CAPÍTULO 5: FLUJO UNIFORME |
5.1 FLUJO UNIFORME
El flujo uniforme se presenta únicamente en canales prismáticos. En el flujo uniforme,
la profundidad de flujo, el área de flujo, la velocidad media,
y la descarga (o caudal) son constantes a lo largo del canal.
El término flujo de equilibrio se utiliza para describir la condición
de flujo en canales no prismáticos (naturales) de sección transversal no uniforme,
el cual es equivalente al flujo uniforme en canales prismáticos.
En el flujo uniforme, todas las pendientes, la pendiente
de fricción Sf, la pendiente de energía
Se, la pendiente
de la superficie del agua Sw, y la pendiente de fondo
So, son constantes e iguales a una pendiente: S.
Sf = Se = Sw = So = S
| (5-1)
|
El flujo no permanente no existe;
si el flujo es no permanente, entonces no es uniforme.
Sin embargo, para el número de Vedernikov V = 1, el
flujo uniforme se convierte en neutralmente estable, lo
cual conduce a las ondas de rollo
(Sección 1.3).
Esta condición es la "inestabilidad del
flujo uniforme" descrita por Chow (1959).
Cuando V < 1, las perturbaciones del flujo
se atenúan, y las olas de rodillo no se forman.
Establecimiento del flujo uniforme
Desde un punto de vista mecánico, el flujo uniforme ocurre
en un volumen de control cuando la
fuerza de fricción es igual a la fuerza gravitacional.
En ausencia de controles de sección
(Sección 4.3), todos los flujos en canales tienden a ser uniformes. En principio, a la naturaleza "le gusta el flujo uniforme."
En el flujo uniforme, la
característica única de la curva de gasto (es decir, la singularidad de la
relación
profundidad-descarga) lo califica como control.
Por lo tanto, el flujo uniforme crítico es
un tipo de control muy fuerte.
La profundidad del flujo uniforme se conoce como
profundidad normal. La Figura 5-1 muestra la formación de flujo uniforme en un
canal relativamente largo. La figura
superior representa el flujo normal subcrítico,
con las secciones de control aguas arriba
y aguas abajo. La figura central representa
el flujo crítico, con las secciones de control
aguas arriba y aguas abajo. La figura
inferior representa el flujo normal supercrítico,
con la sección de control aguas arriba únicamente.
Fig. 5-1 Formación del flujo uniforme (Chow, 1959).
|
|
Velocidad del flujo uniforme
En general, la velocidad media del flujo uniforme se describe por la siguiente fórmula:
en la cual C = coeficiente de fricción, R = radio
hidráulico, definido como R = A/P, y x e y son los
exponentes de R y S, respectivamente. Los exponentes
varían de acuerdo al tipo de rugosidad (laminar, turbulenta,
de transición, o mixta laminar-turbulenta) y la forma
de la sección transversal (arbitraria, hidráulicamente
ancha, rectangular, trapezoidal, triangular, o inherentemente estable).
En la práctica, hay dos fórmulas clásicas
para el flujo uniforme: (1) la fórmula de Chézy, y (2) la
fórmula de Manning. Actualmente se usan también variaciones de estas
fórmulas, como son las fórmulas de Chézy adimensional y Manning-Strickler.
5.2 LA FÓRMULA DE CHÉZY
Para derivar la fórmula de Chézy, el esfuerzo cortante desarrollado a lo largo
del fondo del canal se modela con la ley
de fricción cuadrática:
en la cual ρ = densidad de la masa,
f = un tipo de
factor de fricción (coeficiente de resistencia),
y V = velocidad media.
Esta ecuación es adimensional, por lo tanto,
tiene una base teórica.
El esfuerzo cortante desarrollado a lo largo del perímetro mojado de un volumen de control de longitud L es (Fig. 5-2):
Fs = τb PL = ρ f V 2 PL
| (5-4) |
Fig. 5-2 Volumen de control para el flujo uniforme (Chow, 1959).
|
|
El peso del agua contenido en el volumen de control es W.
Esta fuerza gravitacional se resuelve a lo largo
de la dirección del movimiento de la siguiente manera:
Para un canal de pequeña pendiente:
sin θ ≅ tan θ = S. Por lo tanto:
Fg = W tan θ = W S = γ A L S
| (5-6) |
Igualando las fuerzas de fricción (Eq. 5-4) y gravitaional (Eq. 5-6):
lo cual se reduce a:
f V 2 = g (A /P ) S = g R S
| (5-8) |
en la que R = radio hidráulico.
Resolviendo para V:
V = (g/f )1/2 (R S ) 1/2
| (5-9) |
en la cual C = coeficiente de Chézy, se define como sigue:
Por lo tanto, el factor de fricción
f en la Ec. 5-3 es:
La Ecuación 5-10 es la fórmula de Chézy.
De la Ec. 5-8 se puede derivar una variación de la fórmula de Chézy:
V 2
S = f _____
g R
| (5-13) |
lo cual equivale a:
D V 2
S = f _____ _____
R
g D
| (5-14) |
Dada la Ec. 4-6, la Ec. 5-14 se reduce a:
D  
S = f _____ F 2
R
| (5-15) |
La Ecuación 5-15 es básicamente igual que la Ec.
4-5, la cual se deriva de la ecuación de Darcy-Weisbach
aplicada para el flujo en canales abiertos. Por lo tanto,
la ecuación de Chézy adimensional (Ec. 5-15) y la
ecuación de Darcy-Weisbach modificada (Ec. 4-5) son esencialmente las mismas.
Para un canal hidráulicamente ancho,
D ≅ R, y la Ec. 5-15 se reduce a:
lo cual es igual a la Ec. 4-8.
La Tabla 5-1 muestra los valores correspondientes de
f, el factor de fricción
de Darcy-Weisbach f, y los coeficientes de Chézy.
Tabla 5-1 Valores correspondientes de f, f, y C.
|
Factor de fricción f |
f de Darcy-Weisbach |
Chézy C |
Unidades SI |
Unidades acostumbradas
en EE.UU.
|
0.002 |
0.016 |
70.02 |
126.83
|
0.003 |
0.024 |
57.17 |
103.55 |
0.004 |
0.032 |
49.51 |
89.68 |
0.005 |
0.040 |
44.29 |
80.21 |
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Historia de la Fórmula de Chézy
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Antoine Chézy nació el 1 de Septiembre de 1718
en Chalon-sur-Marne, Francia, y murió el 4 de Octubre de 1798.
En 1749, trabajando en Amsterdam, Cornelius Velsen declaró:
"La velocidad debe ser proporcional a la raíz cuadrada de la pendiente."
En 1757, en Hannover, Alemania, Albert Brahms escribió:
"La acción desaceleradora de la fricción de fondo en un flujo
uniforme no sólo es igual a la acción aceleradora
de la gravedad sino también es proporcional al cuadrado
de la velocidad."
Velsen y Brahms estaban trabajando en las leyes
generales y teorías de Torricelli y Bernoulli.
Chézy usó algunas de estas ideas para desarrollar
su fórmula.
A Chézy se le dio la tarea de determinar la sección
transversal y la descarga para un canal en el río Yvette, cerca de París,
pero a una mayor elevación. Desde 1769, fue recopilando
datos experimentales del canal de Courpalet y del
río Sena. Sus estudios y conclusiones figuran en un
informe al Sr. Perronet con fecha del 21 de octubre de 1775.
El documento original, escrito en Francés,
se titula "Tesis sobre la velocidad del flujo
en un canal," y está firmado por el Sr. Chézy,
Inspector General de la Escuela de Puentes y Caminos.
El documento se encuentra en el expediente No. 847, manuscrito No. 1915,
de la colección que obra en la biblioteca de la escuela.
En 1776, Chézy escribió otro artículo, titulado:
"La fórmula para encontrar la velocidad uniforme
que el agua tendrá en un canal
de pendiente conocida." Este documento, el cual
reside en el mismo archivo [No. 847, Ms. No. 1915],
contiene la famosa fórmula de Chézy:
V = 272 (ah/p)1/2
en la cual h es la pendiente, a es el área, y
p es el perímetro mojado. El coeficiente 272
es aplicable al canal de Courpalet en un sistema de unidades antiguo. En el sistema
métrico, el valor equivalente es:
V = 31 (ah/p)1/2
Para el río Sena, el valor del coeficiente es 44.
Clemens tradujo los dos documentos
de Chézy al Inglés. Riche de Prony, uno de los ex-alumnos de
Chézy, fue el primero en utilizar su fórmula. Más tarde, en 1801, en Alemania,
Eytelwein utilizó las ideas de Chézy y De Prony
para popularizar el uso de la fórmula.
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5.3 LA FÓRMULA DE MANNING
La fórmula de Manning, en unidades SI, es:
1
V = ____ R 2/3 S 1/2
n
| (5-17) |
en la cual n = coeficiente de fricción de Manning, factor de
fricción, o simplemente n de Manning.
En el sistema de unidades acostumbradas en EE.UU. la fórmula de Manning es:
1.486
V = ________ R 2/3 S 1/2
n
| (5-18) |
La cantidad 1.486 es un factor de conversión que se deriva de la equivalencia: 1.486 = 1/(0.3048)1/3.
El factor es requerido para expresar la ecuación original
de Manning (Eq. 5-17) en el sistema de unidades acostumbradas en EE.UU.
A fin de comparar con la fórmula de Chézy, la ecuación de
Manning se expresa como sigue:
1.486
V = ________ R 1/6 R 1/2 S 1/2
n
| (5-19) |
La relación entre los coeficientes de Manning y Chézy se encuentra comparando
las Ecs. 5-10 y 5-19:
1.486
C = ________ R 1/6
n
| (5-20) |
La Ecuación 5-20 implica que mientras C varía con
el radio hidráulico, el valor de n es constante.
Esto puede ser aproximadamente cierto para los canales
prismáticos (artificiales), pero por lo general no lo es para los canales naturales (Barnes, 1967).
En los canales naturales, el valor de n puede variar con el nivel de la superficie del agua y la profundidad del flujo. Esto es atribuible a:
-
Las variaciones naturales en la rugosidad del canal con
el aumento del nivel del agua, incluyendo el efecto de los
flujos de desborde (Fig. 2-15), o
-
Los cambios morfológicos en la fricción
total de fondo, la cual se compone de fricción de los granos
y fricción de forma,
a medida que el flujo varía desde un nivel bajo, a través de
un nivel intermedio, hasta un nivel alto (Simons y Richardson, 1966).
Fórmulas empíricas para el n de Manning
Se han desarrolado varias correlaciones entre el n de Manning y el
tamaño de la partícula (diámetro del grano).
Williamson (1951) ha correlacionado el factor de
fricción de Darcy-Weisbach f con la rugosidad relativa,
produciendo la siguiente relación (Henderson, 1966):
ks
f = 0.113 ( ____ ) 1/3
R
| (5-21) |
en la cual ks = rugosidad de grano, en
unidades de longitud,
y R = radio hidráulico.
Dado que f = 8 (g /C 2), la
Ec. 5-21 se reduce a:
8g R
C = ( ________ )1/2 ( _____ ) 1/6
0.113 ks
| (5-22) |
En unidades acostumbradas en EE.UU., la
Ec. 5-22 puede ser reducida a:
1.486 R1/6
C = ________________
0.0311 ks1/6
| (5-23) |
Al comparar la Ec. 5-23 con la Ec. 5-20, se puede expresar n en
términos de la rugosidad de fondo de la
siguiente manera (ks en pies):
En términos
de rugosidad relativa y rugosidad absoluta, la expresión general para el n de Manning es (Chow, 1959):
n = [f (R/ks)] ks1/6
| (5-25) |
lo cual implica que en la Ec. 5-24 la rugosidad relativa es una constante (0.0311).
Suponiendo que la rugosidad límite pueda ser representada
por el tamaño d84 de la partícula, es decir,
aquél para el cual el 84% de los granos (por peso) son más finos,
la Ec. 5-24 se convierte en:
Strickler utilizó una constante (0.0342) para la rugosidad relativa f(R/ks), y
el tamaño medio de la partícula
d50 como el diámetro representativo
de grano, para producir la ecuación:
Dado que d84 > d50,
se observa que las ecuaciones de Strickler y Williamson son mutuamente consistentes.
La Tabla 5-2 muestra los valores de n de Manning calculados con la fórmula de Strickler (Ec. 5-27).
Tabla 5-2 Valores n de Manning
calculados con la fórmula de Strickler (Ec. 5-27).
|
Tamaño medio de la partícula d50 (pies) |
n de Manning |
0.0001 |
0.007 |
0.001 |
0.011 |
0.01 |
0.016 |
0.1 |
0.023 |
1 |
0.034 |
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Historia de la Fórmula de Manning
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|
Robert Manning nació en Normandía, Francia, en 1816,
y murió en 1897. En 1826, se mudó a Waterford, Irlanda,
y trabajó como contador.
En 1846, durante el año de la gran carestía,
Manning fue reclutado por la División de Drenaje Arterial
de la Oficina Irlandesa de Obras Públicas.
Después de trabajar como dibujante,
fue ascendido a ingeniero asistente.
En 1848, llegó a ser ingeniero distrital,
cargo que ocupó hasta 1855. Como ingeniero distrital, Manning leyó "Traité d'Hydraulique" de d'Aubisson
des Voissons, desarrollando luego un gran interés por la hidráulica.
De 1855 a 1869, Manning trabajó para el Marqués de
Downshire en la supervisión de la construcción
de la Bahía del Puerto de Dundrum, en Irlanda, y el diseño de
un sistema de abastecimiento de agua en Belfast.
Después de la muerte del marqués en 1869, Manning
regresó a la Oficina Irlandesa de Obras Públicas
como ingeniero asistente. En 1874 Manning ascendió a ingeniero en jefe, cargo que ocupó
hasta su jubilación en 1891.
Manning no recibió ningún tipo de
educación o capacitación
formal en la mecánica de fluidos.
Su experiencia en la contabilidad y su naturaleza pragmática
influyeron en su trabajo y lo llevaron a simplificar problemas. Manning comparó las siete fórmulas más conocidas de la época:
Du Buat (1786), Eytelwein (1814), Weisbach (1845),
St. Venant (1851), Neville (1860), Darcy y Bazin (1865),
y Ganguillet y Kutter (1869). Calculó la velocidad
obtenida con cada fórmula para una pendiente dada, y
el radio hidráulico variando entre 0.25 m y 30 m.
Para cada condición, Manning encontró el valor
medio de las siete velocidades y desarrolló la
fórmula de mejor ajuste. La fórmula original
fue la siguiente:
V = 32 [RS (1 + R1/3)]1/2
la cual más tarde simplificó a:
V = C Rx S1/2
En 1885, Manning asignó al exponente x el valor de 2/3 y escribió
la fórmula de la siguiente manera:
V = C R2/3 S1/2
En una carta a Flamant, Manning declaró:
"El recíproco de C corresponde aproximadamente
al valor de n, según Ganguillet y Kutter,
siendo C y n constantes para el mismo canal."
El 4 de Diciembre de 1889, a la edad de 73 años,
Manning propuso por primera vez su fórmula a la
Institución de Ingenieros Civiles de Irlanda.
La fórmula salió a la luz en 1891, en un artículo
escrito por él mismo titulado "Sobre el flujo de agua
en canales abiertos y tuberías," publicado en
las Actas de la Institución de Ingenieros Civiles de Irlanda.
A Manning no le gustaba su propia ecuación
por dos razones: En primer lugar, en aquellos tiempos resultaba difícil calcular la raíz
cúbica de un número y además elevarlo al cuadrado para
llegar a la potencia 2/3. En segundo lugar,
la ecuación era dimensionalmente incorrecta. Por tales razones, Manning desarrolló la siguiente
ecuación, la cual es adimensional:
V = C (gS)1/2 [R1/2
+ (0.22/m1/2 )(R -
0.15 m)]
en la cual m = "altura de una columna de mercurio
que equilibra la atmósfera," y C = un número adimensional "que varía con
la naturaleza de la superficie."
Sin embargo, en los libros de texto de finales del siglo XIX,
la fórmula de Manning fue escrita como sigue:
V = (1/n) R2/3 S1/2
A través de su "Manual de Hidráulica," King (1918)
popularizó la fórmula
de Manning en la forma como se conoce hoy en día, así
como la aceptación
de que el coeficiente C de Manning fuera
el recíproco de la n de Kutter.
En los Estados Unidos, al valor n se le conoce como el factor
de fricción de Manning, o simplemente como la n de Manning.
En Europa, la K de Strickler es la misma que la C de Manning,
es decir, el recíproco de n. Cuando se usa K
en lugar
de n, la ecuación de Manning se conoce como la
ecuación de Manning-Strickler, o simplemente Strickler.
|
5.4 LA RUGOSIDAD DE MANNING
Dada la Ecuación 5-17 (o 5-18), una vez que son conocidas tres
variables, la cuarta se puede
calcular. Comúnmente, R y S son conocidas,
y n se
estima, a partir de lo cual se puede calcular V.
Éste es el método directo, el cual es la forma más común
de usar de la ecuación de Manning.
Cuando se requiere mayor precisión, o cuando el varlo de n no puede ser estimado con certeza, se puede calcular n midiendo la velocidad V,
el radio hidráulico R, y la pendiente de fondo S. A este procedimiento se le conoce
como el método inverso, o el método de calibración.
En la práctica, la mayoría de las aplicaciones de la fórmula de Manning usan el método directo.
Estimación del n de Manning n
No existe un procedimiento exacto para estimar
n de Manning. A continuación se presentan algunas recomendaciones probadas en la práctica.
Recomendaciones para la estimación del n de Manning
-
Entender los factores que afectan al n
de Manning.
-
Consultar una tabla de valores típicos y estimar el valor de acuerdo a experiencia.
-
Consultar varias colecciones de fotos en las cuales el valor de n se ha documentado
con precisión.
-
Familiarizarse con la apariencia de canales
típicos para los cuales los valores de n
sean conocidos.
|
Chow (1959) ha presentado una colección ilustrada
de veinticuatro
(24) canales para los cuales los valores de n han sido establecidos.
El rango de valores documentados por Chow es de n = 0.012 (un canal
revestido con placas de concreto),
a n = 0.150 (un río natural en suelo de arcilla arenosa,
con taludes y fondo irregulares). Chow documentó valores tan bajos
como n = 0.008 (plástico acrílico) y tan altos como
n = 0.200 (llanuras de inundación de corrientes naturales,
con vegetación densa en el verano)
(Tabla 5-4). Estos valores
se aplican al flujo turbulento.
Barnes (1967) ha presentado una colección
ilustrada a colores de cincuenta (50) cauces fluviales para los cuales el n de Manning
ha sido calculado.
La colección de Barnes
se puede ver en línea en
Características
de Rugosidad de Canales Naturales.
El valor más pequeño de n documentado por Barnes es n = 0.024,
para
el Río Columbia en Vernita, Washington (Fig. 5-3).
El valor más alto es
n = 0.075,
para Rock Creek cerca de Darby, Montana (Fig. 5-4).
Fig. 5-3 El
Río Columbia en Vernita, Washington.
|
|
Fig. 5-4 Rock Creek cerca de Darby, Montana.
|
|
Arcement y Schneider (1989) han presentado una
colección ilustrada a colores de
quince (15) llanuras
de inundación en el sureste de los Estados Unidos,
para las cuales el valor de n ha sido calculado. La colección de Arcement y Schneider
se puede ver en línea en
Los Coeficientes de
Rugosidad de Manning para los Canales Naturales y
Llanuras de Inundación.
El valor más pequeño de n documentado por Arcement y Schneider
es n = 0.100,
correspondiente a Cypress Creek cerca de Downsville, Louisiana
(Fig. 5-5). El valor más alto es n = 0.200, correspondiente
a Thompson Creek cerca de Clara, Mississippi (Fig. 5.6).
Fig. 5-5 Cypress Creek cerca de Downsville, Louisiana.
|
|
Fig. 5-5 Thompson Creek cerca de Clara, Mississippi.
|
|
Los factores que afectan al n de Manning
En la práctica, el valor de n de Manning varía en forma considerable. En los cauces naturales puede variar desde aproximadamente 0.020
para algunos ríos muy grandes con fondo liso (Fig. 5-7), hasta un poco más
de 0.200 en ríos pequeños de
montaña, con pendiente pronunciada (Fig. 5-8). La Tabla 5-3 describe los diversos factores
que afectan el coeficiente de rugosidad de Manning.
Fig. 5-7 Río Paraguay en Fuerte Coimbra, Mato Groso del Sur, Brasil.
|
|
Fig. 5-8 Arroyo Rachichuela, en la
cuenca del río La Leche, Lambayeque, Perú.
|
|
Tabla 5-3 Factores que afectan el
coeficiente de rugosidad de Manning.
|
Factor |
Descripción |
Rugosidad de la superficie |
Las granulometrías finas conducen a valores bajos,
mientras que las granulometrías gruesas
conducen a valores altos.
|
Vegetación |
El tipo, altura, densidad, y distribución espacial de
la vegetación afectan a la velocidad de flujo. Los valores de n
en canales con vegetación pueden exceder 0.25,
y en algunos casos, llegar a más de 0.4.
|
Irregularidades del canal |
Los bancos de arena, promontorios, depresiones,
huecos, y montículos en el lecho del canal crean
rugosidad adicional, lo cual produce pérdidas de energía local.
|
Alineación del Canal |
Generalmente, un canal recto contará con un valor menor de n,
mientras que un canal sinuoso tendrá un valor mayor de n.
La sinuosidad puede aumentar la rugosidad del canal
hasta en un 30% (Chow, 1959).
|
Agradación (depósito) y degradación (erosión) |
Los cambios en la morfología del canal
aumentarán o disminuirán la rugosidad
en forma impredecible.
El efecto dependerá del tipo de material que forma
el lecho, la relación de ancho a profundidad, y la cantidad de sedimentos
transportados (carga de sedimentos).
|
Obstrucciones del canal |
Las obstrucciones de troncos, pilares de puentes y otros
obstáculos tienden a aumentar la rugosidad del canal.
El efecto dependerá del tipo de obstrucción,
tamaño, forma, cantidad y distribución espacial.
|
Tamaño y forma del canal |
Generalmente, los canales pequeños tienen mayor
rugosidad, mientras que los canales grandes
tienen menor rugosidad (compare la Fig. 5.7 con la Fig. 5.8).
La relación de aspecto es usualmente mayor en canales grandes, lo cual disminuye la rugosidad.
|
Descarga y nivel de la superficie del agua |
La rugosidad varía en forma impredecible con la descarga y el nivel de la superficie del agua.
Las velocidades medias
varían de niveles muy bajos a niveles muy altos, y la variación es generalmente compleja. La Figura 2-15 muestra un esquema típico.
|
Estación del año |
En canales con vegetación, la rugosidad de la superficie aumenta durante
el período de crecimiento y disminuye durante el estado latente. Este comportamiento está sujeto a un efecto latitudinal.
|
Carga suspendida y carga de fondo |
El transporte de sedimentos, ya sea como carga
suspendida o carga de fondo, consumirá una energía
adicional, lo cual lleva a un incremento de rugosidad.
|
|
Cowan (1956) ha desarrollado una metodología racional para
la estimación del n de Manning.
La ecuación de Cowan es:
n = (no + n1 + n2 + n3 + n4 ) m5
| (5-28) |
en la cual:
-
no =
valor básico de n para un
canal recto, uniforme, y liso
-
n1 =
valor adicional para tomar en cuenta irregularidades de la superficie
-
n2 =
valor adicional para tomar en cuenta las variaciones en
tamaño y forma de la sección transversal
-
n3 =
valor adicional para tomar en cuenta las obstrucciones
-
n4 =
valor adicional para tomar en cuenta el efecto de la vegetación
-
m5 =
factor para tomar en cuenta la sinuosidad del canal (meandros).
La Tabla 5-3 muestra los valores que deben
ser usados en la Ec. 5-28.
Tabla 5-3 Correcciones para el n de Manning (Ec. 5-28).
|
Condiciones del Flujo |
Valores |
Tipo de material en el perímetro del canal |
Tierra |
Arena, limo, y arcilla |
no |
0.020 |
Corte en roca |
Afloramiento de la roca |
0.025 |
Grava fina |
Grava de hasta 8 mm de diámetro |
0.024 |
Grava gruesa |
Grava de más de 8 mm de diámetro |
0.028 |
Grado de irregularidades en la superficie |
Liso |
La mejor condición |
n1 |
0.000 |
Menor |
Canales bien dragados, con pendientes laterales poco erosionadas |
0.005 |
Moderado |
Canales poco dragados, con pendientes laterales moderadamente erosionadas
|
0.010 |
Severo |
Canales muy erosionados, con superficies altamente
irregulares y/o excavadas en roca gruesa
|
0.020 |
Variaciones en la forma y tamaño de la sección transversal |
Gradual |
Variaciones suaves o pequeñas |
n2 |
0.000 |
Alternadas ocasionalmente |
Secciones grandes y pequeñas alternadas ocasionalmente,
con desplazamiento lateral del flujo |
0.005 |
Alternadas con frecuencia |
Secciones grandes y pequeñas alternadas con frecuencia, con
desplazamiento lateral frecuente del flujo
|
0.010-0.015 |
Efecto de obstrucciones |
Despreciable |
(a) La medida en que las obstrucciones ocupan o reducen
el área de flujo,
(b) El carácter de las obstrucciones
(bordes agudos u objetos angulares, los cuales inducen una mayor
turbulencia que los objetos de superficie curva o lisa), y
(c) El lugar y espaciamiento de las obstrucciones,
transversales y longitudinales, a lo largo del canal
|
n3 |
0.000 |
Menor |
0.010-0.015 |
Apreciable |
0.015-0.030 |
Mayor |
0.030-0.060 |
Efecto de la vegetación |
Bajo |
Césped o maleza, en la cual la profundidad
de flujo es de 2 a 3 veces la altura de la vegetación |
n4 |
0.005-0.010 |
Medio |
Césped o maleza, en la cual la profundidad del flujo
es de 1 a 2 veces la altura de la vegetación
|
0.010-0.025 |
Alto |
Césped o maleza, en la cual la profundidad de flujo
es casi igual a la altura de la vegetación
|
0.025-0.050 |
Muy alto |
Césped o maleza, en la cual la profundidad del flujo
es menos de la mitad (1/2) de la altura de la vegetación
|
0.050-0.100 |
Sinuosidad del canal |
Baja |
Sinuosidad menor a 1.2 |
m5 |
1.00 |
Media |
Sinuosidad entre 1.2 y 1.5 |
1.15 |
Alta |
Sinuosidad mayor a 1.5 |
1.30 |
|
La Tabla 5-4 muestra los valores de n de Manning para
canales de diversos tipos, documentados por Chow (1959).
Para cada tipo de canal, se muestran los valores mínimos, normales, y
máximos de n.
Los valores recomendados para el
diseño se indican en negrita.
Tabla 5-4 Rango recomendado para los valores de n de Manning. 1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Tipo de canal y descripción |
Mínimo |
Normal |
Máximo |
A |
Conductos cerrados fluyendo parcialmente llenos |
|
A-1 |
Metal |
|
|
a. |
Latón, liso |
0.009 |
0.010 |
0.013 |
|
|
b. |
Acero |
|
|
|
1. |
Soldado |
0.010 |
0.012 |
0.014 |
|
|
|
2. |
Riveteado |
0.013 |
0.016 |
0.017 |
|
|
c. |
Hierro fundido |
|
|
|
1. |
Revestido |
0.010 |
0.013 |
0.014 |
|
|
|
2. |
Sin revestir |
0.011 |
0.014 |
0.016 |
|
|
d. |
Hierro forjado |
|
|
|
1. |
Negro |
0.012 |
0.014 |
0.015 |
|
|
|
2. |
Galvanizado |
0.013 |
0.016 |
0.017 |
|
|
e. |
Metal corrugado |
|
|
|
1. |
Drenaje subsuperficial |
0.017 |
0.019 |
0.021 |
|
|
|
2. |
Drenaje pluvial |
0.021 |
0.024 |
0.030 |
1 Chow, V. T. 1959. Open-channel hydraulics. McGraw-Hill, New York.
|
|
Haga click -aquí- para mostrar completa la Tabla 5-4.
|
5.5 CÁLCULO DEL
FLUJO UNIFORME
La descarga del flujo en canales es (Ec. 5-2):
Q = V A = C R x S y A>
| (5-29) |
La Ecuación 5-29 se puede expresar como sigue:
Q = K S y = K S 1/2
| (5-30) |
en la cual K = conducción, definida así:
O, alternativamente:
Q
K = ______
S 1/2
| (5-32) |
De acuerdo a la ecuación de Chézy:
De acuerdo a la ecuación de Manning,
en unidades SI:
1
K = ____ A> R 2/3
n
| (5-34) |
En el sistema de unidades acostumbradas en EE.UU:
1.486
K = ________ A> R 2/3
n
| (5-35) |
La conducción K contiene información sobre la
rugosidad y el tamaño y forma de la sección transversal, y no varía con la pendiente del canal.
Canales de rugosidad compuesta
Por lo general, un canal que desborda sus bancos tiene
más de un valor de n de Manning: uno dentro del banco, otro fuera del banco izquierdo,
y otro fuera del banco derecho
(Fig. 5-9). Se puede calcular un valor compuesto de n bajo el supuesto de que las velocidades
en las tres subsecciones son iguales. Esta suposición es conveniente, pero
evade la situación de la posible falta de
uniformidad del flujo en una sección
transversal compuesta.
Supóngase un canal de rugosidad variable a lo largo
de su perímetro mojado, siendo N el
número de subsecciones. Los perímetros húmedos
son:
P1, P2, P3, ..., PN.
Los valores correspondientes de rugosidad son:
n1, n2, n3, ..., nN.
Suponiendo que todas las velocidades
son iguales:
V1 = V2 = V3 = VN = V
| (5-36) |
Para cualquier subsección i :
1 Vi = ____ Ri 2/3 S 1/2
ni
| (5-37) |
1 Vi = ____ (Ai / Pi ) 2/3 S 1/2
ni
| (5-38) |
El área de flujo para la subsección i es:
Vi 3/2 ni 3/2 Pi
Ai = _________________
S 3/4
| (5-39) |
El área total de flujo es:
V 3/2 n 3/2 P
A = _________________
S 3/4
| (5-40) |
El área total de flujo es igual a la suma de
las subáreas. Por lo tanto:
V 3/2 n 3/2 P = ∑ (Vi 3/2 ni 3/2 Pi )
| (5-41) |
N |
De acuerdo a la Ecuación 5-36, todas las velocidades son iguales.
Por lo tanto, la Ec. 5-41 se reduce a:
n 3/2 P = ∑ (ni 3/2 Pi )
| (5-42) |
N |
Por lo tanto, el valor del n de Manning para un canal de
sección transversal compuesta es:
∑ (ni 3/2
Pi ) N
n = [ _________________ ] 2/3
P
| (5-43) |
Fig. 5-9 Un canal de sección transversal compuesta.
|
|
Canales de sección transversal compuesta
La sección transversal de un canal puede estar
compuesta de varias subsecciones distintas, cada una con rugosidad diferente.
Por ejemplo, un canal aluvial sujeto a inundaciones
estacionales generalmente consiste de un canal
principal y dos canales laterales (Fig. 5-9).
Los canales laterales son generalmente más rugosos
que el canal principal. Por lo tanto, la velocidad
media en el canal principal es generalmente mayor
que las de los canales laterales. La ecuación de
Manning puede aplicarse por separado a cada subsección,
y la descarga total es igual a la suma de las descargas
de las subsecciones. Para el canal en su conjunto, la velocidad
media es igual a la descarga total dividida entre el área total.
El coeficiente de distribución de velocidades aplicable
a todo el canal es diferente de los coeficientes de
distribución de velocidades aplicables a cada subsección.
El coeficiente total de distribución de velocidad
puede calcularse como se detalla a continuación.
Asumir un número total de subsecciones N y varias
subsecciones i, en la cuali varía de 1 a N.
De acuerdo a la ecuación de continuidad (Ec. 2-4):
en la cual Qi = conducción a través
de la subsección i, y
Vi = velocidad media a través la
subsección i,
con área de flujo Ai. Además,
a partir de la Ec. 5-30:
en la cual Ki = conducción
a través de la subsección
i (Ec. 5-33 o 5-34).
Combinando las Ec. 5-44 y 5-45:
Vi = (Ki / Ai) S 1/2
| (5-46) |
La descarga total es:
N
Q = ∑ Q i
i = 1
| (5-47) |
Usando la Ec. 5-45 en la Ec. 5-47:
N
Q = ( Σ Ki ) S 1/2
i = 1
| (5-48) |
De la Ec. 2-4, Q = V A. Por lo tanto:
N
V = ( Σ Ki ) ( S 1/2 / A )
i = 1
| (5-49) |
De la Ec. 2-24, el coeficiente de energía se define como sigue:
N
Σ Vi 3 Ai
i = 1
α = _____________
V 3A
| (5-50) |
Asimismo, a partir de la Ec. 2-31, el coeficiente de cantidad de movimiento es:
N
Σ Vi 2 Ai
i = 1
β = _____________
V 2A
| (5-51) |
Sustituyendo las Ecs. 5-46 y 5-49 en la Ec. 5-50,
el coeficiente compuesto de energía
α, aplicable a toda la sección transversal es:
N A2 [
Σ
(αi Ki 3 / Ai 2 ) ]
i = 1
α = ____________________________
N
( Σ Ki ) 3
i = 1
| (5-52) |
Asimismo, sustituyendo las Ecs. 5-46 y 5-49 en la Ec. 5-51,
el valor compuesto de β es:
N A [
Σ
(βi Ki 2 / Ai ) ]
i = 1
β = ____________________________
N
( Σ Ki ) 2
i = 1
| (5-53) |
Cálculo del flujo uniforme
De acuerdo a la Fig. 5-10, se deduce la siguiente
proporción: z /1 = x /y.
Por lo tanto, el ancho de superficie T es:
T = b + 2x = b + 2zy
| (5-54) |
El área de flujo A es:
A = (b + x ) y = (b + zy ) y
| (5-55) |
Fig. 5-10 Una sección transversal trapezoidal típica.
|
|
El perímetro mojado P es:
P = b + 2 (y 2 + z 2y 2 )1/2
| (5-56) |
Simplificando:
P = b + 2 y ( 1 + z 2 )1/2
| (5-57) |
A partir de la ecuación de Manning,
la descarga Q es:
k
Q = _____ A R 2/3 S 1/2
n
| (5-58) |
en la cual k = 1 en unidades SI, y
k = 1.486 en el sistema acostumbradas en EE.UU.
Dado que R = A /P, la Ec. 5-58 se reduce a:
Q n A 5/3
_________ = _______
k S 1/2 P 2/3
| (5-59) |
Sustituyendo las Ecs. 5-55 y 5-57 en la Ec. 5-59:
Q n [ (b + zy ) y ] 5/3
_________ = _____________________________
k S 1/2 [b + 2 y ( 1 + z 2 )1/2] 2/3
| (5-60) |
Simplificando:
Q n Q n [ (b + zy ) y ] 5/2 - ( ________ ) 3/2 [ 2 y ( 1 + z 2 )1/2 ] - ( ________ ) 3/2 b = 0
k S 1/2 k S 1/2
| (5-61) |
La profundidad normal y se calcula por medio de la Ec. 5-61 con los siguientes datos de entrada:
(1) descarga Q,
(2) ancho de fondo b,
(3) talud z [z: H a 1: V, Fig. 5-10],
(4) pendiente de fondo S, y (5) n de Manning.
Por lo tanto, con las
Ecs. 5-54 y 5-55:
La Ecuación 5-61 es la fórmula general para el
flujo uniforme o normal, aplicable a los canales prismáticos
de sección transversal trapezoidal.
Para un canal rectangular: z = 0. Asimismo, para un canal triangular
de sección simétrica: b = 0.
Para resolver la Ec. 5-61
se expresa:
Q n Q n f (y) = [ (b + zy ) y ] 5/2 - ( ________ ) 3/2 [ 2 y ( 1 + z 2 )1/2 ] - ( ________ ) 3/2 b
k S 1/2 k S 1/2
| (5-64) |
Sustituyendo la variable x = y:
Q n Q n f (x) = [ (b + zx ) x ] 5/2 - ( ________ ) 3/2 [ 2 x ( 1 + z 2 )1/2 ] - ( ________ ) 3/2 b
k S 1/2 k S 1/2
| (5-65) |
La Ecuación 5-65 se resuelve mediante
un procedimiento de prueba y error. A continuación se describe un algoritmo basado en el valor de la función. La Figura 5-11 es un ejemplo del flujo normal.
Algoritmo para calcular la profundidad normal basado en el
valor de la función
-
Asumir un valor inicial de x = 0. Así:
f (0) = -
[ ( Qn ) / (k So ) ] 3/2 b
lo cual resulta en un número negativo grande. Por lo tanto se confirma que el
valor inicial de la función es menor que cero.
-
Asumir un valor inicial del intervalo Δx = 1.
-
Establecer x = x + Δx
-
Calcular f (x)
-
Terminar
cuando Δx < Δx TOL. Un valor típico de Δx TOL es 0.0001.
-
Si f (x) < 0,
regresar al Paso 3.
-
Si f (x) > 0,
establecer Δx =
0.1 Δx
-
Establecer x = x - 9 Δx
-
Regresar al Paso 4.
|
Fig. 5-11 Flujo normal en el canal Wellton-Mohawk, Wellton, Arizona.
|
|
La aproximación de Newton
El algoritmo anteriormente descrito utiliza únicamente el valor
de la función para aproximarse a la raíz. La aproximación de Newton basada en la tangente converge más rápidamente. Para que el método de Newton funcione correctamente, es necesario primero
acercarse a la raíz usando la iteración basada en el valor de la función. De lo contrario, es probable que el método
de Newton no converja.
Con referencia a la Fig. 5-12,
el valor de la tangente en xo es:
f(xo)
f '(xo) = _________
xo - xr
| (5-66) |
en la cual xo = valor de prueba de
x, f(xo) = valor de la función
en xo, xr =
nuevo valor de x, que se aproxima más a la raíz.
Fig. 5-12 Esquema ilustrativo
de la iteración de Newton.
|
|
Resolviendo para xr de la Ec. 5-66:
f (xo)
xr = xo - ________
f '(xo)
| (5-67) |
Como se muestra en la Fig. 5-12, cuando f (xo)
aumenta con xo (como es el caso de la Ec. 5-65) al pasar por la raíz, el valor de la función y el
valor de la tangente son positivos; por lo tanto,
el denominador de la Ec. 5-66 también es positivo,
y xr se encuentra a la izquierda de xo.
Con cada iteración subsecuente, la raíz es aproximada en forma de zig-zag, hasta que la tolerancia especificada sea satisfecha.
Se puede mostrar fácilmente que la Ec. 5-67 también se aplica
cuando f (xo) disminuye a medida que xo aumenta, como en el caso
del flujo crítico, ver la
Sección 4.2.
El valor de f '(x) es:
Q n f ' (x) = x 5/2 (5/2) (b + zx ) 3/2 z + (b + zx ) 5/2 (5/2) x 3/2 - ( ________ ) 3/2 [ 2 ( 1 + z 2 )1/2 ]
k S 1/2
| (5-68) |
Simplificando la Ec. 5-68:
Q n f ' (x) = 5 z x 5/2 (b + zx ) 3/2 + 5 x 3/2 (b + zx ) 5/2 - ( ________ ) 3/2 ( 1 + z 2 )1/2
k S 1/2
| (5-69) |
El procedimiento para la aproximación de Newton se describe a continuación.
Algoritmo para calcular la profundidad normal: Aproximación de Newton
-
Asumir un valor inicial de xo = 0.
-
Asumir un valor inicial del intervalo Δx = 1.
-
Establecer xo = xo + Δx
-
Calcular f (xo)
-
Si f (xo) < 0, regresar al Paso 3.
-
Si f (xo) > 0,
calcular la raíz xr usando
las Ecs. 5-65 y 5-69:
f (xo)
xr = xo - ________
f '(xo)
|
-
Terminar
cuando (xr - xo)
es demasiado pequeño. Un valor típico de la diferencia
es 0.0001.
-
De lo contrario,
establecer xo = xr y regresar
al Paso 6.
|
Ejemplo 5-1.
Usando
CANAL EN LÍNEA 01, calcular la profundidad
de flujo crítico para las siguientes condiciones:
Q = 3 m3/s,
b = 5 m, z = 1, S = 0.001, n = 0.015.
| |
ONLINE CALCULATION. Usando
CANAL EN LÍNEA 01,
la profundidad normal es yn = 0.473 m,
la velocidad normal es vn = 1.16 m/s, y
el número de Froude normal es Fn = 0.562.
|
|
|
Ejemplo 5-2.
Usando CANAL EN
LÍNEA 01, calcular la profundidad de flujo
crítico para las siguientes condiciones:
Q = 20 pies3/s,
b = 13 pies, z = 2, S = 0.0008, n = 0.013.
| |
CÁLCULO EN LÍNEA.
Usando
CANAL EN LÍNEA 01,
la profundidad normal es yn = 0.631 pies,
la velocidad normal es vn = 2.221 pies/s, y
el número de Froude normal es Fn = 0.514.
|
|
|
5.6 CÁLCULO
DEL CAUDAL DE AVENIDA
La combinación de velocidades y profundidades altas que predominan
durante una inundación aumenta
el riesgo de accidentes y lesiones corporales (Fig. 5-13).
Por lo tanto, generalmente no es posible medir la
descarga durante una inundación. Sin embargo, se puede obtener un estimado de la descarga máxima de forma indirecta, por medio del uso de fórmulas de flujo en
canales. Esta es el principio del método de pendiente-área.
Fig. 5-13 Una inundación severa en un río tropical.
|
|
Para aplicar el método de pendiente-área en un
tramo de río, se requieren los siguientes datos:
-
La longitud del tramo,
-
La caída, es decir, el cambio de elevación
en la superficie del agua a través del tramo,
-
El área de flujo, el perímetro mojado, y
los coeficientes de carga de velocidad en las secciones aguas arriba y aguas abajo, y
-
El valor medio del n de Manning para el tramo.
La selección de un tramo adecuado está basada en los siguientes criterios:
-
Las marcas que indican la elevación del agua se deben ser fácilmente identificables(Fig. 5-14).
-
El tramo debe ser lo suficientemente largo para que
la caída pueda ser medida con precisión.
-
La forma de la sección transversal y las
dimensiones del canal deben ser relativamente constantes.
-
El tramo debe ser relativamente recto, aunque
es preferible un tramo con contracción
a un tramo con expansión.
-
Se deben evitar puentes, curvas, cascadas y otras
características que provoquen una falta de uniformidad
del flujo.
Fig. 5-14 Un campesino mostrando el nivel de agua alcanzado por las inundaciones, Karnataka, India (1991).
|
|
La precisión del método de pendiente-área mejora a
medida que aumenta la longitud del tramo (Fig. 5-15).
Un tramo adecuado debe satisfacer uno o más de
los siguientes criterios:
-
La relación de la longitud del tramo a la
profundidad hidráulica debe ser mayor que 75,
-
La caída debe ser mayor que o igual a
0.15 m: F ≥ 0.15 m, y
-
La caída debe ser mayor que cualquiera de las
cargas de velocidad calculadas en las secciones aguas arriba y aguas abajo.
Fig. 5-15 Ilustración del método de pendiente-área.
|
|
El procedimiento consta de los siguientes pasos:
-
Calcular la conducción K
en las secciones aguas arriba y aguas abajo:
1
K1 = ( __ )
A1 R1 2/3
n
| (5-70a) |
1
K2 = ( __ )
A2 R2 2/3
n
| (5-70b) |
en las cuales K = conducción, A = área de flujo,
R = radio hidráulico, n = valor de Manning promedio en el tramo, y 1 y 2 indican los secciones aguas arriba y aguas abajo,
respectivamente (La Ec. 5-70 esta dada en unidades SI).
-
Calcular la conducción equivalente del tramo, igual a la media geométrica
de las conducciones aguas arriba y aguas abajo:
en la cual K = conducción del tramo.
-
Calcular la primera aproximación a la pendiente de energía:
en la cual S = primera aproximación a la pendiente
de energía, F = caída,
y L = longitud del tramo.
-
Calcular la primera aproximación a la descarga pico:
en la cual Qi = primera aproximación
a la descarga pico.
-
Calcular las cargas de velocidad:
α1 ( Qi /A1 ) 2
hv1 = ______________
2g>
| (5-74a) |
α2 ( Qi /A2 ) 2
hv2 = ______________
2g>
| (5-74b) |
en las cuales hv1 y hv2 = cargas de velocidad en las secciones
aguas arriba y aguas abajo respectivamente,
α1 y α2 =
coeficientes de carga de velocidad aguas arriba y aguas abajo respectivamente, y g = aceleración de la gravedad.
-
Calcular un valor actualizado de la pendiente de energía:
F + k ( hv1 - hv2 )
Si = ___________________
L
| (5-75) |
en la cual Si = valor actualizado de la
pendiente de energía, y k = coeficiente de pérdida de carga.
Para el caso de expansión de flujo, es decir,
A2 > A1, k = 0.5;
para la contracción de flujo, es decir, A1 > A2, k = 1.
-
Calcular un valor actualizado de la descarga pico
-
Regresar al paso 5 y repetir los pasos 5 a 7.
El procedimiento termina cuando la diferencia
entre dos valores sucesivos de la descarga pico
Q obtenida en el paso 7 es despreciable. En la
práctica, generalmente se requieren por lo menos tres iteraciones.
5.7 FLUJO SUPERFICIAL UNIFORME
El flujo sobre una cuenca o superficie de captación se conoce como flujo superficial. Generalmente en el flujo superficial, la profundidad de flujo
es muy pequeña comparada con el ancho.
Bajo estas condiciones, el flujo puede ser laminar o
turbulento, dependiendo de las rugosidades absoluta y relativa.
Si las velocidades y profundidades de flujo son suficientemente
pequeñas, el flujo puede ser laminar; de lo contrario,
el flujo puede ser transitorio o turbulento, dependiendo
del número de Reynolds
(Sección 1.4).
En el flujo superficial, suele presentarse un régimen mixto laminar-turbulento. Este tipo de
flujo se caracteriza por cambios de régimen bajo las condiciones de flujo
espacialmente variado que normalmente se
encuentran en el flujo de superficie.
Cuando el flujo es laminar, el exponente de la curva de gasto es β = 3.
En condiciones de flujo turbulento, el exponente es
β = 3/2 para la fricción de Chézy, y β = 5/3 para la fricción de Manning.
Los regímenes mixtos de flujo laminar-turbulento presentan valores de β
que varían entre laminar y turbulento.
Flujo superficial laminar
Con referencia a la Fig. 5-16, el esfuerzo de corte que actúa en el nivel P es:
τa = γ (ym - y ) S
| (5-77) |
De acuerdo a la ley de viscosidad de Newton, el esfuerzo de corte en P es
proporcional al gradiente vertical de velocidades:
dv
τr = μ _____
dy
| (5-78) |
en la cual μ = una constante de proporcionalidad
conocida como viscosidad dinámica.
Fig. 5-16 Ilustración del flujo superficial uniforme.
|
|
Igualando los esfuerzos actuantes y resistentes:
dv
μ _____ = γ (ym - y ) S
dy
| (5-79) |
En forma diferencial:
μ dv = γ (ym - y ) S dy
| (5-80) |
El peso específico γ = ρg,
y la viscosidad dinámica
μ = ρν,
en la cual ν = viscosidad
cinemática.
Por lo tanto, la Ec. 5-80 se reduce a:
gS
dv = _____ (ym - y ) dy
ν
| (5-81) |
Integrando la Ec. 5-81:
gS
v = ∫ _____ (ym - y ) dy
ν
| (5-82) |
gS y 2
v = _____ [ ym y - _____ ] + C
 ν
2
| (5-83) |
en la cual C es una constante de integración.
Para v = 0, y = 0, por lo tanto:
C = 0, y la relación velocidad media/
profundidad de flujo es:
gS y 2
v = _____ [ ym y - _____ ]
 ν
2
| (5-84) |
La Ecuación 5-84 indica que el perfil de
velocidades en el flujo superficial uniforme
tiene una distribución parabólica.
La curva de descarga-profundidad se
obtiene integrando la Ec. 5-84 entre
los límites de 0 y ym, es decir, desde el
fondo hasta la superficie, lo cual resulta en:
gS y 2
q = ∫ v dy = _____ ∫ [ ym y - _____ ] dy
 ν
2
| (5-85) |
gS ym 2 ym 3
q = _____ [ _____ - _____ ]
 ν
2 6
| (5-86) |
la cual se reduce a:
gS
q = ______ ym 3
3ν
| (5-87) |
O a:
en la cual CL = coeficiente de la curva de gasto
correspondiente al flujo laminar, definido como sigue:
En el flujo laminar, el exponente
de la curva de gasto es
β = 3 (Ec. 5-88), y la curva
de gasto es una función de la fricción
interna, o viscosidad interna, representada por
la viscosidad cinemática
ν.
Por lo tanto, el flujo laminar es una función de la
temperatura.
Dada la Ec. 5-77, la velocidad media en el flujo
laminar, v = q /ym, es:
La curva de gasto correspondiente al flujo turbulento de acuerdo a Chézy es:
q = C S 1/2 ym 3/2
| (5-91) |
La curva de gasto correspondiente al flujo turbulento de acuerdo a Manning,
en unidades SI es:
q = (1/n) S 1/2 ym 5/3
| (5-92) |
De igual manera, en las unidades acostumbradas en EE.UU.:
q = (1.486 / n) S 1/2 ym 5/3
| (5-93) |
Puede observarse que el exponente de la curva de gasto varía
de β = 3 para el flujo laminar
(Ec. 5-88), a β = 3/2
para la fricción turbulenta de acuerdo a Chézy
(Ec. 5-91), o a β = 5/3 para la fricción
turbulenta de acuerdo a Manning (Ec. 5-92). En el flujo superficial uniforme,
los valores de β comprendidos en el intervalo entre flujo
laminar y turbulento representan la condición mixta laminar-turbulenta
(Sección 1.3).
El número de Vedernikov es:
(β - 1) v
V = ____________
(g y )1/2
| (5-94) |
En el caso de V = 1,
el flujo es neutralmente estable, lo cual lleva
al desarrollo de ondas de rollo (Fig. 5-17).
A continuación se describe la relación entre el exponente β
y el número de Vedernikov V .
La relación entre el exponente β y el número de Vedernikov
-
En el flujo laminar:
β = 3. Por lo tanto, V = 2 F,
y el flujo llega a ser inestable cuando
F = 0.5.
-
En el flujo turbulento con la fricción de Chézy:
β = 1.5. Por lo tanto, V = 0.5 F, y el flujo llega a ser inestable cuando F = 2.
-
En el flujo turbulento con la fricción de Manning:
β = 5/3. Por lo tanto, V = (2/3) F, y el flujo llega a ser inestable
cuando F = 3/2, es decir, F = 1.5.
|
Fig. 5-17 Ondas de rollo en el aliviadero del Reservorio Turner, Condado de San Diego, California.
|
|
PREGUNTAS
¿Cuándo el flujo uniforme se convierte en inestable?
-
¿En qué se basa la fórmula de Chézy?
-
¿Cuál es la diferencia entre las fórmulas de Manning y Chézy?
-
¿Cuál es el valor mínimo del n de Manning que se puede lograr en la práctica?
-
¿Cuál es el rango de valores del n
de Manning medido por Barnes?
-
¿Cuál es el rango de valores del n de Manning
medido por Arcement y Schneider en llanuras de inundación?
-
¿Por qué el cálculo de rugosidad compuesta utilizando la Ec. 5-43 es sólo una aproximación?
-
¿Cuáles son las cinco variables que
se utilizan en el cálculo del flujo uniforme en un canal trapezoidal?
-
¿Por qué es mejor usar la aproximación de Newton en lugar de usar únicamente la aproximación que usa el valor de la
función para calcular la profundidad normal?
-
¿Cuál es la relación mínima de la longitud
del tramo a la profundidad hidráulica en
el método de pendiente-área?
-
¿Cuál es el exponente de la curva de gasto en condiciones de flujo laminar?
-
¿Cuál es el exponente de la curva de gasto
en condiciones de flujo turbulento de acuerdo a Chézy
en los canales hidráulicamente anchos?
-
¿Cuál es el exponente de la curva de gasto en condiciones de flujo turbulento de acuerdo a Manning
en los canales hidráulicamente anchos?
-
¿Bajo qué valor del número de Froude es probable que el
flujo llegue a ser inestable en condiciones de flujo laminar?
PROBLEMAS
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Demostrar que el factor de fricción de Darcy-Weisbach y la n de Manning se relacionan por
medio de la siguiente ecuación:
fD = 8 g n 2 / (k 2 R 1/3)
en la cual el factor de fricción fD
= Darcy-Weisbach,
g = aceleración de la gravedad,
R = radio hidráulico,
y k = una constante para el sistema de unidades,
igual a 1 en unidades SI y 1.486
en unidades acostumbradas en EE.UU.
Expresar la relación en unidades SI y en unidades acostumbradas en EE.UU .
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Calcular la descarga Q usando la ecuación
de Manning, con los siguientes datos: área de flujo A = 23.5 pies2, radio hidráulico R = 5.6 pies,
pendiente de fondo S = 0.0025, y n de Manning = 0.035.
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Calcular la descarga Q usando la
ecuación de Manning, con los siguientes datos:
área del flujo A = 45 m2; radio hidráulico R = 6 m;
pendiente de fondo S = 0.003; n de Manning = 0.04.
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Dado f = 0.0025,
calcular la descarga Q para un área de flujo
A = 12.4 m2, radio hidráulico R = 2.1 m; y pendiente de fondo S = 0.0015.
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Dado f = 0.0035, calcular la descarga Q para
un área de flujo A = 18 pies2, radio hidráulico
R = 4.5 pies,
y la pendiente de fondo S = 0.0018.
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Usar CANAL EN LÍNEA 01
para calcular la
profundidad normal, la velocidad y
el número de Froude con los siguientes datos: Q = 150 m3/s, b = 10 m, z = 2, So = 0.0005, n = 0.025.
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Usar el CANAL EN LÍNEA 01
para calcular la profundidad normal, la velocidad y
número de Froude con los siguientes datos:
Q = 250 pies cúbicos por segundo, b = 20 pies, z = 1, So = 0.001,
n = 0.030.
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Usando CANAL EN LÍNEA 15,
calcular la descarga para un canal prismático, con: b = 20 pies, y = 3 pies, z = 2, n = 0.025, S = 0.0016.
Fig. 5-18 Esquema para un canal trapezoidal.
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Usando el CANAL EN LÍNEA 15,
calcular la descarga para un canal prismático
con b = 6 m, y = 1 m, z = 1.5, n = 0.015, S = 0.0002.
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Una inundación en Clearwater Creek ha
dejado marcas de agua observables en un determinado tramo del río.
Los datos hidráulicos se han medido en dos
secciones transversales A y B, a una distancia de 1,850 pies.
La caída del tramo entre las secciones transversales
es de 9.1 pies y el n de Manning promedio es 0.035.
Aguas arriba, el área de flujo, perímetro mojado,
y coeficiente α de Coriolis son
550 pies2, 55 pies, y 1.17, respectivamente. Aguas abajo, el área de flujo, perímetro mojado, y coeficiente α
son 620 pies2, 52 pies, y 1.10, respectivamente.
Usar PENDIENTE-ÁREA
para calcular la descarga de avenida.
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Calcular la descarga por unidad de ancho
en un plano de flujo superficial, bajo flujo
laminar y con una profundidad media de 1.5 cm
y pendiente de fondo de 0.001. Asumir que la temperatura
del agua es T = 20oC. Expresar la descarga en L/s/m.
BIBLIOGRAFÍA
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Barnes, H. A. 1967. Roughness characteristics of natural channels. U.S. Geological Survey Water-Supply Paper 1849, Washington, D.C.
Cowan, W. L. 1956. Estimating hydraulic roughness coefficients. Agricultural Engineering, Vol. 37, No. 7, pp. 473-475, Julio.
Chow, V. T. 1959. Open-channel hydraulics. McGraw-Hill, Nueva York.
Henderson, M. H. 1966. Open-channel flow. Macmillan, Nueva York.
Simons, D. B., y E. V. Richardson. 1966. Resistance to flow in alluvial channels. U.S. Geological Survey Professional Paper 422-J, Washington, D.C.
Williamson, J. 1951. The laws of flow in rough pipes. La Houille Blanche, Vol. 6, No. 5, Septiembre-Octubre, p. 738.
http://hidraulicadecanales.sdsu.edu |
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