que as ondas cinemáticas. Onde a onda de difusão falha, apenas a onda dinâmica pode descrever adequadamente a tradução e difusão das ondas de inundação. A onda dinâmica, no entanto, é muito fortemente difusiva, especialmente para fluxos bem no regime subcrítico [14]. Na prática, a maioria dos fluxos de inundação é levemente difusiva e, portanto, está sujeita a modelagem com a onda de difusão.
To determine if a wave is a diffusion wave, it should satisfy the following dimensionless inequality [14]:
Para determinar se uma onda é uma onda de difusão, ela deve satisfazer a seguinte desigualdade sem dimensão [14]:
|
g tr So ( ____ )1/2 ≥ N do | (9-60) |
in which tr is the time-of-rise of the inflow hydrograph, So is the bottom slope, do is the average flow depth, and g is the gravitational acceleration. The greater the left side of this inequality, the more likely it is that the wave is a diffusion wave. In practice, a value of N = 15 is recommended for general use.
em que tr é o tempo de ascensão do hidrograma de entrada, o mesmo ocorre com a inclinação inferior, o que é a profundidade média do fluxo eg é a aceleração gravitacional. Quanto maior o lado esquerdo dessa desigualdade, maior a probabilidade de a onda ser uma onda de difusão. Na prática, um valor de N = 15 é recomendado para uso geral.
Example 9-8.
Use the criterion of Eq. 9-60 to determine whether the flood wave of Example 9-7 can be considered a diffusion wave.
Use o critério da Eq. 9-60 para determinar se a onda de inundação do Exemplo 9-7 pode ser considerada uma onda de difusão.
For tr = 12 h, So = 0.001, and do = 2 m, the left side of Eq. 9-60 is 95.7, which is greater than 15.
In the previous example, this wave was shown not to satisfy the kinematic wave criterion.
This example shows, however, that this wave is a diffusion wave. Had Eq. 9-60 not been satisfied, the flood wave would have been properly a dynamic wave, subject only to dynamic wave routing.
Dynamic wave routing takes into account the complete momentum quation, including the inertia terms (local and convective) that were neglected in the formulation of kinematic and diffusion waves. Section 9.5 contains a brief introduction to dynamic waves.
Para tr = 12 h, So = 0,001 e do = 2 m, no lado esquerdo da Eq. 9-60 é 95,7, que é maior que 15. No exemplo anterior, essa onda mostrou não satisfazer o critério de onda cinemática. Este exemplo mostra, no entanto, que esta onda é uma onda de difusão. Tinha Eq. 9-60 não foi satisfeita, a onda de inundação teria sido adequadamente uma onda dinâmica, sujeita apenas ao roteamento dinâmico de ondas. O roteamento dinâmico de ondas leva em consideração a completa dinâmica do momento, incluindo os termos de inércia (local e convectivo) que foram negligenciados na formulação de ondas cinemáticas e de difusão. A Seção 9.5 contém uma breve introdução às ondas dinâmicas.
ONLINE CALCULATION.
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is |
9.4 MÉTODO MUSKINGUM-CUNGE
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The Muskingum method can calculate runoff diffusion, ostensibly by varying the parameter X. A numerical solution of the linear kinematic wave equation using a third-order accurate scheme (C = 1) leads to pure flood hydrograph translation (see Example 9-3, Part 1). Other numerical solutions to the linear kinematic wave equation invariably produce a certain amount of numerical diffusion and/or dispersion (See Example 9-3, Part 2). The Muskingum and linear kinematic wave routing equations are strikingly similar. Furthermore, unlike the kinematic wave equation, the diffusion wave equation does have the capability to describe physical diffusion.
O método Muskingum pode calcular a difusão do escoamento, ostensivamente variando o parâmetro X. Uma solução numérica da equação linear de ondas cinemáticas usando um esquema preciso de terceira ordem (C = 1) leva à tradução pura do hidrograma de inundação (consulte o Exemplo 9-3, Parte 9). 1) Outras soluções numéricas para a equação linear das ondas cinemáticas produzem invariavelmente uma certa quantidade de difusão e / ou dispersão numérica (Veja o Exemplo 9-3, Parte 2). As equações de roteamento de ondas cinemáticas e de Muskingum são surpreendentemente semelhantes. Além disso, diferentemente da equação da onda cinemática, a equação da onda de difusão tem a capacidade de descrever a difusão física.
From these propositions, Cunge [4] concluded that the Muskingum method is a linear kinematic wave solution and that the flood wave attenuation shown by the calculation is due to the numerical diffusion of the scheme itself. To prove this assertion, the kinematic wave equation (Eq. 9-18) is discretized on the x-t plane (Fig. 9-12) in a way that parallels the Muskingum method, centering the spatial derivative and off-centering the temporal derivative by means of a weighting factor X:
A partir dessas proposições, Cunge [4] concluiu que o método Muskingum é uma solução linear de ondas cinemáticas e que a atenuação das ondas de inundação mostrada pelo cálculo se deve à difusão numérica do próprio esquema. Para provar essa afirmação, a equação da onda cinemática (Eq. 9-18) é discretizada no plano xt (Fig. 9-12) de uma maneira que se assemelha ao método de Muskingum, centralizando a derivada espacial e descentralizando a derivada temporal por meios de um fator de ponderação X:
|
X (Q j n+1 - Q j n ) + (1 - X) (Q j+1n+1 - Q j+1 n ) ________________________________________________ + Δt |
|
(Q j+1 n - Q j n ) + (Q j+1n+1 - Q
j n+1 ) c _______________________________________ = 0 2 Δx | (9-61) |
in which c = βV is the kinematic wave celerity.
em que c = ~V é a celeridade da onda cinemática.
Figure 9-12 Space-time discretization of kinematic wave equation paralleling Muskingum method. |
Solving Eq. 9-61 for the unknown discharge leads to the following routing equation:
Resolvendo a Eq. 9-61 para a descarga desconhecida leva à seguinte equação de roteamento:
| Q j+1 n+1 = C0 Q j n+1 + C1 Q j n + C2 Q j+1 n | (9-62) |
The routing coefficients are:
Os coeficientes de roteamento são:
|
c ( Δt / Δx ) - 2X C0 = ________________________ 2(1 - X) + c ( Δt / Δx ) | (9-63) |
|
c ( Δt / Δx ) + 2X C1 = ________________________ 2(1 - X) + c ( Δt / Δx ) | (9-64) |
|
2(1 - X) - c ( Δt / Δx ) C2 = ________________________ 2(1 - X) + c ( Δt / Δx ) | (9-65) |
By defining the travel time
|
Δx K = ______ c | (9-66) |
it is seen that the two sets of Eqs. 9-63 to 9-65 and Eqs. 9-4 to 9-6 are the same.
é visto que os dois conjuntos de Eqs. 9-63 a 9-65 e Eqs. 9-4 a 9-6 são os mesmos.
Equation 9-66 confirms that K is in fact the flood wave travel time, i.e., the time it takes a given discharge to travel the reach length Δx with the kinematic wave celerity c. In a linear mode, c is constant and equal to a reference value; in a nonlinear mode, it varies with discharge.
A Equação 9-66 confirma que K é de fato o tempo de viagem das ondas de inundação, isto é, o tempo que uma determinada descarga leva para percorrer o comprimento de alcance ~x com a celeridade da onda cinemática c. Em um modo linear, c é constante e igual a um valor de referência; no modo não linear, varia com a descarga.
It can be seen that for X = 0.5, Eqs. 9-63 to 9-65 reduce to the routing coefficients of the linear second-order-accurate kinematic wave solution, Eqs. 9-22 to 9-24.
For X = 0.5 and C = 1 (C =
Pode ser visto que para X = 0,5, Eqs. 9-63 a 9-65 reduzem os coeficientes de roteamento da solução linear de ondas cinemáticas precisas de segunda ordem, Eqs. 9-22 a 9-24. Para X = 0,5 e C = 1 (C = c~t / ~x = ~V ~t / ~x, o número de Courant, Eq. 9-25), a equação de roteamento é de terceira ordem precisa, ou seja, a solução numérica é igual à solução analítica da equação da onda cinemática. Para X = 0,5 e C ~ 1, é preciso de segunda ordem, exibindo apenas dispersão numérica (lembre-se de que no contexto de difusão por convecção, dispersão numérica é o erro do esquema de segunda ordem). Para X <0,5 e C ~ 1, é preciso de primeira ordem, exibindo difusão e dispersão numérica. Para X <0,5 e C = 1, é o primeiro: ordem precisa, exibindo apenas difusão numérica (efetivamente, a dispersão numérica desaparece para C = 1). Essas relações estão resumidas na Tabela 9-7.
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In practice, the numerical diffusion can be used to simulate the physical diffusion of the actual flood wave. By expanding the discrete function Q (jΔx, n Δt) in Taylor series about grid point (jΔx, n Δt), the numerical diffusion coefficient of the Muskingum scheme is derived (see Appendix B):
Na prática, a difusão numérica pode ser usada para simular a difusão física da onda de inundação real. Expandindo a função discreta Q (j~x, n ~t) na série de Taylor sobre o ponto de grade (j~x, n ~t), é obtido o coeficiente de difusão numérico do esquema de Muskingum (consulte o Apêndice B):
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1 νn = c Δx ( ____ - X ) 2 | (9-67) |
in which νn is the numerical diffusion coefficient of the Muskingum scheme. This equation reveals the following:
em que ~n é o coeficiente de difusão numérico do esquema de Muskingum. Esta equação revela o seguinte:
For X = 0.5 there is no numerical diffusion, although there is numerical dispersion for C ≠ 1;
Para X = 0,5, não há difusão numérica, embora haja dispersão numérica para C ~ 1;
For X > 0.5, the numerical diffusion coefficient is negative, i.e., numerical amplification, which explains the behavior of the Muskingum method for this range of X values;
Para X> 0,5, o coeficiente de difusão numérico é negativo, isto é, amplificação numérica, o que explica o comportamento do método Muskingum para esta faixa de valores X;
For Δx = 0, the numerical diffusion coefficient is zero, clearly the trivial case.
Para ~x = 0, o coeficiente de difusão numérico é zero, claramente o caso trivial.
A predictive equation for X can be obtained by matching the hydraulic diffusivity νh (Eq. 9-59) with the numerical diffusion coefficient of the Muskingum scheme νn (Eq. 9-67). This leads to the following expression for X:
Uma equação preditiva para X pode ser obtida combinando a difusividade hidráulica ~h (Eq. 9-59) com o coeficiente de difusão numérico do esquema de Muskingum ~n (Eq. 9-67). Isso leva à seguinte expressão para X:
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1 qo X = ___ ( 1 - __________ ) 2 So c Δx | (9-68) |
With X calculated by Eq. 9-68, the Muskingum method is referred to as Muskingum-Cunge method [12]. Using Eq. 9-68, the routing parameter X can be calculated as a function of the following numerical and physical properties: ]
Com X calculado pela Eq. 9-68, o método Muskingum é referido como método Muskingum-Cunge [12]. Usando a Eq. 9-68, o parâmetro de roteamento X pode ser calculado em função das seguintes propriedades numéricas e físicas:
Reach length Δx,
Comprimento de alcance ~x,
Reference discharge per unit width qo,
Descarga de referência por unidade de largura qo,
Kinematic wave celerity c, and
Celeridade das ondas cinemáticas c, e
Bottom slope So.
Inclinação inferior
It should be noted that Eq. 9-68 was derived by matching physical and numerical diffusion (i.e., second-order processes), and does not account for dispersion (a third-order process). Therefore, in order to simulate wave diffusion properly with the Muskingum-Cunge method, it is necessary to optimize numerical diffusion (with Eq. 9-68) while minimizing numerical dispersion by keeping the value of C as close to 1 as practicable.
Note-se que a Eq. 9-68 foi obtido por correspondência de difusão física e numérica (isto é, processos de segunda ordem) e não é responsável pela dispersão (um processo de terceira ordem). Portanto, para simular a difusão de ondas corretamente com o método Muskingum-Cunge, é necessário otimizar a difusão numérica (com as Eq. 9-68) enquanto minimiza a dispersão numérica, mantendo o valor de C o mais próximo possível de 1.
A unique feature of the Muskingum-Cunge method is the grid independence of the calculated outflow hydrograph, which sets it apart from other linear kinematic wave solutions featuring uncontrolled numerical diffusion and dispersion (e.g., the convex method).
If numerical dispersion is minimized, the calculated outflow at the downstream end of a channel reach will be essentially the same, regardless of how many subreaches are used in the computation.
This is because X is a function of Δx,
and the routing coefficients C0, C1,
and
Uma característica exclusiva do método Muskingum-Cunge é a independência da grade do hidrograma de vazão calculado, que o diferencia de outras soluções de ondas cinemáticas lineares que apresentam difusão e dispersão numérica não controlada (por exemplo, o método convexo). Se a dispersão numérica for minimizada, a vazão calculada na extremidade a jusante de um alcance de canal será essencialmente a mesma, independentemente de quantas subcategorias forem usadas na computação. Isso ocorre porque X é uma função de ~x e os coeficientes de roteamento C0, C1 e C2 variam com o comprimento do alcance.
An improved version of the Muskingum-Cunge method is due to Ponce and Yevjevich [15]. The C value is the Courant number, i.e. , the ratio of wave celerity c to grid celerity Δx/ Δt:
Uma versão melhorada do método Muskingum-Cunge é devida a Ponce e Yevjevich [15]. O valor C é o número de Courant, ou seja, a razão entre a celeridade da onda c e a celeridade da grade ~x / ~t:
|
Δt C = c ______ Δx | (9-69) |
The grid diffusivity is defined as the numerical diffusivity for the case of X = 0. From Eq. 9-67, the grid diffusivity is:
|
Δx νg = c _____ 2 | (9-70) |
The cell Reynolds number [18] is defined as the ratio of hydraulic diffusivity (Eq. 9-59) to grid diffusivity (Eq. 9-70). This leads to:
O número de Reynolds da célula [18] é definido como a razão entre a difusividade hidráulica (Eq. 9-59) e a difusividade da grade (Eq. 9-70). Isto leva a:
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qo D = __________ So c Δx | (9-71) |
in which D = cell Reynolds number. Therefore:
em que D = número de Reynolds da célula. Portanto:
|
1 X = ___ ( 1 - D ) 2 | (9-72) |
Equations 9-71 and 9-72 imply that for very small values of Δx, D may be greater than 1, leading to negative values of X. In fact, for the characteristic reach length
As equações 9-71 e 9-72 implicam que, para valores muito pequenos de ~x, D pode ser maior que 1, levando a valores negativos de X. De fato, para o comprimento de alcance característico
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qo Δxc = ________ So c | (9-73) |
the cell Reynolds number is D = 1, and X = 0. Therefore, in the Muskingum-Cunge method, reach lengths shorter than the characteristic reach length result in negative values of X. This should be contrasted with the classical Muskingum method (Section 9.1), in which X is restricted in the range 0.0 ≤ X ≤ 0.5. In the classical Muskingum, X is interpreted as a weighting factor. As shown by Eqs. 9-71 and 9-72, nonnegative values of X are associated with long reaches, typical of the manual computation used in the development and early application of the Muskingum method.
o número de Reynolds da célula é D = 1 e X = 0. Portanto, no método Muskingum-Cunge, comprimentos menores que o comprimento característico resultam em valores negativos de X. Isso deve ser contrastado com o método clássico de Muskingum (Seção 9.1 ), em que X é restrito no intervalo 0,0 ~ X ~ 0,5. No Muskingum clássico, X é interpretado como um fator de ponderação. Como mostrado pelas Eqs. 9-71 e 9-72, valores não negativos de X estão associados a alcances longos, típicos da computação manual usada no desenvolvimento e na aplicação precoce do método Muskingum.
In the Muskingum-Cunge method, however, X is interpreted in a moment-matching sense [2] or diffusion-matching factor. Therefore, negative values of X are entirely possible. This feature allows the use of shorter reaches than would otherwise be possible if X were restricted to nonnegative values.
No método Muskingum-Cunge, no entanto, X é interpretado em um sentido de correspondência de momentos [2] ou em um fator de difusão. Portanto, valores negativos de X são inteiramente possíveis. Esse recurso permite o uso de alcances mais curtos do que seria possível se X fosse restrito a valores não negativos.
The substitution of Eqs. 9-69 and 9-72 into Eqs. 9-63 to 9-65 leads to routing coefficients expressed in terms of Courant and cell Reynolds numbers:
A substituição de Eqs. 9-69 e 9-72 nas Eqs. 9-63 a 9-65 levam a coeficientes de roteamento expressos em termos de números de Courant e de célula de Reynolds:
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-1 + C + D C0 = ______________ 1 + C + D | (9-74) |
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1 + C - D C1 = ______________ 1 + C + D | (9-75) |
|
1 - C + D C2 = ______________ 1 + C + D | (9-76) |
The calculation of routing parameters C and D, Eqs. 9-69 and 9-71, can be performed in several ways. The wave celerity can be calculated with either Eq. 9-16 or Eq. 9-34. With Eq. 9-16, c = βV; with Eq. 9-34, c = (1/T) dQ/dy. Theoretically, these two equations are the same. For practical applications, if a stage-discharge rating and cross-sectional geometry are available (i.e., stage-discharge-top width tables), Eq. 9-34 is preferred over Eq. 9-16 because it accounts directly for cross-sectional shape. In the absence of a stage-discharge rating and cross-sectional data, Eq. 9-16 can be used to estimate flood wave celerity.
O cálculo dos parâmetros de roteamento C e D, Eqs. 9-69 e 9-71, podem ser executadas de várias maneiras. A celeridade das ondas pode ser calculada com a Eq. 9-16 ou Eq. 9-34. Com Eq. 9-16, c = pV; com a Eq. 9-34, c = (1 / T) dQ / dy. Teoricamente, essas duas equações são iguais. Para aplicações práticas, se houver uma classificação de descarga do estágio e uma geometria de seção transversal (ou seja, tabelas de largura do estágio de descarga-superior), Eq. 9-34 é preferível à Eq. 9-16, porque responde diretamente pelo formato da seção transversal. Na ausência de uma classificação de descarga do estágio e dados transversais, a Eq. 9-16 pode ser usado para estimar a celeridade das ondas de inundação.
With the aid of Eqs. 9-69 and 9-71, the routing parameters may be based on flow characteristics. The calculations can proceed in a linear or nonlinear mode. In the linear mode, the routing parameters are based on reference flow values and kept constant throughout the computation in time. The choice of reference flow has a bearing on the calculated results [2, 15], although the overall effect is likely to be small. For practical applications, either an average or peak flow value can be used as reference flow. The peak flow value has the advantage that it can be readily ascertained, although a better approximation may be obtained by using an average value [15]. The linear mode of computation is referred to as the constant-parameter Muskingum-Cunge method to distinguish it from the variable-parameter Muskingum-Cunge method, in which the routing parameters are allowed to vary with the flow. The constant parameter method resembles the Muskingum method, with the difference that the routing parameters are based on measurable flow and channel characteristics instead of historical streamflow data.
Com a ajuda de Eqs. 9-69 e 9-71, os parâmetros de roteamento podem ser baseados nas características de fluxo. Os cálculos podem prosseguir em um modo linear ou não linear. No modo linear, os parâmetros de roteamento são baseados em valores de fluxo de referência e mantidos constantes durante todo o cálculo no tempo. A escolha do fluxo de referência influencia os resultados calculados [2, 15], embora seja provável que o efeito geral seja pequeno. Para aplicações práticas, um valor de fluxo médio ou de pico pode ser usado como fluxo de referência. O valor do pico de fluxo tem a vantagem de poder ser prontamente determinado, embora uma melhor aproximação possa ser obtida usando um valor médio [15]. O modo linear de computação é referido como o método Muskingum-Cunge de parâmetro constante para distingui-lo do método Muskingum-Cunge de parâmetro variável, no qual os parâmetros de roteamento podem variar com o fluxo. O método de parâmetro constante se assemelha ao método Muskingum, com a diferença de que os parâmetros de roteamento são baseados em características mensuráveis %G​​%@de fluxo e canal em vez de dados históricos de fluxo.
Example 9-9.
Use the constant-parameter Muskingum-Cunge method to route a flood wave with the following flood and channel characteristics: peak flow Qp = 1000 m3/s; baseflow Qb, = 0 m3/s; channel bottom slope So = 0.000868; flow area at peak discharge Ap = 400 m2; top width at peak discharge Tp = 100 m; rating exponent β = 1.6; reach length Δx = 14.4 km; time interval Δt = 1 h.
Use o método Muskingum-Cunge de parâmetro constante para rotear uma onda de inundação com as seguintes características de inundação e canal: fluxo de pico Qp = 1000 m3 / s; fluxo base Qb, = 0 m3 / s; inclinação inferior do canal So = 0,000868; área de vazão no pico de descarga Ap = 400 m2; largura superior na descarga máxima Tp = 100 m; expoente de classificação ~ = 1,6; alcance comprimento ~x = 14,4 km; intervalo de tempo ~t = 1 h.
The mean velocity (based on the peak discharge) is V = Qp/Ap = 2.5 m/s.
The wave celerity is c = βV = A velocidade média (com base no pico de descarga) é V = Qp / Ap = 2,5 m / s. A celeridade das ondas é c = ~V = 4 m / s. O fluxo por largura da unidade (com base no pico de descarga) é qo = Qp / Tp = 10 m2 / s. O número de Courant (Eq. 9-69) é C = 1. O número de Reynolds da célula (Eq. 9-71) é D = 0,2. Os coeficientes de roteamento (Eqs. 9-74 a 9-76) são C0 = 0,091; C1 = 0,818; e C2 = 0,091. Confirma-se que a soma dos coeficientes de roteamento é igual a 1. Os cálculos de roteamento são mostrados na Tabela 9-8.
ONLINE CALCULATION.
Using ONLINE ROUTING05, the answer
is essentially the same as that of Col. 6, Table 9-8.
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Resolution Requirements
Requisitos de resolução
When using the Muskingum-Cunge method, care should be taken to ensure that the values of Δx and Δt are sufficiently small to approximate closely the actual shape of the hydrograph. For smoothly rising hydrographs, a minimum value of tp /Δt = 5 is recommended. This requirement usually results in the hydrograph time base being resolved into at least 15 to 25 discrete points, considered adequate for Muskingum routing.
Ao usar o método Muskingum-Cunge, deve-se tomar cuidado para garantir que os valores de ~x e ~t sejam suficientemente pequenos para aproximar de perto a forma real do hidrograma. Para hidrogramas em subida suave, é recomendado um valor mínimo de tp / ~t = 5. Esse requisito geralmente resulta na resolução do tempo do hidrograma em pelo menos 15 a 25 pontos discretos, considerados adequados para o roteamento de Muskingum.
Unlike temporal resolution, there is no definite criteria for spatial resolution. A criterion borne out by experience is based on the fact that Courant and cell Reynolds numbers are inversely related to reach length Δx. Therefore, to keep Δx sufficiently small, Courant and cell Reynolds numbers should be kept sufficiently large. This leads to the practical criterion [16]:
Diferentemente da resolução temporal, não há critérios definidos para resolução espacial. Um critério confirmado pela experiência baseia-se no fato de que os números de Courant e de célula de Reynolds estão inversamente relacionados ao comprimento ~x. Portanto, para manter ~x suficientemente pequeno, os números de Courant e de célula de Reynolds devem ser mantidos suficientemente grandes. Isso leva ao critério prático [16]:
| C + D ≥ 1 | (9-77) |
which can be written as follows: -1 + C + D ≥ 0. This confirms the necessity of avoiding negative values of C0 in Muskingum-Cunge routing (see Eq. 9-74). Experience has shown that negative values of either C1 or C2 do not adversely affect the method's overall accuracy [16].
que pode ser escrito da seguinte forma: -1 + C + D ~ 0. Isso confirma a necessidade de evitar valores negativos de C0 no roteamento Muskingum-Cunge (consulte as Eq. 9-74). A experiência mostrou que valores negativos de C1 ou C2 não afetam adversamente a precisão geral do método [16].
Notwithstanding Eq. 9-77, the Muskingum-Cunge method works best when the numerical dispersion is minimized, that is, when C ≅ 1. Values of C substantially less than 1 are likely to cause the notorious dips, or negative outflows, in portions of the calculated hydrograph. This computational anomaly is attributed to excessive numerical dispersion and should be avoided.
Não obstante a Eq. 9-77, o método Muskingum-Cunge funciona melhor quando a dispersão numérica é minimizada, ou seja, quando C %G≅%@ 1. Valores de C substancialmente menores que 1 provavelmente causam quedas notórias, ou saídas negativas, em partes do cálculo calculado. hidrograma. Essa anomalia computacional é atribuída à dispersão numérica excessiva e deve ser evitada.
Nonlinear Muskingum-Cunge Method
Método não linear de Muskingum-Cunge
The kinematic wave equation, Eq. 9-18, is nonlinear because the kinematic wave celerity varies with discharge. The nonlinearity is mild, among other things because the wave celerity variation is usually restricted within a narrow range. However, in certain cases it may be necessary to account for this nonlinearity. This can be done in two ways: (1) during the discretization, by allowing the wave celerity to vary, resulting in a nonlinear numerical scheme to be solved by iterative means; and (2) after the discretization, by varying the routing parameters, as in the variable-parameter Muskingum-Cunge method [15]. The latter approach is particularly useful if the overall nonlinear effect is small, which is often the case.
A equação da onda cinemática, Eq. 9-18, não é linear porque a celeridade das ondas cinemáticas varia com a descarga. A não linearidade é leve, entre outras coisas, porque a variação da celeridade das ondas é geralmente restrita dentro de uma faixa estreita. No entanto, em certos casos, pode ser necessário considerar essa não linearidade. Isso pode ser feito de duas maneiras: (1) durante a discretização, permitindo que a celeridade das ondas varie, resultando em um esquema numérico não linear a ser resolvido por meios iterativos; e (2) após a discretização, variando os parâmetros de roteamento, como no método de parâmetro variável Muskingum-Cunge [15]. A última abordagem é particularmente útil se o efeito não linear geral for pequeno, o que geralmente ocorre.
In the variable parameter method, the routing parameters are allowed to vary with the flow. The values of C and D are based on local qo and c values instead of peak flow or other reference value as in the constant-parameter method. To vary the routing parameters, the most expedient way is to obtain an average value of qo and c for each computational cell. This can be achieved with a direct three-point average of the values at the known grid points (see Fig. 9-11), or by an iterative four-point average, which includes the unknown grid point. To improve the convergence of the iterative four-point procedure, the three-point average can be used as the first guess of the iteration. Once qo and c have been determined for each computational cell, the Courant and cell Reynolds numbers are calculated by Eqs. 9-69 and 9-71. The value of bottom slope So remains unchanged within each computational cell.
No método de parâmetro variável, os parâmetros de roteamento podem variar com o fluxo. Os valores de C e D são baseados nos valores locais de qo e c em vez do pico de fluxo ou outro valor de referência, como no método de parâmetro constante. Para variar os parâmetros de roteamento, a maneira mais conveniente é obter um valor médio de qo e c para cada célula computacional. Isso pode ser alcançado com uma média direta de três pontos dos valores nos pontos de grade conhecidos (veja a Fig. 9-11) ou com uma média de quatro pontos iterativa, que inclui o ponto de grade desconhecido. Para melhorar a convergência do procedimento iterativo de quatro pontos, a média de três pontos pode ser usada como o primeiro palpite da iteração. Depois de determinados qo e c para cada célula computacional, os números de Courant e de Reynolds da célula são calculados pelas Eqs. 9-69 e 9-71. O valor da inclinação inferior So permanece inalterado dentro de cada célula computacional.
The variable parameter Muskingum-Cunge method represents a small yet sometimes perceptible improvement over the constant parameter method. The differences are likely to be more marked for very long reaches and/or wide variations in flow levels. Flood hydrographs calculated with variable parameters show a certain amount of distortion, either wave steepening in the case of flows contained inbank or wave attenuation (flattening) in the case of typical overbank flows. This is a physical manifestation of the nonlinear effect, i.e., different flow levels traveling with different celerities. On the other hand, flood hydrographs calculated using constant parameters do not show wave distortion.
O parâmetro variável método Muskingum-Cunge representa uma pequena, mas às vezes perceptível, melhoria em relação ao método de parâmetro constante. As diferenças provavelmente serão mais acentuadas para alcances muito longos e / ou grandes variações nos níveis de fluxo. Os hidrogramas de inundação calculados com parâmetros variáveis %G​​%@mostram uma certa distorção, seja a inclinação das ondas no caso de fluxos contidos no banco ou atenuação das ondas (achatamento) no caso dos fluxos típicos do excesso de margens. Esta é uma manifestação física do efeito não linear, isto é, diferentes níveis de fluxo que viajam com diferentes celeridades. Por outro lado, os hidrogramas de inundação calculados usando parâmetros constantes não mostram distorção das ondas.
Assessment of Muskingum-Cunge Method
Avaliação do método Muskingum-Cunge
The Muskingum-Cunge method is a physically based alternative to the Muskingum method. Unlike the Muskingum method where the parameters are calibrated using streamflow data, in the Muskingum-Cunge method the parameters are calculated based on flow and channel characteristics. This makes possible channel routing without the need for time-consuming and cumbersome parameter calibration. More importantly, it makes possible extensive channel routing in ungaged streams with a reasonable expectation of accuracy. With the variable-parameter feature, nonlinear properties of flood waves (which could otherwise only be obtained by more elaborate numerical procedures) can be described within the context of the Muskingum formulation.
O método Muskingum-Cunge é uma alternativa baseada fisicamente ao método Muskingum. Diferente do método Muskingum, em que os parâmetros são calibrados usando dados de fluxo, no método Muskingum-Cunge os parâmetros são calculados com base nas características de fluxo e canal. Isso possibilita o roteamento de canais sem a necessidade de calibração de parâmetros demorada e complicada. Mais importante, torna possível o roteamento extensivo de canais em fluxos não calibrados com uma expectativa razoável de precisão. Com o recurso de parâmetro variável, as propriedades não lineares das ondas de inundação (que de outra forma só poderiam ser obtidas por procedimentos numéricos mais elaborados) podem ser descritas no contexto da formulação de Muskingum.
Like the Muskingum method, the Muskingum-Cunge method is limited to diffusion waves. Furthermore, the Muskingum-Cunge method is based on a single-valued rating and does not take into account strong flow non-uniformity or unsteady flows exhibiting substantial loops in discharge-stage rating (i.e., dynamic waves). Thus, the Muskingum-Cunge method is suited for channel routing in natural streams without significant backwater effects and for unsteady flows that classify under the diffusion wave criterion (Eq. 9-60).
Como o método Muskingum, o método Muskingum-Cunge é limitado a ondas de difusão. Além disso, o método Muskingum-Cunge é baseado em uma classificação de valor único e não leva em conta a não uniformidade do fluxo forte ou fluxos instáveis %G​​%@que exibem loops substanciais na classificação do estágio de descarga (ou seja, ondas dinâmicas). Assim, o método Muskingum-Cunge é adequado para roteamento de canais em riachos naturais sem efeitos significativos de remanso e para fluxos instáveis %G​​%@que se classificam sob o critério de ondas de difusão (Eq. 9-60).
An important difference between the Muskingum and Muskingum-Cunge methods should be noted. The Muskingum method is based on the storage concept (Chapter 4) and, therefore, it is lumped, with the parameters K and X being reach averages. The Muskingum-Cunge method, however, is distributed in nature, with the parameters C and D being based on values evaluated at channel cross sections. Therefore, for the Muskingum-Cunge method to improve on the Muskingum method, it is necessary that the routing parameters evaluated at channel cross sections be representative of the channel reach under consideration.
Uma diferença importante entre os métodos Muskingum e Muskingum-Cunge deve ser observada. O método Muskingum é baseado no conceito de armazenamento (capítulo 4) e, portanto, é agrupado, com os parâmetros K e X sendo alcançados em médias. O método Muskingum-Cunge, no entanto, é distribuído na natureza, com os parâmetros C e D baseados em valores avaliados nas seções transversais do canal. Portanto, para que o método Muskingum-Cunge melhore o método Muskingum, é necessário que os parâmetros de roteamento avaliados nas seções transversais do canal sejam representativos do alcance do canal em consideração.
Historically, the Muskingum method has been calibrated using streamflow data. On the contrary, the Muskingum-Cunge method relies on physical characteristics such as rating curves, cross-sectional data and channel slope. The different data requirements reflect the different theoretical bases of the methods, i.e., lumped storage concept in the Muskingum method, and distributed kinematic/diffusion wave theory in the Muskingum-Cunge method.
Historicamente, o método Muskingum foi calibrado usando dados de fluxo. Pelo contrário, o método Muskingum-Cunge se baseia em características físicas como curvas de classificação, dados de seção transversal e inclinação do canal. Os diferentes requisitos de dados refletem as diferentes bases teóricas dos métodos, isto é, o conceito de armazenamento concentrado no método Muskingum e a teoria de ondas cinemáticas / de difusão distribuídas no método Muskingum-Cunge.
9.5 INTRODUÇÃO A ONDAS DINÂMICAS
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In Section 9.2, kinematic waves were formulated by simplifying the momentum conservation principle to a statement of steady uniform flow. In Section 9.3, diffusion waves were formulated by simplifying the momentum principle to a statement of steady nonuniform flow. These two waves, in particular the diffusion wave, have been extensively used in stream channel routing applications. The Muskingum and Muskingum-Cunge methods are examples of calculations using the concept of diffusion wave.
Na Seção 9.2, as ondas cinemáticas foram formuladas simplificando o princípio de conservação do momento para uma declaração de fluxo uniforme e constante. Na Seção 9.3, as ondas de difusão foram formuladas simplificando o princípio do momento para uma declaração de fluxo não uniforme constante. Essas duas ondas, em particular a onda de difusão, foram amplamente utilizadas em aplicações de roteamento de canal de fluxo. Os métodos Muskingum e Muskingum-Cunge são exemplos de cálculos usando o conceito de onda de difusão.
A third type of open channel flow wave, the dynamic wave, is formulated by taking into account the complete momentum principle, including its inertial components. As such, the dynamic wave contains more physical information than either kinematic or diffusion waves. Dynamic wave solutions, however, are more complicated than either kinematic or diffusion wave solutions.
Um terceiro tipo de onda de fluxo de canal aberto, a onda dinâmica, é formulado levando em consideração o princípio do momento completo, incluindo seus componentes inerciais. Como tal, a onda dinâmica contém mais informações físicas do que as ondas cinemáticas ou de difusão. As soluções de ondas dinâmicas, no entanto, são mais complicadas do que as soluções de ondas cinemáticas ou de difusão.
In a dynamic wave solution, the equations of mass and momentum conservation are solved by a numerical procedure, either the method of finite differences, the method of characteristics, or the finite element method. In the method of finite differences, the partial differential equations are discretized following a chosen numerical scheme [9]. The method of characteristics is based on the conversion of the set of partial differential equations into a related set of ordinary differential equations, and the solution along a characteristic grid, i.e. a grid that follows characteristic directions (Fig. 4-16). The method of finite elements solves a set of integral equations over a chosen grid of finite elements.
Em uma solução de onda dinâmica, as equações de conservação de massa e momento são resolvidas por um procedimento numérico, seja o método das diferenças finitas, o método das características ou o método dos elementos finitos. No método das diferenças finitas, as equações diferenciais parciais são discretizadas seguindo um esquema numérico escolhido [9]. O método das características baseia-se na conversão do conjunto de equações diferenciais parciais em um conjunto relacionado de equações diferenciais ordinárias e na solução ao longo de uma grade característica, isto é, uma grade que segue as direções das características (Fig. 4-16). O método dos elementos finitos resolve um conjunto de equações integrais sobre uma grade escolhida de elementos finitos.
In the past four decades, the method of finite differences has come to be regarded as the most expedient way of obtaining a dynamic wave solution for practical applications [6, 9]. Among several numerical schemes that have been used in connection with the dynamic wave, the Preissmann scheme is perhaps the most popular. This is a four-point scheme, centered in the temporal derivatives and slightly off-centered in the spatial derivatives. The off-centering in the spatial derivatives introduces a small amount of numerical diffusion necessary to control the numerical stability of the nonlinear scheme. This produces a workable yet sufficiently accurate scheme.
Nas últimas quatro décadas, o método das diferenças finitas passou a ser considerado a maneira mais conveniente de obter uma solução dinâmica de ondas para aplicações práticas [6, 9]. Entre os vários esquemas numéricos utilizados em conexão com a onda dinâmica, o esquema de Preissmann é talvez o mais popular. Este é um esquema de quatro pontos, centrado nas derivadas temporais e ligeiramente descentralizado nas derivadas espaciais. A descentralização nas derivadas espaciais introduz uma pequena quantidade de difusão numérica necessária para controlar a estabilidade numérica do esquema não linear. Isso produz um esquema viável, mas suficientemente preciso.
The stream channel is divided into several reaches for computational purposes (Fig. 9-12). The application of the Preissmann scheme to the governing equations for the various reaches results in a matrix solution requiring a double sweep algorithm, i.e., one that accounts only for the nonzero entries of the coefficient matrix, which are located within a narrow band surrounding the main diagonal. This technique leads to a considerable savings in storage and execution time. With the appropriate upstream and downstream boundary conditions (Fig. 9-13), the solution of the set of hyperbolic equations marches in time until a specified number of time intervals is completed.
O canal de fluxo é dividido em vários alcances para fins computacionais (Fig. 9-12). A aplicação do esquema de Preissmann às equações governantes para os vários alcances resulta em uma solução de matriz que requer um algoritmo de varredura dupla, isto é, que é responsável apenas pelas entradas diferentes de zero da matriz do coeficiente, localizadas dentro de uma faixa estreita ao redor da principal diagonal. Essa técnica leva a uma economia considerável no tempo de armazenamento e execução. Com as condições de contorno a montante e a jusante apropriadas (Fig. 9-13), a solução do conjunto de equações hiperbólicas marcha no tempo até que um número especificado de intervalos de tempo seja concluído.
Figure 9-13 Reach subdivision for dynamic wave routing. |
In practice, a dynamic wave solution represents an order-of-magnitude increase in complexity and associated data requirements when compared to either kinematic or diffusion wave solutions. Its use is recommended in situations where neither kinematic nor diffusion wave solutions are likely to represent adequately the physical phenomena. In particular, dynamic wave solutions are applicable to flow over very flat slopes, flow into large reservoirs, strong backwater conditions and flow reversals. In general, the dynamic wave is recommended for cases warranting a precise determination of the unsteady variation of river stages.
Na prática, uma solução dinâmica de ondas representa um aumento de ordem de magnitude na complexidade e nos requisitos de dados associados quando comparados a soluções de ondas cinemáticas ou de difusão. Seu uso é recomendado em situações em que nem as soluções de ondas cinemáticas nem de difusão provavelmente representam adequadamente os fenômenos físicos. Em particular, as soluções de ondas dinâmicas são aplicáveis %G​​%@ao escoamento sobre encostas muito planas, escoamento para grandes reservatórios, condições de marés fortes e reversões de escoamento. Em geral, a onda dinâmica é recomendada para casos que garantam uma determinação precisa da variação instável dos estágios do rio.
Relevance of Dynamic Waves to Engineering Hydrology
Relevância das ondas dinâmicas para a engenharia hidrológica
Dynamic wave solutions are often referred to as hydraulic river routing. As such, they have the capability to calculate unsteady discharges and stages when presented with the appropriate geometric channel data and initial and boundary conditions. Their relevance to engineering hydrology is examined here by comparing them to kinematic and diffusion wave solutions.
As soluções de ondas dinâmicas são frequentemente chamadas de roteamento hidráulico de rios. Como tal, eles têm a capacidade de calcular descargas e estágios instáveis %G​​%@quando apresentados com os dados apropriados do canal geométrico e as condições iniciais e de contorno. Sua relevância para a engenharia hidrológica é examinada aqui, comparando-as com soluções cinemáticas e de ondas de difusão.
Kinematic waves calculate unsteady discharges; the corresponding stages are subsequently obtained from the appropriate rating curves. Usually, equilibrium (steady, uniform) rating curves are used for this purpose. Diffusion waves may or may not use equilibrium rating curves to calculate stages. Some methods, e.g., Muskingum-Cunge, use equilibrium ratings, but more elaborate diffusion wave solutions may not.
As ondas cinemáticas calculam descargas instáveis; os estágios correspondentes são subsequentemente obtidos a partir das curvas de classificação apropriadas. Geralmente, curvas de classificação de equilíbrio (constante, uniforme) são usadas para esse fim. Ondas de difusão podem ou não usar curvas de classificação de equilíbrio para calcular estágios. Alguns métodos, por exemplo, Muskingum-Cunge, usam classificações de equilíbrio, mas soluções de ondas de difusão mais elaboradas podem não.
Dynamic waves rely on the physics of the phenomena as built into the governing equations to generate their own unsteady rating. A looped rating curve is produced at every cross section, as shown in Fig. 9-14. For any given stage, the discharge is higher in the rising limb of the hydrograph and lower in the receding limb. This loop is due to hydrodynamic reasons and should not be confused with other loops, which may be due to erosion, sedimentation, or changes in bed configuration (Chapter 15).
As ondas dinâmicas dependem da física dos fenômenos incorporada nas equações governantes para gerar sua própria classificação instável. Uma curva de classificação em loop é produzida em cada seção transversal, como mostrado na Fig. 9-14. Para qualquer estágio, a descarga é maior no membro ascendente do hidrograma e menor no membro recuado. Esse loop é devido a razões hidrodinâmicas e não deve ser confundido com outros loops, que podem ser causados %G​​%@por erosão, sedimentação ou alterações na configuração do leito (Capítulo 15).
Figure 9-14 Sketch of the looped rating of dynamic waves. |
The width of the loop is a measure of the flow unsteadiness, with wider loops corresponding to highly unsteady flow, i.e., dynamic wave flow. If the loop is narrow, it implies that the flow is mildly unsteady, perhaps a diffusion wave. If the loop is practically nonexistent, the flow can be approximated as kinematic flow. In fact, the basic assumption of kinematic flow is that momentum can be simulated as steady uniform flow, i.e., that the rating curve is single-valued.
A largura do laço é uma medida da instabilidade do fluxo, com laços mais largos correspondendo ao fluxo altamente instável, isto é, fluxo dinâmico da onda. Se o loop for estreito, isso implica que o fluxo é levemente instável, talvez uma onda de difusão. Se o loop for praticamente inexistente, o fluxo pode ser aproximado como fluxo cinemático. De fato, a suposição básica do fluxo cinemático é que o momento pode ser simulado como fluxo uniforme constante, ou seja, que a curva de classificação é de valor único.
The preceding observations lead to the conclusion that the relevance of dynamic waves in engineering hydrology is directly related to the flow unsteadiness and the associated loop in the rating curve. For highly unsteady flows such as dam-break flood waves, it may well be the only way to properly account for the looped rating. For other less unsteady flows, kinematic and diffusion waves are a viable alternative, provided their applicability can be clearly demonstrated (Eqs. 9-44 and 9-60).
As observações anteriores levam à conclusão de que a relevância das ondas dinâmicas na hidrologia da engenharia está diretamente relacionada à instabilidade do fluxo e ao loop associado na curva de classificação. Para fluxos altamente instáveis, como ondas de inundação de barragens, pode ser a única maneira de contabilizar adequadamente a classificação em loop. Para outros fluxos menos instáveis, as ondas cinemáticas e de difusão são uma alternativa viável, desde que sua aplicabilidade possa ser claramente demonstrada (Eqs. 9-44 e 9-60).
Diffusion Wave Solution with Dynamic Component
Solução de ondas de difusão com componente dinâmico
A simplified approach to dynamic wave routing is that of the diffusion wave with dynamic component [2]. In this approach, the complete governing equations, including inertia terms, are linearized in a similar way as with diffusion waves. This leads to a diffusion equation similar to Eq. 9-58, but with a modified hydraulic diffusivity. The equation is [5]:
Uma abordagem simplificada para o roteamento dinâmico de ondas é a da onda de difusão com componente dinâmico [2]. Nesta abordagem, as equações completas de governo, incluindo termos de inércia, são linearizadas de maneira semelhante à das ondas de difusão. Isso leva a uma equação de difusão semelhante à Eq. 9-58, mas com difusividade hidráulica modificada. A equação é [5]:
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∂Q ∂Q ∂Q Qo ∂2Q ______ + ( ______ ) ______ = { ( ________ ) [ 1 - (β - 1)2 Fo2 ] } _______ ∂t ∂A ∂x 2 T So ∂x2 | (9-78) |
in which the hydraulic diffusivity (i.e., the coefficient of the second-order term) is also a function of the rating curve parameter β and the Froude number, defined as:
em que a difusividade hidráulica (isto é, o coeficiente do termo de segunda ordem) também é uma função do parâmetro da curva de classificação ~ e do número de Froude, definido como:
|
Vo Fo = ___________ (g do)1/2 | (9-79) |
with g = gravitational acceleration, and do = reference flow depth.
com g = aceleração gravitacional e do = profundidade do fluxo de referência.
Equation 9-78 can be expressed in terms of the Vedernikov number [17]:
A equação 9-78 pode ser expressa em termos do número de Vedernikov [17]:
|
V = (β - 1) Fo
| (9-80) |
With Eq. 9-80, Eq. 9-78 reduces to:
Com Eq. 9-80, Eq. 9-78 reduz para:
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∂Q ∂Q ∂Q Qo ∂2Q ______ + ( ______ ) ______ = [ ( ________ ) ( 1 - V 2 ) ] _______ ∂t ∂A ∂x 2 T So ∂x2 | (9-81) |
Equations 9-78 and 9-81 provide an enhanced predictive capability for the simulation of diffusion waves including a dynamic component. For instance, for β = 1.5 (i.e., Chezy friction in wide channels) and Fo = 2, the Vedernikov number V = 1 (Eq. 9-80), and the hydraulic diffusivity vanishes, which is in agreement with physical reality [10, 13]. On the other hand, the hydraulic diffusivity of the diffusion wave (Eq. 9-58) is independent of the Vedernikov number. Therefore, Eq. 9-81 is a better model than Eq. 9-58, especially for Froude numbers in the supercritical regime. Most natural flows, however, are in the range well below critical, with Eq. 9-58 remaining a practical model of unsteady open channel flow phenomena [7].
As equações 9-78 e 9-81 fornecem uma capacidade preditiva aprimorada para a simulação de ondas de difusão, incluindo um componente dinâmico. Por exemplo, para ~ = 1,5 (ou seja, atrito Chezy em canais amplos) e Fo = 2, o número Vedernikov V = 1 (Eq. 9-80) e a difusividade hidráulica desaparecem, o que está de acordo com a realidade física [10 13]. Por outro lado, a difusividade hidráulica da onda de difusão (Eq. 9-58) é independente do número de Vedernikov. Portanto, a Eq. 9-81 é um modelo melhor que a Eq. 9-58, especialmente para números de Froude no regime supercrítico. A maioria dos fluxos naturais, no entanto, está na faixa bem abaixo do crítico, com a Eq. 9-58, permanecendo um modelo prático de fenômenos de fluxo de canal aberto instáveis %G​​%@[7].
QUESTÕES
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What is routing? What types of waves are used in describing unsteady open channel flow processes?
O que é roteamento? Que tipos de ondas são usados %G​​%@na descrição de processos de fluxo de canal aberto instáveis?
What is model calibration? What is model verification?
O que é calibração do modelo? O que é verificação de modelo?
In the Muskingum method, what does the parameter K represent? What does the parameter X represent?
No método Muskingum, o que o parâmetro K representa? O que o parâmetro X representa?
How does channel routing differ from reservoir routing? What differences are to be noted in the routed hydrographs?
Como o roteamento de canal difere do roteamento de reservatório? Que diferenças devem ser observadas nos hidrogramas roteados?
What is the kinematic wave celerity? What is the practical range of turbulent flow values of β, the rating constant used in the kinematic wave celerity?
Qual é a celeridade das ondas cinemáticas? Qual é a faixa prática dos valores de fluxo turbulento de ~, a constante de classificação usada na celeridade das ondas cinemáticas?
What is the order of accuracy of a numerical scheme? What is the difference between numerical diffusion and numerical dispersion in connection with kinematic wave solutions?
Qual é a ordem de precisão de um esquema numérico? Qual é a diferença entre difusão numérica e dispersão numérica em conexão com soluções de ondas cinemáticas?
What is a linear model in the context of kinematic wave routing? What is a nonlinear model?
O que é um modelo linear no contexto do roteamento de ondas cinemáticas? O que é um modelo não linear?
Why are the results of convex routing dependent on the grid size?
Por que os resultados do roteamento convexo dependem do tamanho da grade?
What is a diffusion wave? How does it differ from a kinematic wave?
O que é uma onda de difusão? Como isso difere de uma onda cinemática?
What is hydraulic diffusivity? Why is it important in flood routing?
O que é difusividade hidráulica? Por que isso é importante no roteamento de inundações?
What values of parameters X and C optimize numerical diffusion and minimize numerical dispersion in the Muskingum-Cunge method?
Quais valores dos parâmetros X e C otimizam a difusão numérica e minimizam a dispersão numérica no método Muskingum-Cunge?
Why are negative values of X entirely possible in Muskingum-Cunge routing? Why are values of X in excess of 0.5 unfeasible?
Por que os valores negativos de X são inteiramente possíveis no roteamento Muskingum-Cunge? Por que valores de X acima de 0,5 são inviáveis?
What is the Courant number? What is the cell Reynolds number?
Qual é o número do Courant? Qual é o número de Reynolds da célula?
Describe the difference between linear and nonlinear solutions to channel routing problems.
Descreva a diferença entre soluções lineares e não lineares para problemas de roteamento de canal.
What is a dynamic wave? How does it differ from the diffusion and kinematic waves?
O que é uma onda dinâmica? Como ele difere da difusão e das ondas cinemáticas?
How does the method of finite differences differ from the method of characteristics? What is a double sweep algorithm?
Como o método das diferenças finitas difere do método das características? O que é um algoritmo de varredura dupla?
Discuss the influence of the loop in the rating in determining whether an open channel flow wave is dynamic in nature.
Discuta a influência do loop na classificação para determinar se uma onda de fluxo de canal aberto é de natureza dinâmica.
What is the Vederkinov number? How does it differ from the Froude number?
Qual é o número de Vederkinov? Qual é a diferença do número Froude?
What is the effect of the inclusion of a dynamic component in diffusion wave modeling?
Qual é o efeito da inclusão de um componente dinâmico na modelagem de ondas de difusão?
PROBLEMAS
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Given the following inflow hydrograph to a certain stream channel reach, calculate the outflow by the Muskingum method. Check your results with ONLINE ROUTING 04.
Dado o seguinte hidrógrafo de entrada para um determinado alcance do canal de fluxo, calcule a vazão pelo método Muskingum. Verifique seus resultados com o ROTEAMENTO ONLINE 04.
Time (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Flow (m3/s) 10 20 40 80 120 150 120 60 50 40 30 20 10 Assume K = 1 h, X = 0.2, and Δt = 1 h.
Assuma K = 1 h, X = 0,2 e ~t = 1 h.
Given the following inflow hydrograph to a certain stream channel reach, calculate the outflow by the Muskingum method. Check your results with ONLINE ROUTING 04.
Dado o seguinte hidrógrafo de entrada para um determinado alcance do canal de fluxo, calcule a vazão pelo método Muskingum. Verifique seus resultados com o ROTEAMENTO ONLINE 04.
Time (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 Flow (m3/s) 100 120 150 200 250 275 250 210 180 150 120 110 100 Assume K = 2.4 h, X = 0.1, and Δt = 3 h.
Suponha K = 2,4 h, X = 0,1 e ~t = 3 h.
Given the following inflow and outflow hydrographs for a certain stream channel reach, calculate the Muskingum parameters K and X.
Dadas as seguintes hidrografias de entrada e saída para um determinado alcance do canal de fluxo, calcule os parâmetros K e X de Muskingum.
Time (h) 0 1 2 3 4 5 Inflow (ft3/s ) 2520 3870 4560 6795 8975 9320 Outflow (ft3/s ) 2520 2643 3598 4500 6367 8295 Time (h) 6 7 8 9 10 11 Inflow (ft3/s ) 7780 6520 5340 4105 3210 2520 Outflow (ft3/s ) 8900 7971 6808 5628 4439 3482 Time (h) 12 13 14 15 16 17 Inflow (ft3/s ) 2520 2520 2520 2520 2520 2520 Outflow (ft3/s ) 2782 2592 2540 2525 2521 2520 Develop a spreadsheet to solve the Muskingum method of stream channel routing, given the following data: (1) an inflow hydrograph of arbitrary shape, (2) baseflow, (3) storage constant K, (4) weighting factor X, and (5) time interval Δt. Test your spreadsheet with Example 9-1 in the text. Check your results with ONLINE ROUTING 04.
Desenvolva uma planilha para resolver o método Muskingum de roteamento de canais de fluxo, com os seguintes dados: (1) um hidrograma de influxo de forma arbitrária, (2) fluxo de base, (3) constante de armazenamento K, (4) fator de ponderação X e (5) ) intervalo de tempo ~t. Teste sua planilha com o Exemplo 9-1 no texto. Verifique seus resultados com o ROTEAMENTO ONLINE 04.
Given the following inflow hydrograph, use the spreadsheet developed in Problem 9-4 to calculate the outflow hydrograph by the Muskingum method.
Dado o hidrograma de entrada a seguir, use a planilha desenvolvida no Problema 9-4 para calcular o hidrograma de saída pelo método Muskingum.
Time (h) 0.00 0.25 0.50 0.75 1.0 1.25 1.50 1.75 2.0 2.25 2.50 2.75 Flow (m3/s) 0 1 2 4 8 10 8 6 4 2 1 0 Assume K = 0.4 h, X = 0.15, and Δt = 0.25 h. Check your results with ONLINE ROUTING 04.
Suponha K = 0,4 h, X = 0,15 e ~t = 0,25 h. Verifique seus resultados com o ROTEAMENTO ONLINE 04.
Develop a spreadsheet to estimate the parameters of the Muskingum method, given a matching set of inflow and outflow hydrographs for a certain channel reach. A suggested algorithm is to search for the value of X that minimizes the root mean square (RMS) of the differences between predicted and measured storage. For this purpose, several values of X (between the range 0.0 to 0.5) are tried. For each trial value, a regression line is fitted to the (measured) storage (calculated using Eq. 9-7) versus weighted flow data, with weighted flow in the abscissas and measured storage in the ordinates. The differences between measured storage and predicted storage, i.e., storage predicted by the regression, are calculated. The RMS is evaluated by the following formula:
Desenvolva uma planilha para estimar os parâmetros do método Muskingum, considerando um conjunto correspondente de hidrogramas de entrada e saída para um determinado alcance do canal. Um algoritmo sugerido é procurar o valor de X que minimiza o quadrado médio da raiz (RMS) das diferenças entre armazenamento previsto e medido. Para esse fim, vários valores de X (entre o intervalo de 0,0 a 0,5) são tentados. Para cada valor de teste, uma linha de regressão é ajustada ao armazenamento (medido) (calculado usando as Eq. 9-7) versus dados de fluxo ponderado, com fluxo ponderado nas abscissas e armazenamento medido nas ordenadas. As diferenças entre armazenamento medido e armazenamento previsto, isto é, armazenamento previsto pela regressão, são calculadas. O RMS é avaliado pela seguinte fórmula:
1
RMS = [ ( ______ ) Σ (S - S' )2 ] 1/2
n - 1 n(9-82) in which S = measured storage, S' = predicted storage, and n = number of values. The X corresponding to the minimum RMS value is the estimated X. The Muskingum parameter K is the slope of the regression line corresponding to the chosen X value. Use Example 9-2 in the text to test your program.
em que S = armazenamento medido, S '= armazenamento previsto en = número de valores. O X correspondente ao valor mínimo de RMS é o X estimado. O parâmetro Muskingum K é a inclinação da linha de regressão correspondente ao valor X escolhido. Use o Exemplo 9-2 no texto para testar seu programa.
Use the data of Problem 9-3 to test further the spreadsheet developed in Problem 9-6.
Use os dados do Problema 9-3 para testar ainda mais a planilha desenvolvida no Problema 9-6.
Route the following flood wave using a linear forward-in-time/backward-in-space numerical scheme of the kinematic wave equation (similar to the convex method).
Encaminhe a seguinte onda de inundação usando um esquema numérico linear para a frente no tempo / para trás no espaço da equação da onda cinemática (semelhante ao método convexo).
Time (min) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Flow (m3/s) 0 1 2 4 8 10 8 4 2 1 0 Assume baseflow 0 m3/s, V = 1m/s, β = 1.5, Δx = 1200 m, and Δt = 10 min.
Assuma o fluxo de base 0 m3 / s, V = 1m / s, ~ = 1,5, ~x = 1200 me ~t = 10 min.
Derive the routing coefficients for a linear forward-in-space/ backward-in-time numerical scheme of the kinematic wave equation.
Derive os coeficientes de roteamento para um esquema numérico linear de avanço no espaço / retrocesso no tempo da equação de onda cinemática.
Use the routing coefficients derived in Problem 9-9 to route the inflow hydrograph of Problem 9-8. Assume a reach length Δx = 800 m.
Use os coeficientes de roteamento derivados no Problema 9-9 para rotear o hidrograma de entrada do Problema 9-8. Suponha um comprimento de alcance ~x = 800 m.
Calculate the β value for a triangular channel with Chezy friction.
Calcule o valor ~ para um canal triangular com atrito Chezy.
A large river of nearly constant width B = 900 m is seen to be rising at the rate of 10 cm/h. At the observation point, a stage measurement indicates that the current value of discharge is 2200 m3/s. What is a rough estimate of the discharge at a point 5 km upstream?
Um rio grande de largura quase constante B = 900 m é visto subindo à taxa de 10 cm / h. No ponto de observação, uma medição de estágio indica que o valor atual da descarga é 2200 m3 / s. Qual é uma estimativa aproximada da descarga em um ponto a 5 km a montante?
Solve Problem 9-12 if the tributary contribution between the two points is estimated to be constant and equal to 225 m3/s.
Resolva o Problema 9-12 se estima-se que a contribuição tributária entre os dois pontos seja constante e igual a 225 m3 / s.
Determine if a flood wave with the following characteristics is a kinematic wave: time-of-rise tr = 6 h, bottom slope So = 0.015, average flow velocity Vo = 1.5 m/s, and average flow depth do = 3 m.
Determine se uma onda de inundação com as seguintes características é uma onda cinemática: tempo de subida tr = 6 h, declive inferior So = 0,015, velocidade média do fluxo Vo = 1,5 m / se profundidade média do fluxo = 3 m.
Determine if a flood wave with the following characteristics is a diffusion wave: time-of-rise
tr = 6 h, bottom slope So = 0.005, and average flow depthdo = 3 m. Determine se uma onda de inundação com as seguintes características é uma onda de difusão: tempo de subida tr = 6 h, inclinação inferior So = 0,005 e profundidade média do fluxo = 3 m.
Program ONLINE_ROUTING_05 solves the Muskingum-Cunge method of flood routing, with routing parameters based on peak flow. Test this program using Example 9-9 in the text.
O programa ONLINE_ROUTING_05 resolve o método de roteamento de inundação Muskingum-Cunge, com parâmetros de roteamento baseados no pico de fluxo. Teste este programa usando o Exemplo 9-9 no texto.
Run ONLINE_ROUTING_05 using the following data: peak discharge = 500 m3/s, time-to-peak = 5 h, time base = 15 h, channel bed slope = 0.0008, flow area corresponding to the peak discharge = 200 m2, channel top width corresponding to the peak discharge = 50 m, rating exponent β = 1.65, reach length = 15 km, time interval Δt = 1 h. Report peak outflow and time-to-peak.
Execute ONLINE_ROUTING_05 usando os seguintes dados: descarga de pico = 500 m3 / s, tempo a pico = 5 h, base de tempo = 15 h, inclinação do leito do canal = 0,0008, área de fluxo correspondente à descarga de pico = 200 m2, largura superior do canal correspondendo ao pico de descarga = 50 m, expoente nominal ~ = 1,65, alcance = 15 km, intervalo de tempo ~t = 1 h. Relatar vazão de pico e tempo a pico.
Given the following inflow hydrograph to a stream channel reach, use ONLINE_ROUTING_05 to calculate the outflow hydrograph.
Dado o seguinte hidrograma de entrada para um alcance de canal de fluxo, use ONLINE_ROUTING_05 para calcular o hidrograma de saída.
Time (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Flow (m3/s) 10 20 40 80 160 320 400 320 240 160 80 40 20 10 Assume channel bed slope = 0.001, flow area corresponding to the peak discharge = 800 m2, channel top width corresponding to the peak discharge = 35 m, rating exponent β = 1.6, reach length = 3 km, and time interval Δt = 1 h.
Assuma a inclinação do leito do canal = 0,001, a área de fluxo correspondente à descarga de pico = 800 m2, a largura superior do canal correspondente à descarga de pico = 35 m, o expoente de classificação ~ = 1,6, alcance de alcance = 3 km e intervalo de tempo ~t = 1 h.
Given the following inflow hydrograph to a channel reach, calculate the outflow hydrographs for: (a) a reach length of 4 km, and (b) for a reach length of 5 km.
Dado o seguinte hidrograma de entrada para um alcance de canal, calcule os hidrogramas de vazão para: (a) um comprimento de alcance de 4 km e (b) para um comprimento de alcance de 5 km.
Time (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Flow (m3/s ) 5 8 12 20 28 33 29 22 19 13 8 6 5 Assume channel bed slope = 0.0015, flow area corresponding to the peak discharge = 42 m2, channel top width corresponding to the peak discharge = 18 m, and rating exponent β = 1.5.
Suponha que a inclinação do leito do canal seja = 0,0015, a área de vazão correspondente à descarga de pico = 42 m2, a largura superior do canal correspondendo à descarga de pico = 18 m e o expoente nominal ~ = 1,5.
Calculate the hydraulic diffusivity for the following flow conditions: channel bed slope = 0.002, mean flow depth 4 m, mean flow velocity 2 m/s, and rating exponent β = 1.6. Compare the two cases: (a) without inertia, and (b) with inertia.
Calcule a difusividade hidráulica para as seguintes condições de fluxo: inclinação do leito do canal = 0,002, profundidade média do fluxo 4 m, velocidade média do fluxo 2 m / se expoente nominal ~ = 1,6. Compare os dois casos: (a) sem inércia e (b) com inércia.
REFERÊNCIAS
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SUGGESTED READINGS
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Cunge, J. A. (1969). "On the Subject of a Flood Propagation Computation Method (Muskingum Method)." Journal of Hydraulic Research, Vol. 7. No.2. 1969, pp. 205-230.
Fread, D. L. (1985). "Channel Routing," in Hydrological Forecasting, M. G. Anderson and T. P. Burt, editors, New York: John Wiley.
Fread, D. L. (1993). "Flow Routing," Chapter 10 in Handbook of Hydrology, D. R. Maidment, editor, New York: McGraw-Hill.
Lighthill, M.J., and Whitham. G. B. (1955). "On Kinematic Waves. I. Flood Movement in Long Rivers," Proceedings of the Royal Society of London, Vol. A229, May, pp. 281-316.
Natural Environment Research Council. (1975). Flood Studies Report. Vol. 5: Flood Routing, London, England, 1975.
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200723 |