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CAPÍTULO 3: PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA E MOMENTO |
3.1 PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Sob um fluxo constante, a massa e a energia não variam no escoamento dos canais, enquanto que sob um fluxo instável, a massa e o momento passam a não variar. A energia é expressa em unidades de energia (ou seja, força × distância) [FL]. A energia por unidade de peso é expressa em unidades de comprimento [L]. A energia potencial e a cinemática podem ser expressas em termos de carga, em unidades de profundidade vertical [L].
Com referência ao canal de grande declividade da Fig. 3-1, a carga total H na seção 0, que contém o ponto A em uma linha de corrente, pode ser escrita da seguinte forma:
VA2 H = zA + dA cos θ + ______ 2g | (3-1) |
Em que: zA é a elevação do ponto A acima de um plano de referência;
dA é a profundidade do ponto A;
θ é o ângulo de inclinação do fundo do canal;
VA2/(2g) é a carga de velocidade do fluxo na linha de corrente que passa pelo ponto A.
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Devido à não uniformidade da seção transversal, a carga de velocidade tende a variar ao longo da profundidade e da largura do fluxo. Na prática, em uma determinada seção transversal, a carga de velocidade é baseada na velocidade média V para essa seção transversal, e o coeficiente de Coriolis (Seção 2.2) é usado para explicar a não uniformidade na distribuição de velocidade. Isso leva à energia total da seção do canal:
V 2 H = z + d cos θ + α _____ 2g | (3-2) |
Para um canal de pequena inclinação, cos θ ≅ 1. Assim, a energia total reduz-se a:
V 2 H = z + d + α _____ 2g | (3-3) |
A partir da conservação de energia entre as seções transversais 1 e 2 (Fig. 3-1), segue que:
V12 V22 z1 + d1 cos θ + α1 _____ = z2 + d2 cos θ + α2 _____ + hf 2g 2g | (3-4) |
Em que: hf = perda de energia.
A linha que representa a carga total é a linha de energia. A declividade da linha é o gradiente de energia, ou Sf . A declividade da superfície da água é indicada por Sw e a inclinação do fundo do canal é So (sendo So = tan θ). Sob condições de fluxo uniforme, todas as três declividades são iguais (Sf = Sw = So).
Para um canal de pequena declividade, a Eq. 3-4 se reduz para:
V12 V22 z1 + y1 + α1 _____ = z2 + y2 + α2 _____ + hf 2g 2g | (3-5) |
Quando α1 = α2 ≅ (em um canal hidraulicamente amplo), e hf = 0, a Eq. 3-5 se reduz à lei da conservação de energia ou à equação de Bernoulli:
V12 V22 z1 + y1 + _____ = z2 + y2 + _____ = constante 2g 2g | (3-6) |
[Veja também o vídeo do laboratório: Fluxo sob comportas ].
3.2 ENERGIA ESPECÍFICA
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A Eq. 3-6 é aplicável para um canal de pequena declividade. No limite, quando o canal é horizontal, ou aproximadamente, quando o canal é suficientemente curto, a Eq. 3-6 torna-se simplificada para a lei da conservação de energia específica. Efetivamente, para z1 ≅ z2, a Eq. 3-6 se reduz para:
V12 V22 y1 + _____ = y2 + _____ = constante 2g 2g | (3-7) |
A Equação 3-7 indica a constância de energia específica em um canal horizontal hidraulicamente amplo. A energia específica é:
V 2 E = y + _____ 2g | (3-8) |
Em que: E é a energia por unidade de peso, medida em relação ao fundo do canal, definida em termos da profundidade do fluxo y e da carga de velocidade V 2/(2g).
Já que V = Q /A, a energia específica em termos de vazão é:
Q 2 E = y + _________ 2g A 2 | (3-9) |
Como Q é uma constante que se encontra sob fluxo constante e a área de fluxo A é sempre uma função exclusiva da profundidade do fluxo y , a energia específica para uma dada vazão Q é apenas uma função de y.
Para uma determinada seção transversal e uma vazão Q, o gráfico da profundidade do fluxo y versus energia específica E leva à curva de energia específica. Uma curva típica é mostrada na Fig. 3-2. Para um dado Q , a curva de energia específica é um tipo de função hiperbólica, apresentando um valor mínimo de E e dois membros, um membro inferior AC e um membro superior BC.
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O valor mínimo de E no ponto C caracteriza o estado crítico do fluxo, com profundidade crítica. O membro inferior AC, com profundidades menores, descreve o fluxo supercrítico. Este membro é assintótico ao eixo horizontal. O membro superior BC, com profundidades maiores, descreve o fluxo subcrítico. Este membro é assintótico a um OD de 45° da linha que se origina na origem (O). Em qualquer ponto P da curva, a abcissa representa a energia específica E e ordena a profundidade do fluxo y.
Para uma determinada energia específica, existem dois pontos na curva, um correspondente ao estágio baixo (profundidade pequena) e outro correspondente ao estágio alto (profundidade grande). Essas profundidades são chamadas de profundidades alternativas . As profundidades alternativas se encontram no ponto C referente à profundidade crítica. Nesse ponto, a energia específica é mínima. Quando a profundidade do fluxo é maior que a profundidade crítica, o fluxo é denominado subcrítico. Quando a profundidade do fluxo é menor que a profundidade crítica, o fluxo é denominado supercrítico. Para uma vazão Q, a curva de energia específica é a curva AB na Fig. 3-2. Para uma vazão menor, a curva é a A'B' e para uma descarga maior, ela é a A"B".
Critério de fluxo crítico
Na Fig. 3-2, a profundidade crítica (fluxo crítico) corresponde à energia específica mínima. Para provar esta afirmação matematicamente, diferencie a Eq. 3-9 em relação a y e igual a zero, para produzir:
dE Q 2 dA ______ = 1 - _______ ______ = 0 dy g A 3 dy | (3-10) |
Por definição, a variação diferencial na área de fluxo dA é igual à largura superior T multiplicada pela variação diferencial na profundidade do fluxo dy (Fig. 3-2):
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dA = T dy | (3-11) |
Assim, a Eq. 3-10 se reduz para:
Q 2 Tc ________ = 1 g Ac 3 | (3-12) |
Como Dc = Ac /Tc e Vc = Q /Ac, a Eq. 3-12 se reduz para:
Vc 2 ______ = 1 g Dc | (3-13) |
O lado esquerdo da Eq. 3-13 é efetivamente o quadrado do número de Froude (Seção 1-3). Assim, a condição F 2 = 1, ou ainda, F = 1, descreve adequadamente a condição do fluxo crítico, para o qual a energia específica é mínima. Alternativamente, a Eq. 3-13 pode ser expresso da seguinte forma:
Vc 2 Dc ______ = _____ 2g 2 | (3-14) |
Afirma-se então que, sob fluxo crítico, a carga de velocidade é igual à metade da profundidade hidráulica. A Figura 3-3 mostra um canal operando no fluxo quase crítico.
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A Equação 3-14 descreve a condição crítica do escoamento para um canal de pequena declividade que é hidraulicamente largo (α = 1). Em geral, para um canal de grande declividade e forma de seção transversal arbitrária, a condição crítica de fluxo é:
Vc 2 Dc cos θ α ______ = __________ 2g 2 | (3-15) |
Em que: Dc é a profundidade hidráulica correspondente ao fluxo crítico, medida à normal em relação ao fundo do canal.
Assim, a condição geral de fluxo crítico é:
Vc 2 _________________ = 1 (g Dc cos θ) / α | (3-16) |
A definição geral para o número de Froude F, aplicável a qualquer canal, independentemente da inclinação e da forma da seção transversal, é:
V F = _____________________ [ (g D cos θ) / α ]1/2 | (3-17) |
3.3 FENÔMENOS LOCAIS
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As alterações do fluxo supercrítico para subcrítico, ou do fluxo subcrítico para supercrítico, ocorrem frequentemente no fluxo de canais, dependendo da inclinação e da seção transversal do canal prevalecente. Se as mudanças ocorrem a uma distância relativamente curta, elas constituem fenômenos locais. A queda hidráulica e o ressalto hidráulico são exemplos de fenômenos locais.
Queda hidráulicaA queda hidráulica é desencadeada por uma forte depressão na superfície da água, geralmente causada por uma mudança abrupta na elevação do fundo. A queda livre mostrada na Fig. 3-4 é um exemplo de queda hidráulica.
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O fluxo na proximidade de uma queda livre geralmente varia rapidamente. Portanto, a profundidade do limiar é um pouco menor que a profundidade crítica calculada pela teoria do fluxo paralelo. A Figura 3-5 mostra um esquema do fluxo próximo ao limiar. A curva real de rebaixamento é mostrada com uma linha sólida, enquanto a curva teórica da superfície da água, assumindo fluxo paralelo, é mostrada com uma linha tracejada. Para canais de pequena inclinação, a profundidade crítica calculada é cerca de 1,4 vezes a profundidade da borda; ou seja,
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Ressalto hidráulico
O ressalto hidráulico é acionado por um aumento abrupto na superfície da água, à medida que o escoamento avança para jusante. Em um ressalto hidráulico, o fluxo muda de supercrítico à montante para subcrítico à jusante, acompanhado por uma perda considerável de energia.
O ressalto ocorre frequentemente em uma das seguintes situações:
Abaixo do portão de uma eclusa (Fig. 3-6);
No pé de um vertedor (à sua jusante);
Ao longo do canal onde a inclinação inferior muda repentinamente de íngreme para suave.
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A profundidade do fluxo antes do ressalto é chamada de profundidade inicial y1, enquanto a profundidade de fluxo após o ressalto é chamado de profundidade sequencial y2. As profundidades inicial e sequencial y1 e y2 são mostradas na curva de energia específica da Fig. 3-7. Eles devem ser distinguidos das profundidades alternativas y1' and y2', que são duas profundidades possíveis para a mesma energia específica.
A energia específica de E1 em uma profundidade inicial y1 é maior do que a energia específica de E2 na profundidade sequencial y2. A perda de energia devido ao ressalto hidráulico é a diferença entre energias específicas para profundidades iniciais e sequenciais:
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ΔE = E1 - E2 | (3-18) |
Sabe-se também que, à direita da Fig. 3-7, encontra-se a curva da força específica (Seção 3.5), onde as profundidades sequenciais y1 and y2 têm a mesma força específica: F1 = F2.
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3.4 PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO
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O momento M é igual a uma força integrada ao longo de um período de tempo, ou à massa multiplicada pela velocidade, conforme o mostrado anteriormente (Eq. 2-27) e a seguir:
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M = ∫ F dt = m V ... [M L T -1 ] | (3-19) |
O fluxo de momento, ou força F de um escoamento com velocidade V através de uma seção transversal da área A conforme o mostrado anteriormente (Eq. 2-30) e a seguir:
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F = β ρ V 2 A ... [F] | (3-20) |
Já que, Q = VA, o fluxo de momento, ou força F exercida por um fluxo de vazão Q e velocidade V, é:
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F = β ρ Q V ... [F] | (3-21) |
De acordo com a segunda lei do movimento de Newton, a mudança ΔF no fluxo do momento através de um volume de controle é igual à resultante de todas as forças externas que atuam sobre o mesmo. As forças externas são a força do corpo e as forças de superfície. A força do corpo é a força gravitacional, que age ao longo da direção do movimento (a força denominada W sinθ na
As forças de superfície no volume de controle estão locaizadas no leito, nas laterais e na parte superior. A força da superfície no leito é devida ao atrito, que está sempre atuando na direção oposta ao escoamento (a força denominada Ff na Fig. 3-8). Não existe atrito zero: sob certas condições, o atrito pode ser negligenciado, mas nunca deve ser considerado zero.
As forças da superfície lateral são duas: uma encontra-se à montante (força denominada P1 na
A força da superfície superior é devida ao vento. Sob as escalas normalmente consideradas no fluxo de canais, as forças do vento são pequenas e, geralmente, são negligenciadas. No entanto, as forças do vento podem não ser desprezíveis nos casos de escoamento superficial de reservatórios ou em grandes áreas, como o oceano.
A partir da lei de conservação do momento de um fluxo em um volume de controle tem-se que (de acordo com ilustrado na Fig. 3-8):
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ρ Q (β2V2 - β1V1) = P1 - P2 + W sin θ - Ff ... [F] | (3-22) |
Ou, em termos de peso unitário:
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(γ/g) Q (β2V2 - β1V1) = P1 - P2 + W sin θ - Ff ... [F] | (3-23) |
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Seguindo a convenção usual da mecânica, a diferença de fluxo de momento é igual ao fluxo na seção à jusante 2 subtraindo o fluxo na seção à montante 1. As forças que atuam no volume de controle são positivas na direção do fluxo e negativas em na direção contrária. A equação 3-23 é conhecida como equação do balanço de momento do fluxo ou, resumidamente, equação do momento.
Para o fluxo paralelo em um canal retangular de pequena declividade e largura b, a força P1 é:
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P1 = (1/2) γ b y12 ... [F] | (3-24) |
Da mesma forma, a força P2 é:
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P2 = (1/2) γ b y22 ... [F] | (3-25) |
O peso W do volume de controle (Fig. 3-8) é:
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W = (1/2) γ b L (y1 + y2) ... [F] | (3-26) |
O peso do volume de controle na direção do movimento (Fig. 3-8) é:
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W sin θ = (1/2) γ b (y1 + y2) (z1 - z2) ... [F] | (3-27) |
Geralmente, sob condições típicas de escoamento gradualmente variada, a força de atrito Ff ao longo do leito do canal é, aproximadamente, igual em magnitude e oposta em sinal à força gravitacional W sin θ (Eq. 3-27). Assim, a força de atrito pode ser expressa da seguinte forma:
Ff = (1/2) γ b (y1 + y2) hf' ... [F] | (3-28) |
Em que: hf' = perda de carga por atrito.
A vazão Q pode ser caculada da seguinte forma:
Q = (1/2) (V1 + V2) b (1/2) (y1 + y2) ... [L3 T -1] | (3-29) |
Substituindo-se as Eqs. 3-24 a 3-29 na Eq. 3-23, de forma simplificada pode-se obter a seguinte equação:
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V12 V22 z1 + y1 + β1 _____ = z2 + y2 + β2 _____ + hf' 2g 2g | (3-30) |
A Eq. 3-30 se difere da Eq. 3-5 em vários aspectos:
A energia é um escalar, portanto, a Eq. 3-5 também é uma equação escalar. Por outro lado, o momento é um vetor, fazendo com que a
Eq. 3-30 seja assim uma equação vetorial.Os coeficientes da distribuição de velocidade não são os mesmos. Ao passo que os coeficientes de Coriolis se aplicam à Eq. 3-5, os coeficientes de Boussinesq se aplicam à
Eq. 3-30. A perda de carga de energia hf da Eq. 3-5 mede as perdas internas em todo o volume de controle, enquanto a perda de carga de atrito hf' da Eq. 3-30 mede perdas externas devido à ação das forças da superfície no volume de controle.
Assim, mesmo parecendo similares, as Eqs. 3-5 e 3-30 não são equivalentes. A Eq. 3-5 aplica-se ao fluxo gradualmente variado estável, enquanto a Eq. 3-30 aplica-se ao fluxo gradualmente variado instável. Em outras palavras, a Eq. 3-30 é responsável pelas forças inerciais presentes no fluxo instável, ao contrário da Eq. 3-5.
Na prática, o princípio do momento se aplica aos problemas referente aos quais as forças têm um papel significativo. Normalmente, os problemas de fluxo gradualmente variável estável usam conservação de energia, enquanto os problemas de do fluxo gradualmente variado instável usam conservação de momento. A exceção é o ressalto hidráulico, que varia rapidamente. Tanto os princípios de energia e momento são utilizados para a solução do ressalto hidráulico.
3.5 FORÇA ESPECÍFICA
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Nos canais horizontais, a força gravitacional que age na direção do movimento é efetivamente zero. De forma a simplificar, para canais quase horizontais, a força gravitacional pode ser considerada pequena e negligenciada por motivos práticos.
A força de atrito se desenvolve ao longo do leito do canal. Quanto maior é o canal, maior é a força de atrito. Assim, para um canal curto, a força de atrito pode ser considerada como suficientemente pequena e negligenciada por motivos práticos. Observe que a força de atrito nunca é zero. A sua negligência é justificada apenas como uma aproximação, quando comparada com as outras forças presentes no fluxo dos canais.
A negligência ou eliminação das forças gravitacionais e de atrito no balanço do fluxo de momento o reduz para:
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(γ/g) Q (β2V2 - β1V1) = P1 - P2 ... [F] | (3-31) |
Assumindo-se β1 = β2 = 1, a Eq. 3-31 se reduz a:
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(γ/g) Q (V2 - V1) = P1 - P2 ... [F] | (3-32) |
Já que V1 = Q / A1 e V2 = Q / A2:
Q 2 Q 2 (γ/g) ( ______ - ______ ) = P1 - P2 ... [F] A2 A1 | (3-33) |
A força de pressão P atuando em uma seção transversal da área A e distância z̄ do centróide da área até a superfície da água [Fig. 3-9 (b)] é:
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P = γ z̄ A ... [F] | (3-34) |
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Dessa forma:
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P1 = γ z̄1 A1 ... [F] | (3-35) |
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P2 = γ z̄2 A2 ... [F] | (3-36) |
Substituindo as Eqs. 3-35 e 3-36 na Eq. 3-33 e dividindo pelo peso unitário γ:
Q 2 Q 2 ______ + z̄1 A1 = ______ + z̄2 A2 ... [L 3] gA1 gA2 | (3-37) |
Em geral, a força específica é definida da seguinte forma:
Q 2 F = ______ + z̄ A ... [L 3] gA | (3-38) |
De acordo com a Eq. 3-37, a força específica é conservada no fluxo do canal se ele for horizontal e curto, ou seja, F1 = F2. Observe que força específica é uma força por unidade de γ (isto é, peso por unidade de volume). Portanto, a força específica possui unidade de volume [L3].
A curva de força específica mostrada na Fig. 3-9 (c) é obtida plotando F nas abscissas e y nas ordenadas. Essa curva é semelhante à curva de energia específica [Fig. 3-9 (a)], mas com diferenças significativas. O membro AC se aproxima do eixo horizontal assintoticamente para a direita. O membro BC sobe e se estende sem limite para a direita.
Para um determinado valor da força específica F1, a curva tem duas profundidades possíveis: y1 and y2. Essas são as profundidades inicial e sequencial de um ressalto hidráulico, respectivamente. No ponto C [Fig. 3-9 (c)], as profundidades sequenciais se tornam a profundidade crítica. Nesse ponto, a força específica é mínima. Observe que essa é a mesma profundidade crítica obtida por considerações específicas de energia, conforme o ilustrado na Fig. 3-9 (a).
Critério de fluxo crítico para força específica
Como no caso da energia específica, para provar que a força específica mínima corresponde ao critério crítico de fluxo, diferencia-se a Eq. 3-38 em relação a y para produzir:
dF Q 2 dA d(z̄A) ______ = - _______ ______ + ________ = 0 dy g A 2 dy dy | (3-39) |
Para uma mudança na profundidade dy, a mudança correspondente d(z̄A) no momento estático da área da água em torno da superfície livre é igual a:
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d(z̄A) = [A (z̄ + dy) + (1/2) T (dy)2] - z̄A | (3-40) |
Normalmente, no cálculo diferencial, o termo de segunda ordem na Eq. 3-40 é negligenciado para o seguinte desenvolvimento:
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d(z̄A) = A dy | (3-41) |
Dessa forma, a Eq. 3-39 se reduz a:
dF Q 2 dA ______ = - _______ ______ + A = 0 dy g A 2 dy | (3-42) |
Simplificando a Eq. 3-42:
Q 2 dA ______ ______ = A g A 2 dy | (3-43) |
Uma vez que dA /dy = T, Q /A = V, and A /T = D, a Eq. 3-43 se reduz a:
V 2 ______ = 1 g D | (3-44) |
No qual o quadrado do número de Froude é:
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Vc 2 F 2 = ______ = 1 g Dc | (3-45) |
A Eq. 3-45 é o critério para o fluxo crítico, aplicável às curvas de energia específica e de força específica (momento específico).
Nota-se que a profundidade sequencial y2 é sempre menor do que a profundidade elevada alternativo y2' (Fig. 3-7). Além disso, a energia E2 é sempre menor do que E1, enquanto que a força específica F2 permanece igual à F1 [Fig. 3-7 e Fig. 3-9 (c)]. Para manter uma força específica constante, a profundidade do fluxo deve aumentar de y1 parao y2, podendo perder uma certa quantidade de energia. A perda de energia é igual a: ΔE = E1 - E2. Essa situação ocorre no ressalto hidráulico, onde as forças específicas à montante e jusante do ressalto são iguais, mas com uma consequente perda de energia (Fig. 3-10).
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Força específica por unidade de largura do canal
Em um canal hidraulicamente amplo, a força específica por unidade de largura de canal b é:
F q 2 y 2 ___ = _____ + _____ ... [L 2] b gy 2 | (3-46) |
Em que: q = Q /b.
Em termos de velocidade média V = q/y, a força específica por unidade de largura de canal b é:
F V 2y y 2 ___ = _______ + _____ ... [L 2] b g 2 | (3-47) |
Força específica em unidades de força
Em unidades de força, a força específica é:
γQ 2 γF = _______ + γ z̄ A ... [F] gA | (3-48) |
Em unidades de força, a força específica por unidade de largura de canal b é:
γF γq 2 γy 2 ____ = ______ + ______ ... [F L -1] b gy 2 | (3-49) |
Em unidades de força e em termos de velocidade média V, a força específica por unidade de largura de canal b é:
γF γV 2y γy 2 ____ = _________ + _____ ... [F L -1] b g 2 | (3-50) |
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Exemplo 3-1: Derivação da equação do ressalto hidráulico Derive a relação entre a profundidade inicial (y1) e a sequencial (y2) em um ressalto hidráulico (Eq. 9-13) de um leito horizontal em um canal retangular (Fig. 3-11).
Da Eq. 3-47, o equilíbrio de força específico entre a seção 1 (à montante) e a seção 2 (à jusante) do ressalto hidráulico é:
Substituindo-se F12 = V12 /(gy1), e observando-se que por continuidade, V2 y2 = V1 y1:
Fatorando-se a Eq. 3-52:
A solução da equação quadrática entre parênteses na Eq. 3-53 é:
Sendo a Eq. 5-54 igual à Eq. 9-13, que será abordada no Capítulo 9. |
3.6 PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO EM CANAIS NÃO-PRISMÁTICOS
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Quando as forças externas são desprezíveis ou conhecidas antecipadamente, o princípio do momento pode ser aplicado a canais não prismáticos. O princípio do momento é particularmente aplicável ao ressalto hidráulico, onde as altas perdas internas que ocorrem não podem ser totalmente avaliadas usando apenas o princípio da energia.
O Exemplo 3-2 ilustra como o princípio do momento pode ser aplicado ao projeto de uma transição de canal (Chow, 1959). Nesse caso, o fluxo à montante é supercrítico e o fluxo à jusante subcrítico, abrindo a possibilidade de que um ressalto hidráulico possa se formar em algum lugar da transição. O último pode ser evitado modificando a forma da seção transversal do canal na transição; por exemplo, elevando-se a base do leito, conforme mostrado na parte (b).
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Exemplo 3-2: Projeto da transição de fluxo supercrítico para subcrítico Suponha que um canal retangular de 8 pés de largura transporta 100 pés3/s a uma profundidade de 0,5 pés. O canal é conectado através de uma transição em linha reta de 50 pés de comprimento a um canal de 10 pés de largura que flui a uma profundidade de 4 pés. Deseja-se projetar a transição, incluindo o cálculo do perfil de escoamento. Para simplificar, negligencie o atrito e outras perdas menores (consulte a Seção 7.6).
Solução.
Use a Eq. 3-9 para calcular a energia total na extremidade a montante da transição: A diferença entre esses dois valores é a perda de energia ou queda de energia: ΔE = Eu - Ed = 6.117 pés. Essa energia deve ser dissipada através da transição de fluxo, sendo derivada de diferentes formas. Os dois casos a seguir serão considerados:
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A. Dissipação brusca de energia. Os números de Froude à montante e à jusante (Eq. 1-9) são
A Tabela 3-1 mostra os cálculos da transição de canal, com ressalto hidráulico. Observe o seguinte:
A coluna 1 mostra onze (11) estações, numeradas de 0 a 10 e espaçadas em intervalos de 5 pés.
A coluna 2 mostra a distância da extremidade à montante.
A coluna 3 mostra a largura inferior b, variando linearmente da montante à jusante.
A coluna 4 mostra o estágio baixo y1 (supercrítico) correspondente à energia total à montante Eu. Esses valores foram calculados por iteração, usando a Eq. 3-9.
A coluna 5 mostra a força específica (F1) correspondente aos estágios baixos (y1) da coluna 4. Estes valores foram calculados usando a Eq. 3-38.
A coluna 6 mostra o estágio elevado y2' (subcrítico) correspondente à energia total à montante Ed. Esses valores foram calculados por iteração, usando a Eq. 3-9.
A coluna 7 mostra a força específica (F2) correspondente ao estágio alto (y2)' da coluna 6. Esses valores foram calculados usando a Eq. 3-38.
| Tabela 3-1 Cálculos de transição do canal com ressalto hidráulico. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1) | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) | (7)
| Seção | No. Distância | do final da montante Largura | de fundo b (pés) Energia à montante: | Eu = 10.214 pés Energia à jusante: | Ed = 4.097 pés Estágio baixo | y1 (pés) Força específica | F1 (pés3) Estágio alto | y2' (pés) Força específica | F2 (pés3) 0
| 0 + 00
| 8,0
| 0,500
| 78,71
| 3,941
| 71,98
| 1
| 0 + 05
| 8,2
| 0,487
| 78,75
| 3,949
| 73,53
| 2
| 0 + 10
| 8,4
| 0,476
| 78,77
| 3,956
| 75,10
| 3
| 0 + 15
| 8,6
| 0,464
| 78,79
| 3,963
| 76,66
| 4
| 0 + 20
| 8,8
| 0,453
| 78,81
| 3,970
| 78,24
| 5
| 0 + 25
| 9,0
| 0,443
| 78,83
| 3,976
| 79,82
| 6
| 0 + 30
| 9,2
| 0,433
| 78,86
| 3,981
| 81,40
| 7
| 0 + 35
| 9,4
| 0,424
| 78,87
| 3,986
| 82,98
| 8
| 0 + 40
| 9,6
| 0,415
| 78,89
| 3,991
| 84,58
| 9
| 0 + 45
| 9,8
| 0,406
| 78,90
| 3,996
| 86,17
| 10
| 0 + 50
| 10,0
| 0,398
| 78,91
| 4,000
| 87,77
| | ||
A Tabela 3-1 mostra que a força específica para os estágios baixos (Col. 5) varia pouco ao longo da transição, tendo um valor médio de cerca de 78,8 pés3. Por outro lado, a força específica para os estágios altos (Col. 7) varia em uma faixa muito maior, de uma baixa de 71,98 pés3 na extremidade à montante a uma alta de 87,77 pés3 na extremidade à jusante. O ressalto hidráulico
Ao variar a forma (largura) das seções transversais na transição, a localização da interseção das linhas de força específicas pode ser alterada, ou seja, a posição do ressalto. A alteração da profundidade do fluxo no canal à jusante (ou seja, no final da transição) também mudará a posição do ressalto. Geralmente, um pequeno aumento na profundidade à jusante deslocará o ressalto à montante. Por outro lado, uma pequena diminuição na profundidade à jusante deslocará o ressalto à jusante.
B. Dissipação gradual de energia. O ressalto hidráulico pode ser evitado, fornecendo uma maneira de dissipar gradualmente a energia. Isso pode ser conseguido variando a largura ou elevando a parte inferior da transição de forma que a linha de grau de energia real (EGL) seja uma linha reta que une as cabeças totais nas duas seções finais [Fig. 3-12 (b)]. Em um projeto real, primeiro assuma o perfil do fluxo e, em seguida, proporcione as dimensões do fundo elevado, seguindo as leis hidráulicas aplicáveis. As etapas a seguir são recomendadas:
A forma do perfil da superfície da água pode ser adequadamente especificada como duas parábolas espelhadas, uma para a frente e a outra para trás, reunidas no ponto médio da transição e posicionadas de maneira que:
A parábola para a frente é tangente ao fluxo na extremidade à montante;
A parábola para trás é tangente ao fluxo na extremidade à jusante;
As duas parábolas, para frente e para trás, são tangentes uma à outra no ponto médio (consulte a Seção 7.6).
Assuma uma queda uniforme na linha de energia total através da transição, como mostrado na Fig. 3-12 (b).
Selecione um número adequado de seções transversais. Em cada seção transversal:
Calcule a carga total seguindo a Etapa 2.
Calcule a carga de velocidade, ou seja, a diferença entre a carga total e a elevação da superfície da água.
Calcule a velocidade, a área do fluxo e a profundidade do fluxo.
Calcule a elevação da corcova na parte inferior da transição, igual à elevação da superfície da água menos a profundidade do fluxo.
Calcule a profundidade alternativa.
Calcule as curvas de força específicas: F1 para o estágio baixo e F2 para o estágio alto. Traçar essas curvas em uma escala conveniente.
A Tabel 3-2 mostra os cálculos da transição do canal, sem ressalto hidráulico. Observe o seguinte:
A coluna 1 mostra onze (11) estações, numeradas de 0 a 10 e espaçadas em intervalos de 5 pés.
A coluna 2 mostra a distância a partir da extremidade à montante.
A coluna 3 mostra a largura inferior b.
A coluna 4 mostra a carga total é H.
A coluna 5 mostra a elevação da superfície da água (WS Elev.), Aproximada como duas parábolas espelhadas. Por exemplo, para a parábola para a frente (ou para trás), o aumento (ou respectiva queda) na elevação da superfície da água é calculado da seguinte forma:
Δw = (b /a 2) (∑Δx)2
(3-55) Em que: a = metade da transição (neste caso, a = 25);
b = metade da queda na elevação da superfície da água (neste caso, b = 1,75);
∑Δx = distância acumulada.
Por exemplo, para a Seção 0 + 05 (parábola direta), o aumento é:Δw0 + 05 = (1,75 / 252) (5,00)2 = 0,07 pés
Portanto, a elevação da superfície da água (WS Elev.) (Col. 3) é: 0,5 + 0,07 = 0,57 pés.
A coluna 6 mostra a velocidade da carga hv = V 2/(2g), calculada como a diferença entre a carga total (Col. 4) e a elevação da superfície da água (Col. 5);
A coluna 7 mostra a velocidade V = (2ghv)1/2
A coluna 8 mostra a área de fluxo A = Q /V;
A coluna 9 mostra a profundidade do fluxo y1 = A /b;
yc = [Q2 /(gb2)]1/3;
A coluna 11 mostra a elevação z da corcova no fundo do canal, calculada como a diferença entre a elevação da superfície da água (Col. 5) e a profundidade do fluxo y1;
A coluna 12 mostra a profundidade alternativa y2', calculada por iteração a partir da definição de carga hidráulica:
Q 2
H = y2' + _______________
2g (y2' b)2
(3-56) A coluna 13 mostra a força específica F1 correspondente ao estágio baixo calculado usando a Eq. 3-38.
A coluna 14 mostra a força específica F2 correspondente ao estágio alto y1, calculada usando a Eq. 3-38.
| Tabela 3-2 Cálculo da transição do canal sem ressalto hidráulico. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1) | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) | (7) | (8) | (9) | (10) | (11) | (12) | (13) | (14)
| Seção | No. Dis- | tância. no fim da mon- tante b | (pés) H | (pés) WS. | Elev. (pés) V2/(2g) | (pés) V | (pés/s) A | (pés2) y1 | (pés) yc | (pés) z | (pés) y2' | (pés) F1 | (pés3) F2 | (pés3) 0
| 0 + 00
| 8,00
| 10,214
| 0,50
| 9,714
| 25,000
| 4,000
| 0,500
| 1,694
| 0,000
| 10,191
| 78,71
| 419,15
| 1
| 0 + 05
| 8,2
| 9,602
| 0,57
| 9,032
| 24,107
| 4,148
| 0,506
| 1,666
| 0,064
| 9,577
| 75,985
| 419,208
| 2
| 0 + 10
| 8,4
| 8,991
| 0,78
| 8,211
| 22,984
| 4,351
| 0,518
| 1,639
| 0,262
| 8,963
| 72,573
| 341,554
| 3
| 0 + 15
| 8,6
| 8,379
| 1,13
| 7,249
| 21,596
| 4,63
| 0,538
| 1,614
| 0,592
| 8,349
| 68,378
| 304,044
| 4
| 0 + 20
| 8,8
| 7,767
| 1,62
| 6,147
| 19,888
| 5,028
| 0,571
| 1,589
| 1,049
| 7,734
| 63,257
| 267,727
| 5
| 0 + 25
| 9,0
| 7,156
| 2,25
| 4,906
| 17,766
| 5,629
| 0,625
| 1,566
| 1,625
| 7,118
| 56,985
| 232,825
| 6
| 0 + 30
| 9,2
| 6,544
| 2,88
| 3,664
| 15,354
| 6,513
| 0,708
| 1,543
| 2,172
| 6,500
| 50,032
| 199,573
| 7
| 0 + 35
| 9,4
| 5,932
| 3,37
| 2,562
| 12,839
| 7,788
| 0,829
| 1,521
| 2,541
| 5,881
| 43,138
| 168,195
| 8
| 0 + 40
| 9,6
| 5,321
| 3,72
| 1,601
| 10,148
| 9,854
| 1,026
| 1,5
| 2,694
| 5,260
| 36,602
| 138,937
| 9
| 0 + 45
| 9,8
| 4,709
| 3,93
| 0,779
| 7,079
| 14,127
| 1,441
| 1,479
| 2,489
| 4,633
| 32,186
| 112,042
| 10
| 0 + 50
| 10,0
| 4,097
| 4,00
| 0,097
| 2,500
| 40,000
| 4,000
| 1,459
| 0,000
| 0,500
| 87,771
| 63,420
| |
O fluxo crítico sobre a corcova ocorre a uma distância medida a partir da extremidade à montante, onde a profundidade do fluxo (Col. 9) é igual à profundidade crítica (Col. 10). Neste exemplo, a correspondência ocorre a uma distância X = 45,26 pés, e a profundidade do fluxo na seção de fluxo crítico é: y = yc = 0,478 pés. [Este resultado foi obtido usando a ferramenta ONLINE TRANSITION DESIGN SUPERCRITICAL B com uma resolução de N = 100].
A Figura 3-12 (b) mostra a forma da corcova necessária para fornecer uma queda gradual na linha de gradiente de energia, evitando assim o ressalto hidráulico. Observe que as linhas de força específicas se cruzam nas proximidades da seção de fluxo crítico (Tabela 3-2).
QUESTÕES
|
|
Qual é a diferença entre energia total e energia específica?
O que é fluxo crítico em termos de energia específica?
O que causa uma queda hidráulica?
Por que a profundidade do fluxo em uma queda livre é menor do que crítica?
O que causa um ressalto hidráulico?
Por que o momento é instável?
Qual é a força do corpo considerada no fluxo de um canal?
Qual é a magnitude da força do corpo em um canal horizontal?
Qual é a diferença entre profundidades alternativas e profundidades sequenciais?
Onde a força específica se aplica?
Para que tipo de problemas a força específica é usada?
PROBLEMAS
|
|
Derive a relação para a vazão por unidade de largura q sob um portão de comporta, em função da profundidade a montante y1 e profundidade a jusante y3 (Fig. 3-13).
Fig. 3-13 Vazão sob o portão de uma comporta.
[Veja também Lab video: Fluxo sob Comportas]. Prove que a equação derivada no problema anterior (Problema 1) é matematicamente equivalente à equação baseada em y1 e y2 usada em CANALEMLINHA 13.
Usando o princípio específico da energia, deduza a fórmula para a largura adimensional da garganta de uma constrição de canal que força o fluxo crítico através da mesma (Fig. 3-14) [Henderson (1966), p. 267]
bc (27)1/2 F1
σ = _____ = _______________
b1 (2 + F12) 3/2
(3-57) 
Fig. 3-14 Constrição de largura crítica usando energia específica.
Use CANALEMLINHA17 para calcular a largura da garganta necessária bc para as seguintes condições àa montante: y1 = 2,2 m, v1 = 1,2 m/s, and b1 = 3,2 m. Qual seá a largura da garganta necessária se a largura do canal a montante for b1 = 2,2 m?
Usando o princípio da força específica, mostre que a força fo exercida por uma obstrução contundente no fundo de um canal retangular largo é:
1 - α 2 1
fo = - γ y12 [ ________ + ( 1 - _____ ) F12 ]
2 α
(3-58) Em que: γ = peso unitário da água;
F1 = número de Froude;
y1 = profundidade do fluxo à montante;
α = y2/y1;
y2 = profundidade do fluxo à jusante (após a obstrução).
Assumindo que q = 1,5 m2/s,v1 = 1,0 m/s, e α = 0,91, calcule a força fo que atua no sistema.Usando o princípio da força específica, deduza a fórmula para a largura da garganta adimensional de constrição de um canal que força o fluxo crítico através da mesma (Fig. 3-15) [modificado de Henderson (1966), p. 267]
bc (3)3/4 F3
σ = _____ = _________________
b3 (1 + 2 F32) 3/4
(3-59) 
Fig. 3-15 Constrição de largura crítica usando energia específica.
A partir da ferramenta EMLINHA CONTRAÇAO LIMITE, calcule as proporções de contração limitante usando os princípios de energia e momento, para um número de Froude F = 0,3.
A partir da ferramenta EMLINHA CONJUNTO CONTRAÇAO LIMITE, calcule as proporções de contração limitante usando os princípios de energia e momento, para os números de Froude do intervalo 0,1 ≤ F ≤ 2,0. Discuta os resultados.
Um ressalto hidráulico submerso ocorre imediatamente à jusante de uma saída de eclusa em um canal retangular. Usando o princípio do momento, prove que a razão entre a profundidade submersa ys e a profundidade da água da cauda y2 é:
ys y2
_____ = [ 1 + 2 F22 ( 1 - _____ ) ] 1/2
y2 y1
(3-60) 
Fig. 3-16 Ressalto hidráulico submerso de uma comporta de eclusa.
Verificar a Tabela 3-1 utilizando ONLINE TRANSITION DESIGN SUPERCRITICAL A.
Verifique a Tabela 3-2 utilizando ONLINE TRANSITION DESIGN SUPERCRITICAL B.
Dado: Vazão = 125 pés3/s; largura inferior à montante = 8 pés; profundidade do fluxo à montante = 0,5 pés, largura inferior à jusante = 16 pés; comprimento da transição = 50 pés. Qual deve ser a profundidade do fluxo à jusante (com precisão de 0,1 pés) para que o ressalto hidráulico ocorra aproximadamente no meio da transição (Seção 0 + 25)?
Dado: Vazão = 125 pés3/s; largura inferior à montante = 8 pés; profundidade do fluxo à montante = 0,5 pés, largura inferior à jusante = 12 pés; profundidade do fluxo à jusante = 4 pés; comprimento da transição = 50 pés. Projete uma transição de canal supercrítico sem ressalto hidráulico?
Dado: Vazão = 400 pés3/s; largura inferior à montante = 12 pés; profundidade do fluxo à montante = 1 pé, largura inferior à jusante = 32 pés; comprimento da transição = 100 pés. Qual deve ser a profundidade do fluxo à jusante (com precisão de 0,1 pés) para que o ressalto hidráulico ocorra aproximadamente no meio da transição (Seção 0 + 50)?
REFERÊNCIAS
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Chow, V. T. 1959. Open-channel Hydraulics. McGraw Hill, New York.
Henderson, F. M. 1966. Open channel flow. Macmillan, New York.
| http://hidraulicadecanaisabertos.sdsu.edu |
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200616 22:55 |