[Principio de Energía]   [Energía Específica]   [Fenómenos Locales]   [Cantidad de Movimiento]   [Fuerza Específica]   [Canales no Prismáticos]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]   •   CAPÍTULO 3:  ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 3.1  EL PRINCIPIO DE ENERGÍA [Energía Específica]   [Fenómenos Locales]   [Cantidad de Movimiento]   [Fuerza Específica]   [Canales no Prismáticos]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]   •   [Arriba]   En el flujo permanente en canales se conservan la masa y la energía. Por otro lado, en el flujo no permanente se conservan la masa y la cantidad de movimiento. La energía se expresa en unidades FL (energía = fuerza × distancia). La energía por unidad de peso se expresa en unidades de longitud [L]. Las energías potencial y cinética se pueden expresar en términos de carga, en unidades de profundidad [L]. La Figura 3-1 muestra un canal con pendiente pronunciada, para el cual la carga total H correspondiente a una sección 0, con el punto A en una línea de corriente, se puede expresar de la siguiente manera:                                          VA2 H  =  zA  +  dA cos θ  +   ______                                           2g (3-1) en la cual zA = elevación del punto A por encima de un plano de referencia, dA = profundidad del punto A por debajo de la superficie del agua, θ = ángulo de inclinación del fondo del canal, y VA2/(2g) = carga de velocidad del flujo que pasa por el punto A. Fig. 3-1  Bosquejo que define la energía en un flujo de canales abiertos gradualmente variado (Chow, 1959). Debido a la falta de uniformidad en una sección transversal, la carga de velocidad varía a lo largo de la profundidad y ancho. Para una sección transversal dada, la carga de velocidad está basada en la velocidad media V. El coeficiente de Coriolis (Sección 2.2) se utiliza para explicar la falta de uniformidad en la distribución de velocidades. Esto conduce a la energía total para una sección dada:                                          V 2 H  =  z  +  d cos θ  +  α  _____                                          2g (3-2) Para un canal de poca pendiente, cos θ ≅ 1. Por lo tanto, la energía total se reduce a:                                V 2 H  =  z  +  d  +  α  _____                                2g (3-3) La ley de conservación de la energía entre las secciones transversales 1 y 2 conduce a (Fig. 3-1):                                     V12                                           V22 z1  +  d1 cos θ  +  α1  _____  =  z2  +  d2 cos θ  +  α2  _____  +  hf                                      2g                                             2g (3-4) La línea que representa la carga total es la línea de energía. La pendiente de la línea de energía es Sf. La pendiente de la superficie del agua es Sw y la pendiente del fondo del canal es So, en la cual So = tan θ. Bajo condiciones de flujo uniforme, las tres pendientes son las mismas: Sf = Sw = So . Para un canal de poca pendiente, la Ec. 3-4 se reduce a:                           V12                                  V22 z1  +  y1  +  α1  _____  =  z2  +  y2  +  α2  _____  +  hf                            2g                                    2g (3-5) Para el caso de α1 = α2 ≅ 1, es decir, un canal hidráulicamente ancho, y hf = 0, la Ec. 3-4 se reduce a la ley de la conservación de la energía mecánica, también conocida como la ecuación de Bernoulli:                      V12                             V22 z1  +  y1  +   _____  =  z2  +  y2  +   _____  =  constante                       2g                              2g (3-6) 3.2  ENERGÍA ESPECÍFICA [Fenómenos Locales]   [Cantidad de Movimiento]   [Fuerza Específica]   [Canales no Prismáticos]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]   •   [Arriba]   [Principio de Energía]   La Ecuación 3-6 es válida para un canal de pendiente pequeña. En el límite, cuando el canal es horizontal, o alternativamente, cuando el canal es suficientemente corto, la Ec. 3-6 se reduce a la ley de la conservación de la energía específica. En efecto, para z1 ≅ z2, la Ec. 3-6 se reduce a:             V12                   V22 y1  +   _____  =  y2  +   _____  =  constante             2g                     2g (3-7) La Ecuación 3-7 establece la conservación de la energía específica en un canal horizontal hidráulicamente ancho. La energía específica es:                     V 2                    E  =  y  +   _____                     2g                   (3-8) en la cual E es la energía por unidad de peso, medida con respecto al fondo del canal, definida en términos de la profundidad de flujo y y la carga de velocidad V 2/(2g). Dado que V = Q /A, la energía específica en términos de la descarga es:                        Q 2                    E  =  y  +   _________                     2g A 2                   (3-9) En el flujo permanente, Q es constante y el área de flujo A es una función de la profundidad de flujo y. Por lo tanto, para una Q dada, la energía específica es solamente una función de y. Para una sección transversal y descarga Q dadas, la gráfica de profundidad de flujo y y energía específica E resulta en la curva de energía específica mostrada en la Fig. 3-2. Para cada valor de Q, la curva de energía específica es una función hiperbólica, con un valor mínimo de E y dos extremidades: la inferior AC y la superior BC. Fig. 3-2  Curva de energía específica (Chow, 1959). El valor mínimo de E (en el punto C) representa el estado crítico de flujo, con profundidad crítica. La extremidad inferior AC, con profundidades más pequeñas, describe el flujo supercrítico. Esta extremidad es asintótica al eje horizontal. La extremidad superior BC, con profundidades mayores, describe el flujo subcrítico. Esta extremidad es asintótica a la línea OD de 45° de inclinación, la cual se inicia en el origen (O). Para cualquier punto P en la curva, la abscisa representa la energía específica E y la ordenada representa la profundidad de flujo y. Para una energía específica dada, hay dos puntos en la curva; el de abajo corresponde a un tirante pequeño y el de arriba a un tirante grande. A éstos se les conoce como tirantes alternos. En el punto C, los tirantes alternos se unen en un solo valor, denominado el tirante crítico, para el cual la energía específica es mínima. Cuando el tirante es mayor que el tirante crítico el flujo es subcrítico, y cuando es menor el flujo es supercrítico. La curva AB de la Fig. 3-2 representa la energía específica para una descarga Q dada. La curva A'B' corresponde a una descarga menor, y la curva A"B" a una descarga mayor. Criterio de flujo crítico La Fig. 3-2 muestra que la profundidad crítica (flujo crítico) corresponde a la energía específica mínima. Para comprobar esto, se diferencia la Ec. 3.9 con respecto a y y se iguala a cero:    dE                     Q 2       dA        ______  =  1  -   _______  ______  =  0    dy                    g A 3      dy (3-10) El cambio diferencial en el área de flujo dA es igual al ancho de la parte superior T por el cambio diferencial en la profundidad de flujo dy (Fig. 3-2):   dA = T dy   (3-11) La Ecuación 3-10 se reduce a:  Q 2 Tc               ________  =  1   g Ac 3       (3-12) Dado que Dc = Ac /Tc , y Vc = Q /Ac; la Ec. 3-12 se reduce a:   Vc 2               ______  =  1  g Dc       (3-13) El lado izquierdo de la Ec. 3-13 es el cuadrado del número de Froude (Sección 1-3). Por lo tanto, la condición F 2 = 1, o mejor aún, F = 1, describe la condición de caudal crítico, en la cual la energía específica es mínima. La Ec. 3-13 se puede expresar como sigue:   Vc 2          Dc ______  =  _____    2g            2 (3-14) la cual establece que, bajo flujo crítico, la carga de velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica. La Figura 3-3 muestra un canal cerca del flujo crítico. Fig. 3-3  Un canal cerca del flujo crítico. La Ecuación 3-14 describe la condición de flujo crítico para un canal hidráulicamente ancho (α = 1) con pendiente pequeña. Dado un canal de gran pendiente y con sección transversal arbitraria, la condición de flujo crítico es:       Vc 2         Dc cos θ α  ______  =  __________        2g                2 (3-15) en la cual Dc es la profundidad hidráulica correspondiente al flujo crítico, medida en dirección normal al fondo. Por lo tanto, la condición general del flujo crítico es:               Vc 2           _________________  =  1   (g Dc cos θ) / α                  (3-16) El número de Froude, aplicable a cualquier canal, independientemente de la pendiente y de la sección transversal es:                         V          F  =   _____________________            [ (g D cos θ) / α ]1/2                 (3-17) 3.3  FENÓMENOS LOCALES [Cantidad de Movimiento]   [Fuerza Específica]   [Canales no Prismáticos]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]   •   [Arriba]   [Principio de Energía]   [Energía Específica]   Los cambios del flujo supercrítico a subcrítico, o de flujo subcrítico a supercrítico, ocurren frecuentemente en el flujo en canales, dependiendo de la pendiente del canal y la sección transversal. Los cambios constituyen fenómenos locales cuando ocurren en una distancia relativamente corta. La caída hidráulica y el salto hidráulico son ejemplos de fenómenos locales. La caída hidráulica La caída hidráulica se produce cuando hay una fuerte depresión en la superficie del agua, causada por un cambio brusco en la elevación. La Fig. 3-4 muestra un vertedero libre, ejemplo de caída hidráulica. Fig. 3-4   Un vertedero libre, ejemplo de caída hidráulica. Por lo general, el flujo en la proximidad de un vertedero libre es rápidamente variado; por lo tanto, la profundidad medida en el borde es algo menor que la profundidad crítica calculada por la teoría del flujo paralelo. La Figura 3-5 muestra una ilustración del flujo cerca del borde. El nivel actual de la superficie del agua se muestra con una línea continua, mientras que la curva teórica, asumiendo flujo paralelo, se muestra con una línea discontinua. Para los canales de poca pendiente, la profundidad crítica calculada es de aproximadamente 1.4 veces la profundidad medida en el borde; es decir, yc ≅ 1.4 yo. La profundidad crítica calculada se encuentra aguas arriba a una distancia de alrededor de 3 a 4 veces la profundidad crítica (Chow, 1959). Fig. 3-5  Profundidad crítica cerca de una caída libre (Chow, 1959). El salto hidráulico es causado por un incremento brusco en la superficie del agua. En un salto hidráulico el flujo cambia de supercrítico (aguas arriba) a subcrítico (aguas abajo) y es acompañado por una disipación (pérdida) apreciable de energía. La cantidad de disipación de energía depende de las condiciones del flujo aguas arriba y aguas abajo. El salto ocurre frecuentemente en las siguientes condiciones: Debajo de una compuerta reguladora (Fig. 3-6), En la base (o el pie) de un vertedero, o A lo largo de un canal, cuando la pendiente de fondo cambia repentinamente de alta a baja. Fig. 3-6  El salto hidráulico. La profundidad de flujo aguas arriba del salto se llama profundidad inicial y1, y aguas abajo se llama profundidad secuente y2. Estas profundidades se muestran en la curva de energía específica de la Fig. 3-7. No se deben confundir con las profundidades alternas y1' y y2', las cuales son dos profundidades posibles para una energía específica. La energía específica E1 en la profundidad inicial y1 es mayor que la energía específica E2 en la profundidad secuente y2. La disipación (pérdida) de energía debido al salto hidráulico es igual a la diferencia entre las energías específicas:   ΔE = E1 - E2   (3-18) A la derecha de la Fig. 3-7, se muestra la curva de fuerza específica (Sección 3.5), donde las profundidades secuentes y1 y y2 tienen la misma fuerza específica: F1 = F2. Fig. 3-7  El salto hidráulico ilustrado en las curvas de energía específica y fuerza específica (Chow, 1959). 3.4  CANTIDAD DE MOVIMIENTO [Fuerza Específica]   [Canales no Prismáticos]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]   •   [Arriba]   [Principio de Energía]   [Energía Específica]   [Fenómenos Locales]   La cantidad de movimiento M es igual a una fuerza integrada a lo largo de un período de tiempo, o la masa por la velocidad (Ec. 2-27):   M  =  ∫ F dt  =  m V                 ... [M L T -1 ]   (3-19) El flujo de cantidad de movimiento, o la fuerza F, de un flujo con una velocidad V a través de una sección de área A (Ec. 2-30), se repite a continuación:                 F  =  β ρ V 2 A                 ... [F]                 (3-20) Dado que Q = VA, el flujo de la cantidad de movimiento, o la fuerza F, ejercida por un flujo de descarga Q y velocidad V es:                 F  =  β ρ Q V                 ... [F]                 (3-21) De acuerdo con la segunda ley de Newton, el cambio ΔF en el flujo de cantidad de movimiento a través de un volumen de control es igual a la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre dicho volumen. Las fuerzas externas son: (1) la fuerza sobre el cuerpo, y (2) las fuerzas de superficie. La primera fuerza es la fuerza gravitacional expresada en la dirección del movimiento (la fuerza W sinθ en la Fig. 3-8). Generalmente la pendiente del fondo es diferente de cero; de lo contrario, el fondo del canal sería horizontal y la componente gravitacional en la dirección del movimiento sería nula. Las fuerzas de superficie actúan en tres lugares: (1) en la parte inferior, (2) en los lados, y (3) en la parte superior. La fuerza inferior se debe a la fricción, la cual siempre actúa en la dirección opuesta al flujo (la fuerza Ff en la Fig. 3-8). No existe fricción nula, pero para fines prácticos, es posible ignorar la fricción bajo ciertas condiciones. Las fuerzas de superficie lateral son dos: una aguas arriba, la fuerza P1 en la Fig. 3-8, y otra aguas abajo, la fuerza P2. Estas fuerzas se deben a la presión del agua, la cual puede ser hidrostática bajo flujo paralelo, o no hidrostática bajo flujo curvilíneo convexo o cóncavo (Sección 2.6). La fuerza que actúa en la superficie del agua se debe a la acción del viento. Para el flujo en canales, la fuerza del viento es despreciable, por lo cual generalmente no es considerada. Sin embargo, la fuerza del viento no se puede ignorar en los casos de flujo superficial en lagos u océanos. La conservación de la cantidad de movimiento en un volumen de control está dado por (Fig. 3-8):                 ρ Q (β2V2  -  β1V1)  =  P1  -  P2  +  W sin θ  -  Ff                 ... [F]                 (3-22) En unidades de peso:                 (γ/g) Q (β2V2  -  β1V1)  =  P1  -  P2  +  W sin θ  -  Ff                 ... [F]                 (3-23) Fig. 3-8   Las fuerzas de superficie que actúan sobre un volumen de control (Chow, 1959). La diferencia de flujo de cantidad de movimiento es igual al flujo de la sección 2 menos el flujo de la sección 1. Las fuerzas que actúan sobre el volumen de control son positivas en la dirección del flujo y negativas en dirección opuesta. La Ecuación 3-23 se conoce como la ecuación de balance de cantidad de movimiento o ecuación de cantidad de movimiento. La fuerza P1 del flujo paralelo en un canal rectangular de pendiente pequeña y ancho b es:                 P1  =  (1/2) γ b y12                 ... [F]                 (3-24) De igual manera, la fuerza P2 es:                 P2  =  (1/2) γ b y22                 ... [F]                 (3-25) El peso W del volumen de control (Fig. 3-8) es:                 W  =  (1/2) γ b L (y1  +  y2)                 ... [F]                 (3-26) El peso del volumen de control, expresado a lo largo de la dirección de movimiento (Fig. 3-8), es:                 W sin θ  =  (1/2) γ b (y1  +  y2) (z1  -  z2)                 ... [F]                 (3-27) Bajo condiciones típicas de flujo gradualmente variado, la fuerza de fricción Ff a lo largo del fondo del canal es aproximadamente igual y opuesta a la fuerza gravitacional W sin θ (Ec. 3-27). Por lo tanto, la fuerza de fricción se puede expresar como sigue:                 Ff  =  (1/2) γ b (y1  +  y2) hf'                 ... [F]                 (3-28) en la cual hf' = disipación de altura (pérdida de carga) debida a la fricción. La descarga Q es: Q  =  (1/2) (V1  +  V2) b (1/2) (y1  +  y2)                  ... [L3 T -1]                 (3-29) Sustituyendo las Ecs. 3-24 a 3-29 en la Ec. 3-23 y simplificando los términos, se obtiene la siguiente ecuación:                           V12                                  V22 z1  +  y1  +  β1  _____  =  z2  +  y2  +  β2  _____  +  hf'                            2g                                    2g (3-30) Existen varias diferencias importantes entre las Ec. 3-30 y 3-5: La energía es un escalar, por lo tanto, la Ec. 3-5 es una ecuación escalar. La cantidad de movimiento es un vector, por lo que la Ec. 3-30 se deriva de una ecuación vectorial. Los coeficientes de distribución de velocidades son distintos; los coeficientes de Coriolis se aplican a la Ec. 3-5 y los coeficientes de Boussinesq a la Ec. 3-30. La disipación de energía hf de la Ec. 3-5 mide las pérdidas internas en el volumen de control, mientras que la disipación debida a la fricción hf' de la Ec. 3-30 mide las pérdidas externas debidas a la acción de las fuerzas de superficie. A pesar de que las Ecuaciones 3-5 y 3-30 son similares, no son equivalentes. La Ecuación 3-5 se utiliza para el flujo permanente gradualmente variado, mientras que la Ec. 3-30 se utiliza para el flujo no permanente gradualmente variado . La Ec. 3-30 considera las fuerzas de inercia que se presentan en el flujo no permanente gradualmente variado. El principio de la cantidad de movimiento se aplica a los problemas donde las fuerzas desempeñan un papel preponderante. Por lo general, el principio de conservación de energía se utiliza en casos de flujo permanente gradualmente variado, mientras que el principio de conservación de la cantidad de movimiento se utiliza en el flujo no permanente gradualmente variado. El salto hidráulico, el cual es rápidamente variado, es una excepción. Ambos principios, energía y cantidad de movimiento, se utilizan en la solución del salto hidráulico. 3.5  FUERZA ESPECÍFICA [Canales no Prismáticos]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]   •   [Arriba]   [Principio de Energía]   [Energía Específica]   [Fenómenos Locales]   [Cantidad de Movimiento]   En los canales horizontales, la componente de la fuerza gravitacional a lo largo de la dirección del movimiento es cero. Por lo tanto, para fines prácticos, en los canales casi horizontales, la fuerza gravitacional puede ser ignorada. La fuerza de fricción se desarrolla a lo largo del fondo del canal; por lo tanto, cuanto más largo el canal, mayor es la fuerza de fricción. Para un canal corto, la fuerza de fricción es pequeña y puede ser ignorada. La fuerza de fricción nunca es nula, pero el ignorarla puede justificarse al compararla con el resto de las fuerzas presentes en el flujo de canales. La eliminación de las fuerzas gravitacionales y de fricción en el balance del flujo de la cantidad de movimiento lleva a:                 (γ/g) Q (β2V2  -  β1V1)  =  P1  -  P2                 ... [F]                 (3-31) Asumiendo β1 = β2 = 1, la Ec. 3-31 se reduce a:                 (γ/g) Q (V2  -  V1)  =  P1  -  P2                 ... [F]                 (3-32) Dado que V1 = Q / A1, y V2 = Q / A2:              Q 2          Q 2 (γ/g) ( ______  -  ______ )  =  P1  -  P2                 ... [F]              A2           A1 (3-33) La fuerza de presión P que actúa en una sección de área A y distancia z̄ medida desde el centroide del área hasta la superficie del agua [Fig. 3-9 (b)] es:                 P  =  γ z̄ A                 ... [F]                 (3-34) Fig. 3-9   Curva de fuerza específica (Chow, 1959). Por lo tanto:                 P1  =  γ z̄1 A1                 ... [F]                 (3-35)                 P2  =  γ z̄2 A2                 ... [F]                 (3-36) Sustituyendo las Ecs. 3-35 y 3-36 en la Ec. 3-33, y dividiendo por el peso específico (peso unitario) γ:   Q 2                         Q 2 ______  +  z̄1 A1  =  ______  +  z̄2 A2                 ... [L 3]   gA1                        gA2 (3-37) En general, la fuerza específica se define como sigue:            Q 2 F  =  ______  +  z̄ A                 ... [L 3]            gA (3-38) La Ecuación 3-37 establece que la fuerza específica se conserva en el flujo de canales en un canal horizontal pequeño, es decir, F1 = F2. Nótese que la fuerza específica es una fuerza por unidad de γ (el peso por unidad de volumen); por lo tanto, la fuerza específica tiene las unidades de volumen [L3]. La curva de la fuerza específica que se muestra en la Fig. 3-9 (c) se obtiene graficando F en las abscisas e y en las ordenadas. Esta curva es similar a la curva de la energía específica [Fig. 3-9 (a)], pero con algunas diferencias. La extremidad de AC se acerca al eje horizontal asintóticamente hacia la derecha. La extremidad BC se eleva hacia arriba y se extiende sin límite a la derecha. Dado un valor de la fuerza específica F1, la curva tiene dos profundidades posibles: y1 y y2. Éstas son las profundidades inicial y secuente, respectivamente, de un salto hidráulico. En el punto C [Fig. 3-9 (c)], las profundidades secuentes se unen en una sola profundidad, denominada la profundidad crítica; en este punto, la fuerza específica es la mínima. Esta es la misma profundidad crítica obtenida en base a consideraciones de energía específica; ver Fig. 3-9 (a). El criterio del flujo crítico en la fuerza específica Así como en el caso de la energía específica, para probar que la fuerza específica mínima corresponde al criterio de flujo crítico se debe diferenciar la Ec. 3-38 con respecto a y, lo cual resulta en:    dF                Q 2       dA            d(z̄A) ______  =   -  _______  ______  +   ________  =  0    dy               g A 2      dy               dy (3-39) Para un cambio en la profundidad dy, el cambio correspondiente d(z̄A) en el momento estático del área mojada con respecto a la superficie libre es:                 d(z̄A)  =  [A (z̄  +  dy) + (1/2) T (dy)2]  - z̄A                                  (3-40) Conforme es usual en el cálculo diferencial, el término de segundo orden en la Ec. 3-40 es despreciable. Así:                 d(z̄A)  =  A dy                                  (3-41) Por lo tanto, la Ec. 3-39 se reduce a:    dF                Q 2       dA             ______  =   -  _______  ______  +  A  =  0    dy               g A 2      dy                (3-42) Simplificando la Ec. 3-42:   Q 2       dA             ______  ______  =  A  g A 2      dy                (3-43) Dado que dA /dy = T, Q /A = V, y A /T = D, la Ec. 3-43 se reduce a:   V 2                    ______  =  1  g D                      (3-44) el cual es el cuadrado del número de Froude:             Vc 2                    F 2  =  ______  =  1            g Dc                      (3-45) La Ecuación 3-45 es el criterio de flujo crítico, aplicable tanto a curvas de energía específica como a curvas de fuerza específica (cantidad de movimiento específica). Cabe mencionar que la profundidad secuente y2 es siempre menor que la profundidad alterna alta y2' (Fig. 3-7). Además, la energía E2 es siempre menor que la energía E1, mientras que la fuerza específica F2 sigue siendo igual a la fuerza específica F1 [Fig. 3-7 y Fig. 3-9 (c)]. A fin de mantener una fuerza específica constante, la profundidad de flujo debe incrementarse de y1 a y2, con la disipación de una cierta cantidad de energía. La disipación (pérdida) de energía es igual a: ΔE = E1 - E2. Esta situación ocurre en el salto hidráulico, donde las fuerzas específicas antes y después del salto son iguales, pero con la consecuente disipación de energía (Fig. 3-10). Fig. 3-10  El salto hidráulico. Fuerza específica por unidad de ancho del canal En un canal hidráulicamente ancho o, en su defecto, en un canal rectangular, la fuerza específica por unidad de ancho b es:  F          q 2         y 2 ___  =  _____  +  _____                 ... [L 2]  b          gy           2 (3-46) en la cual q = Q /b. La fuerza específica por unidad de ancho del canal b, se puede describir en términos de velocidad media V = q/y, como sigue:  F          V 2y           y 2 ___  =  _______  +  _____                 ... [L 2]  b             g             2 (3-47) Fuerza específica en unidades de fuerza En unidades de fuerza, la fuerza específica es:             γQ 2 γF  =  _______  +  γ z̄ A                 ... [F]               gA (3-48) En unidades de fuerza, la fuerza específica por unidad de ancho es:  γF          γq 2         γy 2 ____  =  ______  +  ______                 ... [F L -1]   b            gy             2 (3-49) En unidades de fuerza, y en términos de velocidad media V, la fuerza específica por unidad de ancho b es:  γF          γV 2y           γy 2 ____  =  _________  +  _____                 ... [F L -1]   b               g               2 (3-50) Ejemplo 3-1:   Ecuación del salto hidráulico Derivar la relación entre la profundidad inicial (y1) y secuente (y2) en un salto hidráulico (Eq. 9-13) en un canal rectangular de lecho horizontal (Fig. 3-11). Fig. 3-11  Disipación de energía en el salto hidráulico. De la ecuación 3-47, el balance de la fuerza específica entre aguas arriba y aguas abajo en un salto hidráulico es:   V1 2y1          y1 2         V2 2y2          y2 2 _________  +  _____  =  _________  +  _____                       g                 2              g                2 (3-51) Reemplazando F1 = V1 /(gy1)1/2:     y2                                  y2 ( ____ )3  -  (2 F12  +  1) ( ____ )  +  2 F12  =  0                      y1                                  y1 (3-52) Factorizando:       y2             y2                         y2 [ ( ____ )2  -  ( ____ )  +  2 F12 ] ( ____  -  1 ) =  0                        y1             y1                         y1 (3-53) La solución de la ecuación cuadrática entre corchetes es:   y2         1                                ____  =  ____  [ (1  +  8 F1 2 )1/2  -  1 ]   y1         2                                      (3-54) la cual es la misma que la Ec. 9-13. 3.6  CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN CANALES NO PRISMÁTICOS [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]   •   [Arriba]   [Principio de Energía]   [Energía Específica]   [Fenómenos Locales]   [Cantidad de Movimiento]   [Fuerza Específica]   El principio de conservación de la cantidad de movimiento puede aplicarse a canales no prismáticos en el caso de que las fuerzas externas sean despreciables o conocidas de antemano. Este principio es particularmente aplicable al salto hidráulico, en el cual las grandes pérdidas internas que ocurren no pueden ser evaluadas completamente utilizando solamente el principio de la energía. El ejemplo que sigue ilustra cómo puede aplicarse el principio de la cantidad de movimiento al diseño de una transición (Chow, 1959). En este caso, el flujo aguas arriba es supercrítico y el flujo aguas abajo subcrítico; por lo tanto, es posible que se forme un salto hidráulico en algún lugar de la transición. Nótese que el salto puede ser evitado modificando la sección del canal en la transición; por ejemplo, elevando el fondo, como se muestra en la parte (b) del ejemplo. Ejemplo 3-2:   Diseño de una transición de flujo supercrítico a subcrítico Un canal rectangular de 8 pies de ancho transporta 100 pies cúbicos por segundo a una profundidad de 0.5 pies. El canal está conectado a través de una transición de 50 pies de largo a otro canal, de 10 pies de ancho, el cual fluye a una profundidad de 4 pies. Se trata de diseñar la transición, incluyendo el cálculo del perfil de flujo. Asumir que la fricción en la transición, así como otras pérdidas menores, son despreciables (ver Sección 7.6). Solución. Utilizar la Ec. 3-9 para calcular la energía total en el extremo aguas arriba de la transición: Ear = 10.214 pies. Del mismo modo, la energía total en el extremo aguas abajo es:   Eab = 4.097 pies. La diferencia entre estos dos valores es la pérdida de energía, o pérdida de carga:  ΔE = Ear - Eab = 6.117 pies. Esta energía debe ser disipada por la transición de alguna manera. Se consideran los siguientes casos: Disipación súbita de energía, Fig. 3-12 (a), con la ocurrencia del salto hidráulico en algun lugar de la transición; y Disipación gradual de energía, Fig. 3-12 (b), evitándose el salto prescribiendo la elevación del fondo de la transición de una manera específica. A. Disipación súbita de energía. Los números de Froude aguas arriba y aguas abajo (Eq. 1-9) son, respectivamente: Far = 6.23, y Fab = 0.22. Por lo tanto, el flujo cambiará de supercrítico a subcrítico dentro de la transición. Si el fondo del canal es horizontal, como se muestra en la Fig. 3-12 (a), el cambio se llevará a cabo a través de un salto hidráulico. Por el contrario, si se construye una protuberancia en el fondo del canal, como se muestra en la Fig. 3-12 (b), el cambio será gradual, evitándose así el salto hidráulico. Fig. 3-12  Los principios de energía y cantidad de movimiento aplicados al flujo en una transición: (a) con salto hidráulico, y (b) sin salto hidráulico (Chow, 1959) (Haga click -aquí- para desplegar). La Tabla 3-1 muestra los cálculos de la transición con salto hidráulico. A continuación se describen cada una de las columnas. La Columna 1 muestra once (11) estaciones, numeradas de 0 a 10 y espaciadas a intervalos de 5 pies; La Columna 2 muestra la distancia acumulada, medida del extremo aguas arriba. La Columna 3 muestra el ancho de fondo, el cual varía linearmente del extremo aguas arriba al de aguas abajo. La Columna 4 muestra el tirante bajo y1 (supercrítico), correspondiente a la energía total aguas arriba Ear. Estos valores han sido calculados por iteración, usando la Ec. 3-9. La Columna 5 muestra la fuerza específica (F1), correspondiente a los tirantes bajos (y1) de la Columna 4. Estos valores han sido calculados usando la Ec. 3-38. La Columna 6 muestra el tirante alto y2' (subcrítico), correspondiente a la energía total aguas abajo Eab. Estos valores han sido calculados por iteración, usando la Ec. 3-9. La Columna 7 muestra la fuerza específica (F2), correspondiente a los tirantes altos (y2') de la Columna 6. Estos valores han sido calculados usando la Ec. 3-38. Tabla 3-1  Cálculos de la transición con salto hidráulico. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Sección No. Distancia del extremo aguas arriba (pies) Ancho de fondo b (pies) Energía total aguas arriba: Ear = 10.214 pies Energia total aguas abajo: Eab = 4.097 pies Tirante bajo y1 (pies) Fuerza específica F1 (pies3) Tirante alto y2' (pies) Fuerza específica F2 (pies3) 0 0 + 00 8.0 0.500 78.71 3.941 71.98 1 0 + 05 8.2 0.487 78.75 3.949 73.53 2 0 + 10 8.4 0.476 78.77 3.956 75.10 3 0 + 15 8.6 0.464 78.79 3.963 76.66 4 0 + 20 8.8 0.453 78.81 3.970 78.24 5 0 + 25 9.0 0.443 78.83 3.976 79.82 6 0 + 30 9.2 0.433 78.86 3.981 81.40 7 0 + 35 9.4 0.424 78.87 3.986 82.98 8 0 + 40 9.6 0.415 78.89 3.991 84.58 9 0 + 45 9.8 0.406 78.90 3.996 86.17 10 0 + 50 10.0 0.398 78.91 4.000 87.77 La Tabla 3-1 muestra que la fuerza específica para los tirantes bajos (Col. 5) varía poco a lo largo de la transición, mostrando un valor medio de aproximadamente 78.8 pies cúbicos. Por otro lado, la fuerza específica para los tirantes altos (Col. 7) varía en un rango mucho mayor, desde un valor mínimo de 71.98 pies cúbicos en el extremo de aguas arriba, hasta un máximo de 87.77 pies cúbicos en el extremo de aguas abajo. El salto hidráulico (Sección 9.4) debe ocurrir en la intersección de las curvas de fuerza específica [Fig. 3-12 (a)]; en este caso, cerca de la mitad de la transición. Allí la superficie del agua saltará del tirante bajo al alto, como lo indica la línea vertical de la Fig. 3-12 (a). [En la realidad, el salto ocurre a lo largo de una distancia corta, tal como lo muestra la línea punteada]. La pérdida de energía debida al salto es la diferencia entre las cargas hidráulicas aguas arriba y aguas abajo: ΔE = 6.117 pies. La intersección de las curvas de fuerza específica, es decir, la posición del salto, puede cambiarse variando el ancho de las secciones transversales. Adicionalmente, la posición del salto puede cambiarse variando ligeramente la profundidad de flujo inmediatamente aguas abajo (es decir, al final) de la transición. Generalmente, un pequeño aumento en la profundidad aguas abajo moverá el salto hacia aguas arriba; por el contrario, una pequeña reducción en la profundidad moverá el salto hacia aguas abajo. B. Disipación gradual de energía. El salto hidráulico puede evitarse disipando la energía en forma gradual. Esto puede lograrse variando el ancho de la sección transversal, o mejor aún, prescribiendo la elevación del fondo de la transición de tal manera que la línea de energía corresponda a una recta que une las cargas totales en los dos extremos [Fig. 3-12 (b)]. Es recomendable asumir primero el perfil de flujo y luego calcular las dimensiones del fondo elevado siguiendo las leyes hidráulicas respectivas. Se recomiendan los siguientes pasos: El perfil de la superficie de agua se puede especificar apropiadamente en forma de dos parábolas iguales reflejadas, una atrás y la otra adelante, unidas en el punto medio de la transición y colocadas de manera que: La parábola de atrás sea tangente al flujo en el extremo aguas arriba; La parábola de adelante sea tangente al flujo en el extremo aguas abajo; y Las dos parábolas sean tangentes entre sí en el punto medio de la transición (véase la Sección 7.6). Asumir una caída uniforme en la línea de energía a través de la transición, como se muestra en la Fig. 3-12 (b). Seleccionar una cantidad de secciones adecuada (en este ejemplo, 11 secciones). En cada sección: Calcular la carga total de acuerdo a lo asumido en el paso 2. Calcular la carga de velocidad, es decir, la diferencia entre la carga total y la elevación del perfil de agua. Calcular la velocidad, área, y profundidad de flujo. Calcular la elevación de la protuberancia del fondo, igual a la elevación del perfil de agua menos la profundidad de flujo. Calcular la profundidad alterna. Calcular los valores de fuerza especifica; F1 para el tirante bajo, y F2 para el tirante alto. Graficar estos valores usando una escala apropiada; ver Fig. 3-12 (b). La Tabla 3-2 muestra los cálculos de la transición sin salto hidráulico. Nótese lo siguiente: La Columna 1 muestra once (11) estaciones, numeradas del 0 al 10, y espaciadas 5 pies entre ellas. La Columna 2 muestra la distancia acumulada, medida del extremo aguas arriba. La Columna 3 muestra el ancho de fondo b. La Columna 4 muestra la carga total H. La Columna 5 muestra la elevación del perfil de agua, aproximada como dos parábolas reflejadas. Por ejemplo, para la parábola de atrás/adelante, la subida/caída en la elevación de la superficie del agua se calcula como sigue: Δw = (b /a 2) (∑Δx)2 (3-55) en la cual a = mitad de la longitud de la transición (en este caso, a = 25); b = mitad de la caída en la elevación de la superficie del agua (en este caso, b = 1.75); y ∑Δx = distancia acumulada (para cada parábola). Por ejemplo, para la Sección 0 + 05 (parábola de atrás), la subida es: Δw0 + 05 = (1.75 / 252) (5)2 = 0.07 pies y, por lo tanto, la elevación de la superficie del agua (Col. 3) es:  0.5 + 0.07 = 0.57 pies. Para la Sección 0 + 45 (parábola de adelante), la caída es: Δw0 + 45 = (1.75 / 252) (5)2 = 0.07 pies y, por lo tanto, la elevación de la superficie del agua (Col. 3) es:  4.0 - 0.07 = 3.93 pies. La Columna 6 muestra la carga de velocidad hv = V 2/(2g), calculada como la diferencia entre la carga total (Col. 4) y la elevación de la superficie del agua (Col. 5). La Columna 7 muestra la velocidad V = (2ghv)1/2 La Columna 8 muestra el área A = Q /V La Columna 9 muestra el tirante bajo y1 = A /b La Columna 10 muestra el tirante crítico yc = [Q2 /(g b2)]1/3 La Columna 11 muestra la elevación z de la protuberancia en el fondo de la transición, calculada como la diferencia entre la elevación de la superficie del agua (Col. 5) y el tirante y1 (Col. 9). La Columna 12 muestra el tirante alto (alterno) y2', calculado por iteración de la definición de carga hidráulica total:                              Q 2 H  =  y2'  +  _______________                        2g (y2' b)2 (3-56) La Columna 13 muestra la fuerza específica F1 correspondiente al tirante bajo y1, calculado con la Ec. 3-38. La Columna 14 muestra la fuerza específica F1 correspondiente al tirante alto (alterno) y2', calculado con la Ec. 3-38. Tabla 3-2  Cálculos de la transición sin salto hidráulico. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) Sec. No. Dist. de aguas arriba (pies) b (pies) H (pies) W.S. Elev. (pies) V 2/(2g) (pies) V (pies/ seg) A (pies2) y1 (pies) yc (pies) z (pies) y2' (pies) F1 (pies3) F2 (pies3) 0 0 + 00 8.00 10.214 0.50 9.714 25.000 4.000 0.500 1.694 0.000 10.191 78.71 419.15 1 0 + 05 8.2 9.602 0.57 9.032 24.107 4.148 0.506 1.666 0.064 9.577 75.985 419.208 2 0 + 10 8.4 8.991 0.78 8.211 22.984 4.351 0.518 1.639 0.262 8.963 72.573 341.554 3 0 + 15 8.6 8.379 1.13 7.249 21.596 4.63 0.538 1.614 0.592 8.349 68.378 304.044 4 0 + 20 8.8 7.767 1.62 6.147 19.888 5.028 0.571 1.589 1.049 7.734 63.257 267.727 5 0 + 25 9.0 7.156 2.25 4.906 17.766 5.629 0.625 1.566 1.625 7.118 56.985 232.825 6 0 + 30 9.2 6.544 2.88 3.664 15.354 6.513 0.708 1.543 2.172 6.500 50.032 199.573 7 0 + 35 9.4 5.932 3.37 2.562 12.839 7.788 0.829 1.521 2.541 5.881 43.138 168.195 8 0 + 40 9.6 5.321 3.72 1.601 10.148 9.854 1.026 1.5 2.694 5.260 36.602 138.937 9 0 + 45 9.8 4.709 3.93 0.779 7.079 14.127 1.441 1.479 2.489 4.633 32.186 112.042 10 0 + 50 10.0 4.097 4.00 0.097 2.500 40.000 4.000 1.459 0.000 0.500 87.771 63.420 El flujo crítico sobre la protuberancia ocurre a la distancia, medida desde el extremo aguas arriba, en la cual el tirante del flujo (Col. 9) es igual al tirante crítico (Col. 10). En este ejemplo, la distancia es X = 45.26 pies, y el tirante en la sección de flujo crítico es: y = yc = 1.478 pies. [Este resultado fue obtenido usando using ENLÍNEA TRANSICIÓN DISEÑO SUPERCRÍTIC0 B con una resolución de N = 100 tramos]. La Figura 3-12 (b) muestra el perfil de la protuberancia de fondo necesaria para proporcionar una caída gradual en la línea de energía, evitando así el salto hidráulico. Cabe notar que las curvas de fuerza específica se intersectan en la vecindades de sección de flujo crítico (Tabla 3-2). Fig. 3-12  Los principios de energía y cantidad de movimiento aplicados al flujo en una transición: (a) con salto hidráulico, y (b) sin salto hidráulico (Chow, 1959) (Haga click -aquí- para desplegar). PREGUNTAS [Problemas]   [Bibliografía]   •   [Arriba]   [Principio de Energía]   [Energía Específica]   [Fenómenos Locales]   [Cantidad de Movimiento]   [Fuerza Específica]   [Canales no Prismáticos]   ¿Cuál es la diferencia entre energía total y energía específica? ¿Cuál es el flujo crítico en términos de la energía específica? ¿A que se debe la caída hidráulica? ¿Por qué la profundidad de flujo en un vertedero de caída libre es menor que la profundidad crítica? ¿A que se debe el salto hidráulico? ¿Porqué la cantidad de movimiento es no permanente? ¿Cuál es la fuerza de cuerpo (de agua) considerada en el flujo en canales? ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de cuerpo (de agua) en un canal horizontal? ¿Cuál es la diferencia entre las profundidades alternas y secuentes? ¿Dónde se aplica la fuerza específica? ¿Para qué tipo de problemas se usa la fuerza específica? PROBLEMAS [Bibliografía]   •   [Arriba]   [Principio de Energía]   [Energía Específica]   [Fenómenos Locales]   [Cantidad de Movimiento]   [Fuerza Específica]   [Canales no Prismáticos]   [Preguntas]   Derivar la relación para el flujo q por unidad de ancho bajo una compuerta, en función de la profundidad aguas arriba y1 y la de aguas abajo y3 (Fig. 3-12). Fig. 3-12  Flujo bajo una compuerta. [Vea también Video de laboratorio:  Compuerta]. Demostrar que la ecuación derivada del problema anterior (Problema 1) es matemáticamente equivalente a la ecuación basada en y1 y y2 utilizada en CANAL EN LÍNEA 13. Utilizando el principio de la energía específica, derivar la fórmula para el ancho adimensional de una contracción por el cual se fuerza el flujo crítico (Fig. 3-13) [Henderson (1966), p. 267].            bc            (27)1/2 F1              σ  =  _____  =  _______________            b1          (2 + F12) 3/2               (3-55) Fig. 3-13  Contracción de ancho crítico utilizando energía específica. Usar CANAL EN LÍNEA 17 para calcular el ancho de garganta bc para las siguientes condiciones aguas arriba:   y1 = 2.2 m, v1 = 1.2 m/s, y b1 = 3.2 m. ¿Cuál sería el ancho de la garganta si el ancho del canal aguas arriba es b1 = 2.2 m? Usando el principio de la fuerza específica, demostrar que la fuerza fo (en kN/m) ejercida por una obstrucción ubicada en el lecho de un canal hidráulicamente ancho es:                         1 - α 2                     1 fo  =  - γ y12 [ ________  +  ( 1  -   _____ ) F12 ]                             2                         α (3-56) en la cual γ = peso unitario del agua, F1 = número de Froude aguas arriba, y1 = profundidad del flujo aguas arriba, y α = y2/y1, donde y2 = profundidad del flujo aguas abajo (después de la obstrucción). Dado que q = 1.5 m2/s, v1 = 1.0 m/s, y α = 0.91, calcule la fuerza fo. Asumiendo que el flujo va de izquierda a derecha, en qué dirección está actuando la fuerza fo? Usando el principio de la fuerza específica, derivar la fórmula para el ancho adimensional de una contracción de canal, el cual fuerza el flujo crítico a través de él (Fig. 3-14) [modificado de Henderson (1966), p. 267].            bc                (3)3/4 F3              σ  =  _____  =  _________________            b3           (1 + 2 F32) 3/4               (3-57) Fig. 3-14  Contracción de ancho crítico usando fuerza específica. Usando ENLíNEA CONTRACCIÓN LÍMITE, calcular los coeficientes de contracción límite utilizando ambos principios de energía y cantidad de movimiento, para un número de Froude F = 0.3. Usando ENLíNEA CONJUNTO CONTRACCIÓN LÍMITE, calcular los coeficientes de contracción límite utilizando ambos principios de energía y cantidad de movimiento, para números de Froude en el rango 0.1 ≤ F ≤ 2.0, a intervalos de 0.1. Un salto hidráulico sumergido ocurre inmediatamente aguas abajo de una compuerta en un canal rectangular. Utilizando el principio de la cantidad de movimiento, demostrar que la relación de profundidad sumergida ys entre la profundidad aguas abajo y2 es:   ys                                         y2   _____  =  [ 1  +  2 F22 ( 1  -  _____ ) ] 1/2   y2                                         y1               (3-58) Fig. 3-15  El salto hidráulico sumergido aguas abajo de una compuerta. Verificar la Tabla 3-1 usado ENLÍNEA TRANSICIÓN DISEÑO SUPERCRÍTICO A. Verificar la Tabla 3-2 usando ENLÍNEA TRANSICIÓN DISEÑO SUPERCRÍTICO B. Dados los siguientes datos: Descarga = 125 pies cúbicos por segundo; ancho de fondo aguas arriba = 8 pies; profundidad aguas arriba = 0.5 pies, ancho de fondo aguas abajo = 16 pies; longitud de la transición = 50 pies. ¿Cuál debe ser la profundidad de flujo aguas abajo (con una precisión de 0.1 pies) para que el salto hidráulico ocurra aproximadamente en el centro de la transición (Sección 0 + 25)? Dados los siguientes datos: Descarga = 125 pies cúbicos por segundo; ancho de fondo aguas arriba = 8 pies; profundidad de flujo aguas arriba = 0.5 pies; ancho de fondo aguas abajo= 12 pies; profundidad aguas abajo = 4 pies; longitud de la transición = 50 pies. Diseñar una transición de flujo supercrítico a subcrítico sin salto hidráulico. Dados los siguientes datos: Descarga = 400 pies cúbicos por segundo; ancho de fondo aguas arriba = 12 pies; profundidad aguas arriba = 1 pie, ancho de fondo aguas abajo = 32 pies; longitud de la transición = 100 pies. ¿Cuál debe ser la profundidad de flujo aguas abajo (con una precisión de 0.1 pies) para que el salto hidráulico ocurra aproximadamente en el medio de la transición (Sección 0 + 50)? BIBLIOGRAFÍA •   [Arriba]   [Principio de Energía]   [Energía Específica]   [Fenómenos Locales]   [Cantidad de Movimiento]   [Fuerza Específica]   [Canales no Prismáticos]   [Preguntas]   [Problemas]   Chow, V. T. 1959. Open-channel Hydraulics. McGraw Hill, Nueva York. Henderson, F. M. 1966. Open channel flow. Macmillan, Nueva York. http://hidraulicadecanales.sdsu.edu 170820 08:45